Glockenpolynome – Wikipedia

In der kombinatorischen Mathematik ist die Glockenpolynome, benannt zu Ehren von Eric Temple Bell, werden für das Studium festgelegter Partitionen verwendet. Sie beziehen sich auf Stirling- und Bell-Nummern. Sie kommen auch in vielen Anwendungen vor, beispielsweise in der Formel von Faà di Bruno.

Glockenpolynome[edit]

Exponentielle Bell-Polynome[edit]

Das teilweise oder unvollständig exponentielle Bell-Polynome sind eine dreieckige Anordnung von Polynomen, die durch gegeben sind

${ displaystyle B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n-k + 1}) = sum {n! over j_ {1}! j_ {2}! cdots j_ {n-k + 1}!} left ({x_ {1} over 1!} right) ^ {j_ {1}} left ( {x_ {2} over 2!} right) ^ {j_ {2}} cdots left ({x_ {n-k + 1} over (n-k + 1)!} right) ^ { j_ {n-k + 1}},}$

wobei die Summe über alle Sequenzen übernommen wird j₁, j₂, j₃, …, j_{n– –k+1} von nicht negativen ganzen Zahlen, so dass diese beiden Bedingungen erfüllt sind:

${ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + cdots + j_ {n-k + 1} = k,}$

${ displaystyle j_ {1} + 2j_ {2} + 3j_ {3} + cdots + (n-k + 1) j_ {n-k + 1} = n.}$

Die Summe

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2} , dots, x_ {n-k + 1})}$

heißt das nth vollständiges exponentielles Bell-Polynom.

Gewöhnliche Glockenpolynome[edit]

Ebenso die teilweise gewöhnliche Das Bell-Polynom ist im Gegensatz zu dem oben definierten üblichen exponentiellen Bell-Polynom gegeben durch

${ displaystyle { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n-k + 1}) = sum { frac {k!} { j_ {1}! j_ {2}! cdots j_ {n-k + 1}!}} x_ {1} ^ {j_ {1}} x_ {2} ^ {j_ {2}} cdots x_ {n -k + 1} ^ {j_ {n-k + 1}},}$

wobei die Summe über alle Sequenzen läuft j₁, j₂, j₃, …, j_{n– –k+1} von nicht negativen ganzen Zahlen, so dass

${ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + cdots + j_ {n-k + 1} = k,}$

${ displaystyle j_ {1} + 2j_ {2} + cdots + (n-k + 1) j_ {n-k + 1} = n.}$

Die gewöhnlichen Bell-Polynome können in Form von exponentiellen Bell-Polynomen ausgedrückt werden:

${ displaystyle { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n-k + 1}) = { frac {k!} {n! }} B_ {n, k} (1! Cdot x_ {1}, 2! Cdot x_ {2}, ldots, (n-k + 1)! Cdot x_ {n-k + 1}). }}$

Im Allgemeinen bezieht sich das Bell-Polynom auf das exponentielle Bell-Polynom, sofern nicht ausdrücklich anders angegeben.

Kombinatorische Bedeutung[edit]

Das exponentielle Bell-Polynom codiert die Informationen bezüglich der Art und Weise, wie eine Menge partitioniert werden kann. Wenn wir beispielsweise eine Menge {A, B, C} betrachten, kann sie auf drei verschiedene Arten in zwei nicht leere, nicht überlappende Teilmengen aufgeteilt werden, die auch als Teile oder Blöcke bezeichnet werden:

