双曲線 – ウィキペディア

Posted on October 13, 2021 by lordneo

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Zweischaliges双曲線

a 双曲線 最も単純な場合、それはハイパーベル（回転領域）を回転させることで軸の1つを作成する領域です。

あなたの周りにハイパーベルを回転させるとき の隣に 軸が発生します 単一のような双曲線。 コヒーレントエリアで構成されています。
あなたの周りにハイパーベルを回転させるとき主要軸が発生します Zweischaliges双曲線。 2つの別々の領域で構成されています。

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両方の表面は、楕円とハイパーベルの方程式に類似した正方方程式で記述できます。したがって、それらはQuadriken（例：ボール、コーン、パラボロイド）の特別なケースであり、通常、コーンカットのレベルによって切断されます。

単一の精神と2シェルの双曲線の間に大きな違いは、単一の双曲線の直線が含まれているため、2つのシェルではなく制御領域であることです。

この特性は、単一の双曲線をストレートから簡単にモデル化できるため、建築家や土木技術者にとってインテリジェントな双曲線を興味深いものにします。一部の冷却塔は、単一の双曲体の形状を備えています。機械工学では、単一の互いの双曲線も双曲線駆動に使用されます。 ^[初め]^[2]単一のような双曲線も合成ジオメトリに役割を果たします。ミンコフスキーレベルは、ひたむきな双曲線のレベルカットのジオメトリです。単一のシェル双曲線は2つの切断直線に切断されますが（以下を参照）、接線レベルの2つのシェル双曲線は1つの点しかなく、したがって球体により幾何学的に関連しています。

Table of Contents

シングルアップユニット双曲線 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

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単一のような双曲線：ハイパーベルの回転による生成（上）またはまっすぐ（下：赤または青）

単一のような双曲線：レベルカット

あなたはハイパーベルを離れます

{displaystyle x^{2} -z^{2} = 1}

$x^{2}-z^{2}=1$ X-ZレベルでZ軸の周りを回転させると（図を参照）、方程式とともに単一壁のユニット双曲線が得られます

${displaystyle h_ {1}コロンx^{2}+y^{2} -z^{2} = 1}$

回転で、

{displaystyle x^{2}}

$x^{2}$ 終えた

{displaystyle x^{2}+y^{2}}

$x^{2}+y^{2}$ 交換。

関数のグラフの回転に起因する単一壁ユニット双曲線は

{displaystyle f（z）= {sqrt {z^{2} +1}}}}

${displaystyle f(z)={sqrt {z^{2}+1}}}$ に

{displaystyle with}

$z$ -軸。以下は導出に適用されます

{displaystyle f ‘（z）= {frac {z} {sqrt {with^{2} +1}}}}}

${displaystyle f'(z)={frac {z}{sqrt {z^{2}+1}}}}$ 。高さの単一壁ユニット双曲線の体積と表面

{displaystyle h}

$h$ 積分を使用したGuldinルールになります。

たとえ話と高さの円を備えた回転放物線

音量 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

{displaystyle v = pi int _ {0}^{h}（f（z））^{2} mathrm {d} z = pi int _ {0}^{h} z^{2} +1 mathrm {d} z = pi left（{frac {h^{3} {3} {3}} {3} {3} {3} {3} {3} {3} {3 {3}}左（h^{3}+3hright）}

水面 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

{displayStyle {begin {aligned} a＆= 2pi int _ {0}^{h} f（z）{1+left（f ‘（z）右）^{2}}} mathrm {d} z \＆= 2pi int _ {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}））） qrt {1+left（{frac {z} {sqrt {z^{2} +1}}右）^{2}}} mathrm {d} z \＆= 2pi int _ {0}^{h} {sqrt {2z^{2} {d} {d} {d} {d} {d} {frac {1} {2}} z {sqrt {2z^{2} +1}+{frac {1} {2 {sqrt {2}}}} ln left（{sqrt {2}}} {{2z^{2z^{2z^{2 Z^{2 Z^{2 Z^{2 Z^{{2Z^{2 Z^{2Z^{2Z^{2Z^{2Z^{2Z^{2Z^{2Z^{2Z^） = 0}^{z = h}右）\＆= pi left（h {sqrt {2h^{2} +1}}+{frac {1} {sqrt {2}}} ln left（{sqrt {2}}} h+{2h^{2h^{2h^{2h^{2h^{2h^{2h^{2h^{2h^{2h^{2h^{2h^sight） }}

