接続（差動幾何学） – ウィキペディア

微分形状の数学的サブエリアで 繋がり 動きの過程で方向変化を定量化し、異なるポイントの方向を関連付けるための援助。

この記事は、基本的に、差別化された多様性またはベクトルの束に関する接続を扱います。テンソルビューンデルの優れたつながり、ベクトルの特別な束が呼ばれます Kovariant派生 。一般に、アナログ定義プロパティを備えた主要なバンドルにも関係があります。

微分ジオメトリでは、曲線、特にジオーデの曲率に興味があります。ユークリッドの部屋では、曲率は単に2番目の派生によって与えられます。 2番目の微分は、差別化可能な多様性で直接形成することはできません。は

${displaystyleガンマ}$

曲線なので、この曲線の2番目の導出のためにベクトルとの違いの商を行う必要があります

${displaystyleガンマ ‘（t）}$

と

${displaystyleガンマ ‘（t_ {0}）}$

形状。ただし、これらのベクトルは異なるベクトルにあるため、2つのベクトルの違いを単純に形成することはできません。問題を解決するために、接続と呼ばれるイラストを定義しました。この図は、関係するベクトルルーム間の接続を提供することを目的としているため、この名前も付いています。

このセクションで説明します

${displaystyle m}$

スムーズな多様性、

${displaystyleTm}$

接線バンドルと

${displaystyle pi colon eto m}$

ベクトルの束。と

${displaystyleガンマ（e）}$

ベクトルバンドルの滑らかなカットの量は

${displaystyle e}$

書き留めた。

繋がり [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

接線ベクトルの方向にあるベクトル場の方向を言うことで、差別化された多様性に接続を取得します

${displaystyle m}$

。したがって、ベクトルの束の接続はイラストとして定義されます

${displaystyle {begin {aligned} nabla colon gamma（tm）倍ガンマ（e）＆rightarrowガンマ（e）\（x、s）＆mapsto nabla _ {x} s、end {aligned}}}}$

1つのベクトルフィールド

${displaystyle x}$

の上

${displaystyle m}$

そしてカット

${displaystyleS}$

ベクトルバンドル

${displaystyle e}$

別のカットイン

${displaystyle e}$

次の条件が満たされるように割り当てられます。

• 
  ${displaystyle nabla _ {x} s}$

  入っています

  ${DisplayStyle Please Gamma（TM）}$

  線形

  ${displaystyle c^{infty}（m）}$

  、それは意味します

${displaystyle nabla _ {fx_ {1}+gx_ {2}} s = fcdot nabla _ {x_ {1}} s+gcdot nabla _ {x_ {2}} s}}$

ために

${displaystyle F、gin c^{infty}（m）}$

と

${displaystyle x_ {1}、x_ {2} in gamma（tm）。}$

• 
  ${displaystyle nabla _ {x} s}$

  は

  ${displaystyle mathbb {r}}$

  -Linear in

  ${displaystyle s、}$

  それはそれが適用されることを意味します

${displaystyle nabla _ {x}}（lambda _ {1}} s__lamba _ {2} s} s）= lambada _ {1} cdot nabala _ {x} s} s} s} s} s} s} s} s} s} s} s} s} s} } cdot nabala。$

ために

${displaystyle lambda _ {1}、lambda _ {2} in mathbb {r}}$

。

• さらに、製品ルールまたはライプニッツルールが適用されます

${displaystyle nabla _ {x}（fs）= xfcdot s+fcdot nabla _ {x} s}$

すべての関数に対して

${displaystyle fin c^{infty}（m）}$

。

ここで説明します

${displaystyle xf}$

関数の方向の方向

${displaystyle f}$

方向

${displaystyle x}$

（したがって、接線ベクトルは導出として理解されます）。別のスペル

${displaystyle xf}$

は

${displaystyle mathrm {d} f（x）}$

。

あるいは、接続をイラストとして作成することもできます

${displaystyle nablaコロンガンマ（e）から範囲（t^{*} motimese）}$

同じプロパティで定義します。

線形接続 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

線形またはアフィナーのコンテキスト

${displaystyle m}$

接続です

${displaystyleTm}$

。それはそれがイラストであることを意味します

${displaystyle nablaコロンガンマ（TM）タイムガンマ（TM）からガンマ（TM）、}$

上記のセクションの3つの定義プロパティを満たしています。

自然な方法で他のベクトルのバンドルに接続を誘導するさまざまな方法があります。

実際のサブマネーシティの接続 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle partial _ {1}、ldots、partial _ {n}}$