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

Somit können wir die Informationen bezüglich dieser Partitionen als codieren

${ displaystyle B_ {3,2} (x_ {1}, x_ {2}) = 3x_ {1} x_ {2}.}$

Hier die Indizes von B._3,2 sagt uns, dass wir die Aufteilung von set mit 3 Elementen in 2 Blöcke in Betracht ziehen. Der Index von jedem x_ich zeigt das Vorhandensein eines Blocks mit an ich Elemente (oder Größenblock ich) in einer bestimmten Partition. Also hier, x₂ zeigt das Vorhandensein eines Blocks mit zwei Elementen an. Ähnlich, x₁ zeigt das Vorhandensein eines Blocks mit einem einzelnen Element an. Der Exponent von x_ich^j zeigt an, dass es gibt j solche Größenblöcke ich in einer einzigen Partition. Hier, da beides x₁ und x₂ Hat Exponent 1, zeigt dies an, dass es in einer bestimmten Partition nur einen solchen Block gibt. Der Koeffizient des Monoms gibt an, wie viele solcher Partitionen es gibt. In unserem Fall gibt es 3 Partitionen einer Menge mit 3 Elementen in 2 Blöcke, wobei die Elemente in jeder Partition in zwei Blöcke der Größen 1 und 2 unterteilt sind.

Da jede Menge auf nur eine Weise in einen einzelnen Block unterteilt werden kann, würde die obige Interpretation dies bedeuten B._{n, 1} = x_n. Ebenso, da es nur einen Weg gibt, mit dem ein Set mit n Elemente unterteilt werden in n Singletons, B._n,n = x₁ⁿ.

Betrachten Sie als komplizierteres Beispiel

${ displaystyle B_ {6,2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2} + 10x_ {3} ^ {2}.}$

Dies sagt uns, dass wenn eine Menge mit 6 Elementen in 2 Blöcke unterteilt ist, wir 6 Partitionen mit Blöcken der Größe 1 und 5, 15 Partitionen mit Blöcken der Größe 4 und 2 und 10 Partitionen mit 2 Blöcken der Größe 3 haben können.

Die Summe der Indizes in einem Monom entspricht der Gesamtzahl der Elemente. Somit ist die Anzahl der Monome, die im partiellen Bell-Polynom erscheinen, gleich der Anzahl der Wege der ganzen Zahl n kann als Summe von ausgedrückt werden k positive ganze Zahlen. Dies ist dasselbe wie die Ganzzahlpartition von n in k Teile. Beispielsweise kann in den obigen Beispielen die Ganzzahl 3 nur als 2 + 1 in zwei Teile aufgeteilt werden. Somit gibt es nur ein Monom in B._3,2. Die Ganzzahl 6 kann jedoch in zwei Teile als 5 + 1, 4 + 2 und 3 + 3 unterteilt werden. Somit gibt es drei Monome in B._6,2. In der Tat sind die Indizes der Variablen in einem Monom dieselben wie die durch die Ganzzahlpartition angegebenen, was die Größe der verschiedenen Blöcke angibt. Die Gesamtzahl der Monome, die in einem vollständigen Bell-Polynom erscheinen B._n ist somit gleich der Gesamtzahl der ganzzahligen Partitionen von n.

Auch der Grad jedes Monoms, der die Summe der Exponenten jeder Variablen im Monom ist, ist gleich der Anzahl der Blöcke, in die die Menge unterteilt ist. Das ist, j₁ + j₂ + … = k . Somit ist ein vollständiges Bell-Polynom gegeben B._nkönnen wir das partielle Bell-Polynom trennen B._{n, k} durch das Sammeln all dieser Monome mit Grad k.

Schließlich, wenn wir die Größen der Blöcke ignorieren und alle setzen x_ich = xdann die Summe der Koeffizienten des partiellen Bell-Polynoms B._n,k gibt die Gesamtzahl der Möglichkeiten an, mit denen ein Satz ausgeführt wird n Elemente können in unterteilt werden k Blöcke, die den Stirling-Zahlen der zweiten Art entsprechen. Auch die Summierung aller Koeffizienten des vollständigen Bell-Polynoms B._n gibt uns die Gesamtzahl der Möglichkeiten, mit denen ein Set funktioniert n Elemente können in nicht überlappende Teilmengen unterteilt werden, die der Bell-Nummer entsprechen.

Im Allgemeinen, wenn die ganze Zahl n wird in eine Summe aufgeteilt, in der “1” erscheint j₁ Mal erscheint “2” j₂ mal und so weiter, dann die Anzahl der Partitionen einer Gruppe von Größen n dieser Zusammenbruch zu dieser Partition der ganzen Zahl n Wenn die Mitglieder der Menge nicht mehr zu unterscheiden sind, ist der entsprechende Koeffizient im Polynom.

