D’Alemberts Prinzip – Wikipedia

Aussage in der klassischen Mechanik

Traité de dynamique von Jean Le Rond d’Alembert, 1743. Der französische Gelehrte sprach darin das Prinzip der Bewegungsmenge aus, das auch als “D’Alembert-Prinzip” bekannt ist.

D’Alemberts Prinzip, auch bekannt als die Lagrange-d’Alembert-Prinzipist eine Erklärung der grundlegenden klassischen Bewegungsgesetze. Es ist nach seinem Entdecker, dem französischen Physiker und Mathematiker Jean le Rond d’Alembert, benannt. Es ist eine Erweiterung des Prinzips der virtuellen Arbeit von statischen zu dynamischen Systemen. d’Alembert trennt die auf ein System einwirkenden Gesamtkräfte zu Trägheitskräfte (aufgrund der Bewegung eines nicht trägen Referenzrahmens, der jetzt als fiktive Kräfte bezeichnet wird) und beeindruckt (alle anderen Kräfte). Obwohl das Prinzip von d’Alembert auf viele verschiedene Arten formuliert ist, bedeutet es im Wesentlichen, dass jedes Kräftesystem im Gleichgewicht ist, wenn den Trägheitskräften eingeprägte Kräfte hinzugefügt werden.^[1] Das Prinzip gilt nicht für irreversible Verschiebungen wie Gleitreibung, und eine allgemeinere Spezifikation der Irreversibilität ist erforderlich.^[2] Das Prinzip von D’Alembert ist allgemeiner als das von Hamilton, da es nicht auf holonome Einschränkungen beschränkt ist, die nur von Koordinaten und Zeit abhängen, nicht aber von Geschwindigkeiten.^[3]

Erklärung des Prinzips[edit]

Das Prinzip besagt, dass die Summe der Unterschiede zwischen den auf ein System massereicher Teilchen wirkenden Kräften und den Zeitableitungen der Impulse des Systems selbst, die auf eine virtuelle Verschiebung projiziert werden, die mit den Einschränkungen des Systems übereinstimmt, Null ist.^{[clarification needed]} In mathematischer Notation lautet das Prinzip von d’Alembert also wie folgt:

${ displaystyle sum _ {i} ( mathbf {F} _ {i} -m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i} – { dot {m}} _ {i } mathbf {v} _ {i}) cdot delta mathbf {r} _ {i} = 0,}$

wo :

Die Newtonsche Punktnotation wird verwendet, um die Ableitung in Bezug auf die Zeit darzustellen. Diese obige Gleichung wird oft als d’Alembert-Prinzip bezeichnet, wurde jedoch zuerst von Joseph Louis Lagrange in dieser Variationsform geschrieben.^[4] D’Alemberts Beitrag bestand darin zu zeigen, dass in der Gesamtheit eines dynamischen Systems die Zwangskräfte verschwinden. Das heißt, dass die verallgemeinerten Kräfte

müssen keine Zwangskräfte enthalten. Es entspricht dem etwas umständlicheren Gaußschen Prinzip der geringsten Beschränkung.

Ableitungen[edit]

Allgemeiner Fall mit variabler Masse[edit]

Die allgemeine Aussage von D’Alemberts Prinzip erwähnt “die Zeitableitungen der Impulse des Systems”. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Kraft die erste Ableitung des Impulses. Der Schwung der

-te Masse ist das Produkt seiner Masse und Geschwindigkeit:

${ displaystyle mathbf {p} _ {i} = m_ {i} mathbf {v} _ {i}}$

und seine zeitliche Ableitung ist

${ displaystyle { dot { mathbf {p}}} _ {i} = { dot {m}} _ {i} mathbf {v} _ {i} + m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i}}$

.

In vielen Anwendungen sind die Massen konstant und diese Gleichung reduziert sich auf

${ displaystyle { dot { mathbf {p}}} _ {i} = m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i} = m_ {i} mathbf {a} _ { ich}}$

,

welches in der oben angegebenen Formel erscheint. Einige Anwendungen beinhalten jedoch das Ändern von Massen (zum Beispiel das Auf- oder Abrollen von Ketten) und in diesen Fällen beide Begriffe

und

müssen präsent bleiben, geben

${ displaystyle sum _ {i} ( mathbf {F} _ {i} -m_ {i} mathbf {a} _ {i} – { dot {m}} _ {i} mathbf {v} _ {i}) cdot delta mathbf {r} _ {i} = 0.}$

Sonderfall mit konstanter Masse[edit]

Betrachten Sie das Newtonsche Gesetz für ein System von Partikeln konstanter Masse.

. Die Gesamtkraft auf jedes Teilchen beträgt^[5]

${ displaystyle mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} = m_ {i} mathbf {a} _ {i},}$

wo

${ displaystyle mathbf {F} _ {i} ^ {(T)}}$	sind die Gesamtkräfte, die auf die Partikel des Systems wirken,
${ displaystyle m_ {i} mathbf {a} _ {i}}$	sind die Trägheitskräfte, die sich aus den Gesamtkräften ergeben.