パラメータープレゼンテーション [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

明らかに、1つのレベルでカットされたすべての高さはです

{展示z = z_ {0}}

$z=z_{0}$ 半径のある円

{displaystyle {sqrt {1+z_ {0}^{2}}}}}

${displaystyle {sqrt {1+z_{0}^{2}}}}$ 。レベルのカット

{displaystyle x = 1}

$x=1$ 2つのカットを配信します

{displaystyle（1、t、pm t）^{top}、tin mathbb {r}}

$(1,t,pm t)^{top },tin mathbb {R}$ 。これらのストレートの回転により、双曲線上のすべてのストレートのパラメーター表現が得られます。

{displayStyle g_ {alpha}^{pm}：{vec {x}}（t）= {begin {pmatrix} cos alpha \ sin alpha \ 0end {pmatrix}}+tcdot {begin {pmatrix} -sin alpha \ cos \ cos alpha \ pp {r}、0leq alpha leq 2pi}

インテリジェントな双曲線

{displaystyle h_ {1}}

$H_{1}$ ストレートの回転によって回転することもできます

{displaystyle g_ {0}^{+}}

$g_{0}^{+}$ また

{displaystyle g_ {0}^{ – }}

$g_{0}^{-}$ （回転軸へのウィンドシャフト）（図を参照）。この声明は文献にあります レンのセット 専用。 ^[3]

接線レベル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

暗黙的に接線レベルの方程式

{displaystyle f（x、y、z）= 0}

$f(x,y,z)=0$ 1つのポイントで与えられた領域

{displaystyle {vec {x}} _ {0} =（x_ {0}、y_ {0}、z_ {0}）}

${vec {x}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ は

{displaystyle f_ {x}（{vec {x}}} _ {0}）（x-x_ {0}）+f_ {y}（{vec {x}} _ {0}）（y-y_ {0}）+f_ {z}}

$f_{x}({vec {x}}_{0})(x-x_{0})+f_{y}({vec {x}}_{0})(y-y_{0})+f_{z}({vec {x}}_{0})(z-z_{0})=0$ 。

H1の結果

${displaystyle x_ {0} x+y_ {0} y-z_ {0} z-1 = 0.}$

レベルカット [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

双曲線直線であるレベル

{displaystyle e}

$e$ 接線レベルのいずれかを含み、秒が含まれています

{displaystyle e}

$e$ 双曲線をまっすぐに切断するか、それも含む

{displaystyle e}

$e$ 平行双曲線直線であるため、長距離ポイントの接線レベルです。

アフィン写真 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ユニット回路のアフィンイメージとしてのあらゆる楕円に類似しています、 どれでも 単一の双曲線ユニット双曲線のアフィンイメージ

{displaystyle h_ {1}}

$H_{1}$ 。最も単純なアフィン画像は、座標軸をスケーリングすることで取得されます。

x2a2+ y2b2 – z2c2= 初め、 a 、 b 、 c > 0。 {displaystyle {frac {x^{2}} {a^{2}}}+{frac {y^{2}} {b^{2}}}}}}}}}} – {frac {z^{2}} {c^{2}}}}} = 1
${frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=1 , a,b,c>0.”></span></li> </ul> <p>その場合 <span class=$
a = b {displaystyle a = b}
$a=b$ 高さのカットサークルです。楕円がある場合。そのような双曲線が呼ばれます 単一の回転双曲線 。単一の形の双曲線にも円が含まれているという事実は、回路レベルで示されています。

単一のシェイプの双曲線直線が含まれているため、コントロールエリアです。単一の双曲線のすべての接線レベルは、タッチポイントの近くで表面を切断するため、ガウスの曲率が0があるという通常の表面、コーン、シリンダーとは対照的に、負のガウスの曲率を持つため、取り扱われていません。双曲線の次のパラメーターディスプレイは、双曲線関数を備えたハイパーベルの通常のパラメーター表示から取得されます
x2a2+ y2b2 – z2c2= 初め： {displaystyle {tfrac {x^{2}} {a^{2}}}+{tfrac {y^{2}} {b^{2}}} – {tfrac {z^{2}}} {c^{2}}} = 1：}}}}}}
${displaystyle {tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}-{tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1:}$