Beispiele[edit]

Zum Beispiel haben wir

${ displaystyle B_ {6,2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2} + 10x_ {3} ^ {2}}$

weil dort sind

6 Möglichkeiten, einen Satz von 6 als 5 + 1 zu partitionieren,

15 Möglichkeiten, einen Satz von 6 als 4 + 2 zu partitionieren, und

10 Möglichkeiten, einen Satz von 6 als 3 + 3 zu partitionieren.

Ähnlich,

${ displaystyle B_ {6,3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = 15x_ {4} x_ {1} ^ {2} + 60x_ {3} x_ { 2} x_ {1} + 15x_ {2} ^ {3}}$

weil dort sind

15 Möglichkeiten, einen Satz von 6 als 4 + 1 + 1 zu partitionieren,

60 Möglichkeiten, einen Satz von 6 als 3 + 2 + 1 zu partitionieren, und

15 Möglichkeiten, einen Satz von 6 als 2 + 2 + 2 zu partitionieren.

Eigenschaften[edit]

Funktion generieren[edit]

Die exponentiellen partiellen Bell-Polynome können durch die doppelte Reihenexpansion ihrer Erzeugungsfunktion definiert werden:

${ displaystyle { begin {align} Phi (t, u) & = exp left (u sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j} } {j!}} right) = sum _ {n geq k geq 0} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) { frac { t ^ {n}} {n!}} u ^ {k} \ & = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n!}} sum _ {k = 1} ^ {n} u ^ {k} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}). end {align}}}$

Mit anderen Worten, um was gleich läuft, durch die Serienerweiterung der k-te Potenz:

${ displaystyle { frac {1} {k!}} left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j}} {j!}} rechts) ^ {k} = sum _ {n = k} ^ { infty} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) { frac {t ^ {n}} {n!}}, qquad k = 0,1,2, ldots}$

Das vollständige exponentielle Bell-Polynom ist definiert durch

${ displaystyle Phi (t, 1)}$

oder mit anderen Worten:

${ displaystyle Phi (t, 1) = exp left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j}} {j!}} right ) = sum _ {n = 0} ^ { infty} B_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) { frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Und so kam es dass der n-th vollständiges Bell-Polynom ist gegeben durch

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = left. left ({ frac { partiell} { partiell t}} rechts) ^ {n} exp left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} { frac {t ^ {j}} {j!}} right) right | _ {t = 0}.}$

Ebenso die gewöhnliche Das partielle Bell-Polynom kann durch die Erzeugungsfunktion definiert werden

${ displaystyle { hat { Phi}} (t, u) = exp left (u sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} t ^ {j} right) = Summe _ {n geq k geq 0} { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) t ^ {n} { frac {u ^ {k}} {k!}}.}$

Oder gleichwertig durch Serienerweiterung der k-te Potenz:

${ displaystyle left ( sum _ {j = 1} ^ { infty} x_ {j} t ^ {j} right) ^ {k} = sum _ {n = k} ^ { infty} { hat {B}} _ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}) t ^ {n}.}$

Siehe auch Generieren von Funktionstransformationen für Bell-Polynom-Generierende Funktionserweiterungen von Zusammensetzungen von sequenzgenerierenden Funktionen und Potenzen, Logarithmen und Exponentialen einer sequenzgenerierenden Funktion. Jede dieser Formeln wird in den jeweiligen Abschnitten von Comtet zitiert.

Wiederholungsbeziehungen[edit]

Die vollständigen Bell-Polynome können wiederholt als definiert werden

${ displaystyle B_ {n + 1} (x_ {1}, ldots, x_ {n + 1}) = sum _ {i = 0} ^ {n} {n wähle i} B_ {ni} (x_ {1}, ldots, x_ {ni}) x_ {i + 1}}$

mit dem Anfangswert

${ displaystyle B_ {0} = 1}$

.