の標準ベース

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

、それから上になります

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

ユークリッドの文脈

${displaystyle nabla _ {x} ^{mathbb {r} ^{n}}}}}$

終えた

${displaystyle textStyle nabla _ {x}^{mathbb {r}^{n}} y：= sum _ {i、j}（x^{i} partial _ {i} y^{j}）partial _ {j}}}}$

定義されています

${displaystyle textStyle x = sum _ {i} x^{i} partial _ {i}}$

と

${displaystyle textStyle y = sum _ {j} y^{j} bias _ {j}}$

ベクトルフィールドの表現

${displaystyle x、y}$

標準ベースです。は

${displaystyle m}$

のサブマネーシティ

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

、だからあなたは起きます

${displaystyle m}$

の一つ

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

誘導接続。これは通りです

${displaystyle nabla _ {x}^{m} y：= pi（nabla _ {x}^{mathbb {r}^{n}} y）}}$

そうです。説明された

${displaystyle pi colon t_ {p} mathbb {r} ^{n}からt_ {p} m}からt_ {p} m}$

直交投影。

Tensbündelの接続 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle nabla}$

多様性の線形接続

${displaystyle m}$

。 Tensbündel

${displaystyle t_ {l}^{k} m}$

明確なつながりになることができます

${displaystyleガンマ（TM）タイムガンマ（T_ {l}^{k} m）からガンマ（T_ {l}^{k} m）}$

で誘導します

${displaystyle nabla}$

注目され、次の特性が満たされています。

1. の上
   ${displaystyle tmcong t_ {0}^{1} m}$

   正しい

   ${displaystyle nabla}$

   指定された接続で。

2. の上
   ${displaystylet^{0} m}$

   は

   ${displaystyle nabla}$

   関数の方向の通常の方向：
   

   ${displaystyle nabla _ {x} f = xf。}$

   

3. ために
   ${displaystyle nabla}$

   次の製品ルールが適用されます
   

   ${displaysyle nabla _ {x}（fotimes g）=（nabla _ {x} f）otimes g+photos（nabla _ {x} g）。}}$

   

4. 関係
   ${displaystyle nabla}$

   テンソルの若返りに通う

   ${displaystyle operatorname {tr}}$

   、それは意味します
   

   ${displaystyle nabla _ {x}（operatorname {tr} f）= operatorname {tr}（nabla _ {x} f）。}$

   

この接続

${displaystyle t_ {l}^{k} m}$

コバリアント派生とも呼ばれます。

Riemannメトリックと対称性との互換性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle（m、g）}$

RiemannまたはPseudo-Riemannscheの多様性。接続

${displaystyle nabla}$

メトリックと互換性があると呼ばれます

${displaystyle g}$

この多様性、if

${displaystyle x（g（y、z））= g（nabla _ {x} y、z）+g（y、nabla _ {x} z）}$

適用可能です。セクションから3番目のプロパティがあります Tensbündelの接続 方程式が得られます

${displaystyle（nabla _ {x} g）（y、z）= x（y、z）） – g（nabla _ {x} y、z）-g（y、nabla _ {x} z}}$

したがって、互換性条件は同等です

${displaystyle（nabla _ {x} g）（y、z）= 0.}$

接続は、ねじれガントレットが消えるとき、つまり、それが適用されるときに対称性またはねじれのないことを意味します

${displaystyle nabla _ {x} y-nabla _ {y} x = [x、y]。}$

もちろん、これらの2つのプロパティは、実際のアンダーマンナイトで誘導された接続によってすでに満たされているためです。これらの2つのプロパティを満たす（要約）多様性の接続が明確に決定されます。この声明は、Riemannの幾何学の主要条項と呼ばれ、明確に決定された接続はLevi-CivitaまたはRiemannの接続と呼ばれます。 Riemannメトリックと互換性のある接続は、メトリックコンテキストと呼ばれます。リーマンの多様性は、一般にいくつかの異なるメトリック関係を持つことができます。