${displaystyle {vec {x}}（s、t）= left（{begin {array} {lll} aCosh scos t \ bcosh ssin t \ csinh send {array}} right）、quad sin mathbb {r}、0leq 2pi}}$

均一な座標 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

均一な座標を導入して、方程式を通してリモートレベルを導入する場合
バツ 4 = 0 {displaystyle x_ {4} = 0}
${displaystyle x_{4}=0}$ 説明されている、あなたはしなければならない
バツ = x1x4、と = x2x4、と = x3x4{displaystyle x = {tfrac {x_ {1}} {x_ {4}}}、y = {x_ {2}} {x_ {4}}}}}}}、z = {tfrac {x_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
${displaystyle x={tfrac {x_{1}}{x_{4}}},y={tfrac {x_{2}}{x_{4}}},z={tfrac {x_{3}}{x_{4}}}}$ 設定。分母を除去した後、の均一な説明
h 初め {displaystyle h_ {1}}
$H_{1}$ 方程式を通して：

${displaystyle x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2} -x_ {3}^{2} -x_ {4}^{2} = 0}$

距離レベルの双曲線の切断
バツ 4 = 0 {displaystyle x_ {4} = 0}
${displaystyle x_{4}=0}$ 円です。
への変換
（バツ初め – バツ 3 ））（バツ初め + バツ 3 ）） + （バツ 2 – バツ 4 ））（バツ 2 + バツ 4 ）） = 0 {displaystyle（x_ {1} -x_ {3}）（x_ {1}+x_ {3}）+（x_ {2} -x_ {4}）（x_ {2}+x_ {4}）= 0}
${displaystyle (x_{1}-x_{3})(x_{1}+x_{3})+(x_{2}-x_{4})(x_{2}+x_{4})=0}$ その後の新しい座標の導入
の初め = バツ初め – バツ 2 、の 2 = バツ初め + バツ 3 、の 3 = バツ 2 – バツ 4 、の 4 = バツ 2 + バツ 4 {displaystyle u_ {1} = x_ {1} -x_ {2}、
${displaystyle u_{1}=x_{1}-x_{2},;u_{2}=x_{1}+x_{3},;u_{3}=x_{2}-x_{4},;u_{4}=x_{2}+x_{4};}$ 方程式によって均一な座標にインテリジェント双曲線の説明を提供します

${displaystyle u_ {1} u_ {2}+u_ {3} u_ {4} = 0}$

新しい座標では、レベルが削減されます
の 4 = 0 {displaystyle u_ {4} = 0}
${displaystyle u_{4}=0}$ 2つのストレートの双曲線。
アフィン座標をもう一度通過している場合
バツ = u1u4、と = u2u4、と = u3u4{Displaystyle x = {tfrac {u_ {1}} {{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}, y = {tfrac {u_ {{} {{{{4}}}}}}}, z = {tfrac {u_ {3}} {{4}}}}}}}}
${displaystyle x={tfrac {u_{1}}{u_{4}}},y={tfrac {u_{2}}{u_{4}}},z={tfrac {u_{3}}{u_{4}}}}$ 双曲線パラボロイドの方程式を取得します。