Die partiellen Bell-Polynome können auch durch eine Wiederholungsrelation effizient berechnet werden:

${ displaystyle B_ {n, k} = sum _ {i = 1} ^ {n-k + 1} { binom {n-1} {i-1}} x_ {i} B_ {ni, k- 1},}$

wo

${ displaystyle B_ {0,0} = 1;}$

${ displaystyle B_ {n, 0} = 0 { text {for}} n geq 1;}$

${ displaystyle B_ {0, k} = 0 { text {for}} k geq 1.}$

Die vollständigen Bell-Polynome erfüllen auch die folgende Wiederholungsdifferentialformel:

${ displaystyle { begin {align} B_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = { frac {1} {n-1}} left[sum _{i=2}^{n}right.&sum _{j=1}^{i-1}(i-1){binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{frac {partial B_{n-1}(x_{1},dots ,x_{n-1})}{partial x_{i-1}}}\[5pt]&links. {} + sum _ {i = 2} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {i-1} { frac {x_ {i + 1}} { binom {i} {j}} } { frac { partiell ^ {2} B_ {n-1} (x_ {1}, Punkte, x_ {n-1})} { partiell x_ {j} partiell x_ {ij}} Recht.\[5pt]&links. {} + sum _ {i = 2} ^ {n} x_ {i} { frac { partielle B_ {n-1} (x_ {1}, Punkte, x_ {n-1})} { partielle x_ {i-1}}} rechts]. end {ausgerichtet}}}$

Bestimmende Formen[edit]

Das vollständige Bell-Polynom kann als Determinanten ausgedrückt werden:

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = det { begin {bmatrix} x_ {1} & {n-1 wähle 1} x_ {2} & {n -1 wähle 2} x_ {3} & {n-1 wähle 3} x_ {4} & cdots & cdots & x_ {n} \\ – 1 & x_ {1} & {n-2 wähle 1 } x_ {2} & {n-2 wähle 2} x_ {3} & cdots & cdots & x_ {n-1} \\ 0 & -1 & x_ {1} & {n-3 wähle 1} x_ {2} & cdots & cdots & x_ {n-2} \\ 0 & 0 & -1 & x_ {1} & cdots & cdots & x_ {n-3} \\ 0 & 0 & 0 & -1 & cdots & cdots & x_ {n-4} \\ vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & ddots & vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & -1 & x_ {1} end {bmatrix}}}$

und

${ displaystyle B_ {n} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = det { begin {bmatrix} { frac {x_ {1}} {0!}} & { frac {x_ {2}} {1!}} & { Frac {x_ {3}} {2!}} & { Frac {x_ {4}} {3!}} & Cdots & cdots & { frac { x_ {n}} {(n-1)!}} \\ – 1 & { frac {x_ {1}} {0!}} & { frac {x_ {2}} {1!}} & { frac {x_ {3}} {2!}} & cdots & cdots & { frac {x_ {n-1}} {(n-2)!}} \\ 0 & -2 & { frac {x_ {1}} {0!}} & { frac {x_ {2}} {1!}} & cdots & cdots & { frac {x_ {n-2}} {(n-3 )!}} \\ 0 & 0 & -3 & { frac {x_ {1}} {0!}} & Cdots & cdots & { frac {x_ {n-3}} {(n-4)! }} \\ 0 & 0 & 0 & -4 & cdots & cdots & { frac {x_ {n-4}} {(n-5)!}} \\ vdots & vdots & vdots & vdots & ddots & ddots & vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & – (n-1) & { frac {x_ {1}} {0!}} end {bmatrix}}.}$

Stirling-Nummern und Bell-Nummern[edit]

Der Wert des Bell-Polynoms B._n,k((x₁,x₂, …) auf der Folge von Fakultäten entspricht eine vorzeichenlose Stirling-Zahl der ersten Art:

${ displaystyle B_ {n, k} (0 !, 1 !, dots, (nk)!) = c (n, k) = | s (n, k) | = left[{n atop k}right].}$

Der Wert des Bell-Polynoms B._n,k((x₁,x₂, …) in der Folge von Einsen entspricht eine Stirling-Zahl der zweiten Art:

${ displaystyle B_ {n, k} (1,1, dots, 1) = S (n, k) = left {{n atop k} right }.}$

Die Summe dieser Werte ergibt den Wert des vollständigen Bell-Polynoms in der Folge von Einsen:

${ displaystyle B_ {n} (1,1, dots, 1) = sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (1,1, dots, 1) = sum _ {k = 1} ^ {n} left {{n atop k} right },}$

Welches ist das nGlockennummer.