${displaystyle（nabla _ {x} y_ {1}）（p）=（nabla _ {x} y_ {2}）（p）。}$

より一般的です

${displaystyle y_ {1}}$

と

${displaystyle y_ {2}}$

環境全体で同じでさえありません。より正確には、滑らかな曲線がある場合

${displaystyleガンマ：（ – エプシロン、エプシロン）サブセット数学{r}からm}$

与える（適切なもののために

${displaystyle epsilon> 0}$

${displaystyleガンマ（0）= p}$

と

${displaystyleガンマ ‘（0）= x_ {p}}$

で、もし

${displaystyle（y_ {1}）_ {gamma（t）} =（y_ {2}）_ {gamma（t）}}}$

すべてのために

${displaystyle | t |$

適用してから続きます

${displaystyle（nabla _ {x} y_ {1}）（p）=（nabla _ {x} y_ {2}）（p）}$

。
つまり、2つのベクトルフィールドがあります

${displaystyle y_ {1}}$

と

${displaystyle y_ {2}}$

適切な滑らかな曲線に沿って一致する必要があります。

ローカルベクトルフィールドを形成します

${displaystyle x_ {1}、dots、x_ {n}}$

各ポイントの接線空間の基礎であるクリストフェルのシンボルは、

${displaystyle nabla _ {x_ {i}} x_ {j} = sum _ {k = 1}^{n} gamma _ {ij}^{k} x_ {k} quad}$

また。

${displaystyle quad nabla _ {x_ {i}} x_ {j} = gamma _ {ij}^{k} x_ {k} quad}$

アインシュタインの合計条約。

ベクトルフィールドがあります

${displaystyle x}$

と

${displaystyle y}$

この基礎に関しては形状です

${displaystyle x = x^{i} x_ {i}}$

と

${displaystyle y = y^{j} x_ {j}}$

、コンポーネントに適用されます

${displaystyle z^{k}}$

から

${displaystyle nabla _ {x} y = z^{k} x_ {k}}$

${displaystyle z^{k} = gamma _ {ij}^{k} x^{i} y^{j}+x^{i} x_ {i}（y^{k}）}}$

、

したがって

${displaystyle x_ {i}（y^{k}）}$

関数の方向の方向

${displaystyle y^{k}}$

ベクトルの方向に

${displaystyle x_ {i}}$

専用。

基本ベクトルフィールドとして、カードで与えられたベクトルフィールドを選択します

${displaystyle partial _ {1}、dots、partial _ {n}}$

したがって、座標ディスプレイを取得します

${displaystyle z^{k} = gamma _ {ij}^{k} x^{i} y^{j}+x^{i} partial _ {i} y^{k}}}}$

。

この結果は製品ルールに対応しています：製品内

${displaystyle y_ {k}および^{k}}$

無限の変更が発生した場合に両方の基本ベクトルを変更する

${displaystyle y_ {k}}$

コンポーネント機能も同様です

${displaystyle y^{k} ,,}$

両方の変更の合計が作成されます。

この記事の中心的な用語は、物理学などに懸念されます。相対性とオークの理論の一般的な理論（例：量子電気力学、量子クロモダイナミクス、ヤンミルズ理論）、および高エネルギー物理学のヤンミルズ理論、および固体物理学における超条件のBCS理論。これらの理論で一般的なのは、「接続」と「共変派派」がベクトル電位によって生成され、特定のオーク条件で十分であり、特定の方法でシステムのエネルギー関数に明示的に入ることです。

• ジョン・M・リー： Riemannianマニホールド。曲率の​​紹介 （= 数学の大学院テキスト 176）。スプリンガー、ニューヨークニューヨークu。 a。 1997、ISBN 0-387-98322-8。

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