${displaystyle z = -xy。}$

これは次のとおりです。単一のシェル双曲線です射影双曲線傍明に相当します。

Zweischaliges双曲線 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

2シェルユニット双曲線 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

2シフト双曲線：レベルカット

あなたはハイパーベルを離れます
– バツ 2 + と 2 = 初め {displaystyle -x^{2}+z^{2} = 1}
$-x^{2}+z^{2}=1$ X-ZレベルのZ軸の周りを回転させる（図を参照）ので、方程式で2シェルユニット双曲線が得られます
– バツ 2 – と 2 + と 2 = 初め {displaystyle -x^{2} -y^{2}+z^{2} = 1}
${displaystyle -x^{2}-y^{2}+z^{2}=1}$ または通常の形で
- ${displaystyle h_ {2}コロンx^{2}+y^{2} -z^{2} = -1}$
レベルのカット
と = と 0 {展示z = z_ {0}}
$z=z_{0}$ と
h 2 {displaystyle h_ {2}}
$H_{2}$ 円です（if
と 0 2 > 初め {distrastaStyle z_ {0}^{2}> 1}
$z_{0}^{2}>1″></span>またはポイント（if <span class=$
と 0 = ± 初め {displaystyle z_ {0} = PM 1}
$z_{0}=pm 1$ ）または空（if
と 0 2 < 初め {distristaStyle z_ {0}^{2} <1}
$z_{0}^{2}<1$ ）。
h 2 {displaystyle h_ {2}}
$H_{2}$ ハイパーベルの2つの部分によると、2つの部分で構成されています。

2シェルユニットの双曲線は、関数のグラフの回転をもたらします
f （と）） = z2 – 初め {displaystyle f（z）= {sqrt {z^{2} -1}}}}
${displaystyle f(z)={sqrt {z^{2}-1}}}$ に
と {displaystyle with}
$z$ -軸。以下は導出に適用されます
f ‘ （と）） = と z2−1{displaystyle f ‘（z）= {frac {z} {sqrt {with^{2} -1}}}}}
${displaystyle f'(z)={frac {z}{sqrt {z^{2}-1}}}}$ 。高さの2シェルユニット双曲線の体積と表面
h – 初め {displaystyle H-1}
${displaystyle h-1}$ 積分を使用したGuldinルールになります。

音量 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle v = pi int _ {1}^{h}（f（z））^{2} mathrm {d} z = pi int _ {1}^{h} z^{2} -1 mathrm {d} z = pi left（{frac {{3} {3}} {3} {3}} {3} {3}} {3} {3} {3} {3} {3}} {3}} {3}} }} right）= {frac {pi} {3}}左（h^{3} -3h+coldy）}$

水面 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle {begin{aligned}A&=2pi int _{0}^{h}f(z){sqrt {1+left(f'(z)right)^{2}}} mathrm {d} z\&=2pi int _{0}^{h}{sqrt {z^{2}-1}}{sqrt {1+left({frac {z}{sqrt {z^{2}-1}}}right)^{2}}} mathrm {d} z\&=2pi int _{0}^{h}{sqrt {2z^{2}-1}} mathrm {d} z\&=2pi left({frac {1}{2}}z{sqrt {2z^{2}-1}}-{frac {sqrt {2}}{2}}ln left({sqrt {2}}z+{sqrt {2z^{2}-1}}right){Big |}_{z=0}^{z=h}right)\&=pi left(h{sqrt {2h^{2}-1}}-{sqrt {2}}ln left({sqrt {2}}h+{sqrt {2h^{2}-1}}right)right)end{aligned}}}$

接線レベル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

の接線レベル
h 2 {displaystyle h_ {2}}
$H_{2}$ ある時点で
（バツ 0 、と 0 、と 0 ）） {displaystyle（x_ {0}、y_ {0}、z_ {0}）}
$(x_{0},y_{0},z_{0})$ 方程式があります（上記参照）
- ${displaystyle x_ {0} x+y_ {0} y-z_ {0} z+1 = 0。}}$
レベルカット [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
- 1未満の傾向でレベルをカットします（生成ハイパーベルの漸近性の傾向） ${displaystyle h_ {2}}$
- 同じように傾斜してレベルをカットします1と座標バウチャーを介して ${displaystyle h_ {2}}$
- 座標の衝動を通してではなく、同じように傾斜でレベルを等しく削減します1 ${displaystyle h_ {2}}$
- より大きな傾斜でレベルをカットします1 ${displaystyle h_ {2}}$
アフィン写真 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

a どれでも 2本のシェル双曲線は、ユニット双曲線のアフィンイメージです
h 2 {displaystyle h_ {2}}
$H_{2}$ 。最も単純なアフィン画像は、座標軸をスケーリングすることで取得されます。
- ${displaystyle {frac {x^{2}} {a^{2}}}+{frac {y^{2}} {b^{2}}} – {frac {z^{2}} {c^{2}}} = -1、b、c> 0。$
  ${frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1 , a,b,c>0.”></span></li> </ul> <p>その場合 <span class=$
  ${displaystyle a = b}$
  $a=b$ 高さのカットサークルです。楕円がある場合。そのような双曲線が呼ばれます 2シェル回転双曲線 。 2つのシェル双曲線がサークルを含むという事実は、回路レベルで示されています。
  