Inverse Beziehungen[edit]

Wenn wir definieren

${ displaystyle y_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, ldots, x_ {n-k + 1}),}$

dann haben wir die umgekehrte Beziehung

${ displaystyle x_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k-1} (k-1)! B_ {n, k} (y_ {1}, ldots , y_ {n-k + 1}).}$

Touchard-Polynome[edit]

Touchard-Polynom

${ displaystyle T_ {n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} left {{n atop k} right } cdot x ^ {k}}$

kann als Wert des vollständigen Bell-Polynoms für alle Argumente ausgedrückt werden x::

${ displaystyle T_ {n} (x) = B_ {n} (x, x, dots, x).}$

Faltungsidentität[edit]

Für Sequenzen x_n, y_n, n = 1, 2, … definieren eine Faltung durch:

${ displaystyle (x { mathbin { diamondsuit}} y) _ {n} = sum _ {j = 1} ^ {n-1} {n wähle j} x_ {j} y_ {nj}.}$

Die Summationsgrenzen sind 1 und n – 1, nicht 0 und n .

Lassen

${ displaystyle x_ {n} ^ {k diamondsuit} ,}$

sei der nth Term der Sequenz

${ displaystyle displaystyle underbrace {x { mathbin { diamondsuit}} cdots { mathbin { diamondsuit}} x} _ {k { text {Faktoren}}. ,}$

Dann

${ displaystyle B_ {n, k} (x_ {1}, dots, x_ {n-k + 1}) = {x_ {n} ^ {k diamondsuit} over k!}. ,}$

Lassen Sie uns zum Beispiel berechnen

${ displaystyle B_ {4,3} (x_ {1}, x_ {2})}$

. Wir haben

${ displaystyle x = (x_ {1} , x_ {2} , x_ {3} , x_ {4} , dots)}$

${ displaystyle x { mathbin { diamondsuit}} x = (0, 2x_ {1} ^ {2} , 6x_ {1} x_ {2} , 8x_ {1} x_ {3} + 6x_ {2} ^ {2} , dots)}$

${ displaystyle x { mathbin { diamondsuit}} x { mathbin { diamondsuit}} x = (0 , 0 , 6x_ {1} ^ {3} , 36x_ {1} ^ {2 } x_ {2} , dots)}$

und somit,

${ displaystyle B_ {4,3} (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {(x { mathbin { diamondsuit}} x { mathbin { diamondsuit}} x) _ {4} } {3!}} = 6x_ {1} ^ {2} x_ {2}.}$

Andere Identitäten[edit]

• 
  ${ displaystyle B_ {n, k} (1 !, 2 !, ldots, (n-k + 1)!) = { binom {n-1} {k-1}} { frac {n!} {k!}} = L (n, k)}$

  das gibt die Lah-Nummer.

• 
  ${ displaystyle B_ {n, k} (1,2,3, ldots, n-k + 1) = { binom {n} {k}} k ^ {nk}}$

  das gibt die idempotente Nummer.

• 
  ${ displaystyle B_ {n, k} (- x_ {1}, x_ {2}, – x_ {3}, ldots, (- 1) ^ {nk} x_ {n-k + 1}) = (- 1) ^ {n} B_ {n, k} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots, x_ {n-k + 1})}$

  und

  ${ displaystyle B_ {n} (- x_ {1}, x_ {2}, – x_ {3}, ldots, (- 1) ^ {n-1} x_ {n}) = (- 1) ^ { n} B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots, x_ {n})}$

  .