Wenn Sie die Trägheitskräfte nach links verschieben, erhalten Sie einen Ausdruck, der als quasistatisches Gleichgewicht angesehen werden kann, der aber eigentlich nur eine kleine algebraische Manipulation des Newtonschen Gesetzes ist:^[5]

${ displaystyle mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} – m_ {i} mathbf {a} _ {i} = mathbf {0}.}$

In Anbetracht der virtuellen Arbeit,

, durchgeführt durch die Gesamt- und Trägheitskräfte zusammen durch eine beliebige virtuelle Verschiebung,

des Systems führt zu einer Identität von Null, da die beteiligten Kräfte für jedes Teilchen zu Null summieren.^[5]

${ displaystyle delta W = sum _ {i} mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} cdot delta mathbf {r} _ {i} – sum _ {i} m_ { i} mathbf {a} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i} = 0}$

Die ursprüngliche Vektorgleichung könnte wiederhergestellt werden, indem erkannt wird, dass der Arbeitsausdruck für beliebige Verschiebungen gelten muss. Aufteilen der Gesamtkräfte in aufgebrachte Kräfte,

und Zwangskräfte,

ergibt^[5]

${ displaystyle delta W = sum _ {i} mathbf {F} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i} + sum _ {i} mathbf {C} _ {i } cdot delta mathbf {r} _ {i} – sum _ {i} m_ {i} mathbf {a} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i} = 0. }}$

Wenn angenommen wird, dass beliebige virtuelle Verschiebungen in Richtungen sind, die orthogonal zu den Zwangskräften sind (was normalerweise nicht der Fall ist, so dass diese Ableitung nur für Sonderfälle funktioniert), führen die Zwangskräfte keine Arbeit aus.

. Solche Verschiebungen sollen sein konsistent mit den Einschränkungen.^[6] Dies führt zur Formulierung von d’Alemberts Prinzip, der besagt, dass der Unterschied zwischen aufgebrachten Kräften und Trägheitskräften für ein dynamisches System keine virtuelle Arbeit leistet:^[5]

${ displaystyle delta W = sum _ {i} ( mathbf {F} _ {i} -m_ {i} mathbf {a} _ {i}) cdot delta mathbf {r} _ {i } = 0.}$

Es gibt auch ein entsprechendes Prinzip für statische Systeme, das als Prinzip der virtuellen Arbeit für aufgebrachte Kräfte bezeichnet wird.

D’Alemberts Prinzip der Trägheitskräfte[edit]

D’Alembert hat gezeigt, dass man einen beschleunigenden starren Körper in ein äquivalentes statisches System umwandeln kann, indem man die sogenannte “Trägheitskraft” und das “Trägheitsmoment” oder Moment hinzufügt. Die Trägheitskraft muss durch den Schwerpunkt wirken und das Trägheitsmoment kann überall wirken. Das System kann dann genau als statisches System analysiert werden, das dieser “Trägheitskraft und diesem Trägheitsmoment” und den äußeren Kräften ausgesetzt ist. Der Vorteil ist, dass man im äquivalenten statischen System Momente um jeden Punkt (nicht nur um den Massenschwerpunkt) nehmen kann. Dies führt häufig zu einfacheren Berechnungen, da jede Kraft (wiederum) aus den Momentgleichungen eliminiert werden kann, indem der geeignete Punkt für die Anwendung der Momentgleichung ausgewählt wird (Summe der Momente = Null). Selbst im Verlauf der Grundlagen der Dynamik und Kinematik von Maschinen hilft dieses Prinzip bei der Analyse der Kräfte, die auf ein Glied eines Mechanismus wirken, wenn dieser in Bewegung ist. In Lehrbüchern der technischen Dynamik wird dies manchmal als bezeichnet d’Alemberts Prinzip.

Dynamisches Gleichgewicht[edit]

D’Alemberts Form des Prinzips der virtuellen Arbeit besagt, dass sich ein System starrer Körper im dynamischen Gleichgewicht befindet, wenn die virtuelle Arbeit aus der Summe der aufgebrachten Kräfte und der Trägheitskräfte für jede virtuelle Verschiebung des Systems Null ist. Das dynamische Gleichgewicht eines Systems von n starren Körpern mit m verallgemeinerten Koordinaten erfordert also, dass

${ displaystyle delta W = (Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*}) delta q_ {1} + ldots + (Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*}) delta q_ {m} = 0,}$

für jeden Satz virtueller Verschiebungen

. Diese Bedingung ergibt m Gleichungen,

${ displaystyle Q_ {j} + Q_ {j} ^ {*} = 0, quad j = 1, ldots, m,}$

was auch geschrieben werden kann als

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac { partielle T} { partielle { dot {q}} _ {j}}} – { frac { partielle T} { partielle q_ {j}}} = Q_ {j}, quad j = 1, ldots, m.}$

Das Ergebnis ist ein Satz von m Bewegungsgleichungen, die die Dynamik des Starrkörpersystems definieren.

Verweise[edit]