  2本のシェル双曲線の場合
  ${displaystyle {tfrac {x^{2}} {a^{2}}}+{tfrac {y^{2}} {b^{2}}}}}}}}}}}}}}}}$
  ${displaystyle {tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{tfrac {y^{2}}{b^{2}}}-{tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}$ 次のパラメータープレゼンテーションの結果：
  
  ${displaystyle {vec {x}}（s、t）= left（{begin {array} {lll} asinh scos t \ bsinh ssin t \ pm ccosh send {array}} right）、quad sin mathbb {r}、0lq 2pi}}$
  
  均一な座標 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
  
  あなたはのようにリードします
  ${displaystyle h_ {1}}$
  $H_{1}$ 均一な座標、あなたはの均一な説明を取得します
  ${displaystyle h_ {2}}$
  $H_{2}$ 方程式を通して：
  
  ${displaystyle x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2} -x_ {3}^{2}+x_ {4}^{2} = 0}$
  
  座標を交換できます
  ${displaystyle x_ {3}、x_ {4}}$
  ${displaystyle x_{3},x_{4}}$ アフィン座標に戻ります。ユニットボールの方程式は次のとおりです。
  
  ${displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1。}$
  
  これは、次のことを示しています。2本のシェル双曲線です射影ボールに相当します。
  
  楕円やハイパーベルンのように、双曲線の分離とサブパートと対称性もあります。双曲線
  ${displaystyle {frac {x^{2}} {a^{2}}}+{frac {y^{2}} {b^{2}}} – {frac {z^{2}}} {c^{2}}}}} {2}} {{{2}}}}}}}} }+{frac {y^{2}} {b^{2}}} – {frac {z^{2}} {c^{2}}} = -1}$
  ${frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,quad {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$ 明白です
  
  ダブルコーン
  ${displaystyle x^{2}+y^{2} -z^{2} = 0}$
  $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$ シングルマインドまたは2枚のシェル双曲線の主の間のインターフェースとして使用できます
  ${displaystyle x^{2}+y^{2} -z^{2} = c^{2}}$
  ${displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=c^{2}}$ また。
  ${displaystyle x^{2}+y^{2} -z^{2} = -c^{2}}$
  ${displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=-c^{2}}$ 取った。生産者Hyperbelnの一般的な漸近性を回転させることによって作成されます。
  
  さまざまな可能性があります。双曲線をパラメータ化します。シングルマインドと2つのシェル双曲線とコーンをパラメーター化する簡単な方法は次のとおりです。
  
  ${displaystyle {vec {x}}（s、t）= left（{begin {array} {lll} a {sqrt {s^{2}+d}} cos t \ b {sqrt {s^{2}+d}}$
  
  ために
  ${displaystyle d = 1}$
  $d=1$ その結果、単一の意見が得られます
  ${displaystyle d = -1}$
  $d=-1$ 2本のシェル双曲線と
  ${displaystyled = 0}$
  $d=0$ ダブルコーン。
  
  フランスの給水塔は、単一の双曲体の形で
  
  神戸（日本）のハーバータワーは、単一の双曲線の形で
  
  Albrecht Beutelspacher、ute Rosenbaum：射影ジオメトリ。基本からアプリケーションへ（= Vieweg研究：高度なコース数学）。 2番目、表示、拡張版。 Vieweg、Wiesbaden 2004、ISBN 3-528-17241-X（オンライン [2012年4月1日にアクセス]）。
  
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  GünterScheja、Uwe Storch：代数教科書。線形代数を含む。 2番目、オーバー – カウンターと広告。版。 Teubner、Stuttgart 1994、ISBN 3-519-12203-0。
  
  uwe storch、hartmut wiebe：数学の教科書。 2番目、オーバー – カウンターと広告。版。 Bi-Sciences Publishing House、1999、ISBN 3-411-14101-8。
  
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