• Die vollständigen Bell-Polynome erfüllen die Binomialtyp-Beziehung:

  ${ displaystyle B_ {n} (x_ {1} + y_ {1}, ldots, x_ {n} + y_ {n}) = sum _ {i = 0} ^ {n} {n wähle i} B_ {ni} (x_ {1}, ldots, x_ {ni}) B_ {i} (y_ {1}, ldots, y_ {i}),}$

  

  ${ displaystyle B_ {n, k} { Bigl (} { frac {x_ {q + 1}} { binom {q + 1} {q}}}, { frac {x_ {q + 2}} { binom {q + 2} {q}}}, ldots { Bigr)} = { frac {n! (q!) ^ {k}} {(n + qk)!}} B_ {n + qk, k} ( ldots, 0,0, x_ {q + 1}, x_ {q + 2}, ldots).}$

  

Dies korrigiert das Weglassen des Faktors

${ displaystyle (q!) ^ {k}}$

in Comtets Buch.

• Wann
  ${ displaystyle 1 leq a$

  ,

${ displaystyle B_ {n, na} (x_ {1}, ldots, x_ {a + 1}) = sum _ {j = a + 1} ^ {2a} { frac {j!} {a! }} { binom {n} {j}} (x_ {1}) ^ {nj} B_ {a, ja} { Bigl (} { frac {x_ {2}} {2}}, { frac {x_ {3}} {3}}, ldots, { frac {x_ {2 (a + 1) -j}} {2 (a + 1) -j}} { Bigr)}.}$

• Sonderfälle partieller Bell-Polynome:

${ displaystyle { begin {align} B_ {n, 1} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = {} & x_ {n} \[8pt]B_ {n, 2} (x_ {1}, ldots, x_ {n-1}) = {} & { frac {1} {2}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} { binom {n} {k}} x_ {k} x_ {nk} \[8pt]B_ {n, n} (x_ {1}) = {} & (x_ {1}) ^ {n} \[8pt]B_ {n, n-1} (x_ {1}, x_ {2}) = {} & { binom {n} {2}} (x_ {1}) ^ {n-2} x_ {2} .[8pt]B_ {n, n-2} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {} & { binom {n} {3}} (x_ {1}) ^ {n-3} x_ {3} +3 { binom {n} {4}} (x_ {1}) ^ {n-4} (x_ {2}) ^ {2} \[8pt]B_ {n, n-3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = {} & { binom {n} {4}} (x_ {1}) ^ {n-4} x_ {4} +10 { binom {n} {5}} (x_ {1}) ^ {n-5} x_ {2} x_ {3} +15 { binom {n} { 6}} (x_ {1}) ^ {n-6} (x_ {2}) ^ {3} \[8pt]B_ {n, n-4} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = {} & { binom {n} {5}} (x_ {1}) ^ {n-5} x_ {5} +5 { binom {n} {6}} (x_ {1}) ^ {n-6} { bigl [}3x_{2}x_{4}+2(x_{3})^{2}{bigr ]} +105 { binom {n} {7}} (x_ {1}) ^ {n-7} (x_ {2}) ^ {2} x_ {3} \ {} & {} + 105 { binom {n} {8}} (x_ {1}) ^ {n-8} (x_ {2}) ^ {4}. end {align}}}$

Beispiele[edit]

Die ersten vollständigen Bell-Polynome sind:

${ displaystyle { begin {align} B_ {0} = {} & 1, \[8pt]B_ {1} (x_ {1}) = {} & x_ {1}, \[8pt]B_ {2} (x_ {1}, x_ {2}) = {} & x_ {1} ^ {2} + x_ {2}, \[8pt]B_ {3} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {} & x_ {1} ^ {3} + 3x_ {1} x_ {2} + x_ {3}, \[8pt]B_ {4} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = {} & x_ {1} ^ {4} + 6x_ {1} ^ {2} x_ {2} + 4x_ {1} x_ {3} + 3x_ {2} ^ {2} + x_ {4}, \[8pt]B_ {5} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = {} & x_ {1} ^ {5} + 10x_ {2} x_ {1} ^ {3} + 15x_ {2} ^ {2} x_ {1} + 10x_ {3} x_ {1} ^ {2} + 10x_ {3} x_ {2} + 5x_ {4} x_ {1} + x_ {5} \[8pt]B_ {6} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}) = {} & x_ {1} ^ {6} + 15x_ {2 } x_ {1} ^ {4} + 20x_ {3} x_ {1} ^ {3} + 45x_ {2} ^ {2} x_ {1} ^ {2} + 15x_ {2} ^ {3} + 60x_ {3} x_ {2} x_ {1} \ & {} + 15x_ {4} x_ {1} ^ {2} + 10x_ {3} ^ {2} + 15x_ {4} x_ {2} + 6x_ { 5} x_ {1} + x_ {6}, \[8pt]B_ {7} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}, x_ {7}) = {} & x_ {1} ^ {7 } + 21x_ {1} ^ {5} x_ {2} + 35x_ {1} ^ {4} x_ {3} + 105x_ {1} ^ {3} x_ {2} ^ {2} + 35x_ {1} ^ {3} x_ {4} \ & {} + 210x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {3} + 105x_ {1} x_ {2} ^ {3} + 21x_ {1} ^ {2 } x_ {5} + 105x_ {1} x_ {2} x_ {4} \ & {} + 70x_ {1} x_ {3} ^ {2} + 105x_ {2} ^ {2} x_ {3} + 7x_ {1} x_ {6} + 21x_ {2} x_ {5} + 35x_ {3} x_ {4} + x_ {7}. End {align}}}$

Anwendungen[edit]

Faà di Brunos Formel[edit]

Die Formel von Faà di Bruno kann in Form von Bell-Polynomen wie folgt angegeben werden:

${ displaystyle {d ^ {n} über dx ^ {n}} f (g (x)) = sum _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) B_ {n, k} links (g ‘(x), g’ ‘(x), Punkte, g ^ {(n-k + 1)} (x) rechts).}$

In ähnlicher Weise kann eine Potenzreihenversion der Formel von Faà di Bruno unter Verwendung von Bell-Polynomen wie folgt angegeben werden. Annehmen

${ displaystyle f (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} {a_ {n} über n!} x ^ {n} qquad { text {und}} qquad g (x ) = sum _ {n = 1} ^ { infty} {b_ {n} über n!} x ^ {n}.}$

Dann

${ displaystyle g (f (x)) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} B_ {n, k} (a_ {1}, dots, a_ {n-k + 1})} {n!}} x ^ {n}.}$

Insbesondere erscheinen die vollständigen Bell-Polynome im Exponential einer formalen Potenzreihe:

${ displaystyle exp left ( sum _ {i = 1} ^ { infty} {a_ {i} over i!} x ^ {i} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} {B_ {n} (a_ {1}, dots, a_ {n}) over n!} x ^ {n},}$

Dies repräsentiert auch die exponentielle Erzeugungsfunktion der vollständigen Bell-Polynome für eine feste Folge von Argumenten

${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots}$

.

Umkehrung von Serien[edit]

Lassen Sie zwei Funktionen f und G in formalen Potenzreihen ausgedrückt werden als

${ displaystyle f (w) = sum _ {k = 0} ^ { infty} f_ {k} { frac {w ^ {k}} {k!}}, qquad { text {und}} qquad g (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} g_ {k} { frac {z ^ {k}} {k!}},}$

so dass G ist die kompositorische Umkehrung von f definiert von G((f((w)) = w oder f((G((z)) = z. Wenn f₀ = 0 und f₁ ≠ 0, dann kann eine explizite Form der Koeffizienten der Inversen in Form von Bell-Polynomen als angegeben werden

${ displaystyle g_ {n} = { frac {1} {f_ {1} ^ {n}}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} n ^ { bar {k}} B_ {n-1, k} ({ hat {f}} _ {1}, { hat {f}} _ {2}, ldots, { hat {f}} _ {nk}), qquad n geq 2,}$

mit

${ displaystyle { hat {f}} _ {k} = { frac {f_ {k + 1}} {(k + 1) f_ {1}}},}$

und

${ displaystyle n ^ { bar {k}} = n (n + 1) cdots (n + k-1)}$

ist die steigende Fakultät, und

${ displaystyle g_ {1} = { frac {1} {f_ {1}}}.}$

Asymptotische Expansion von Laplace-Integralen[edit]

Betrachten Sie das Integral des Formulars

${ displaystyle I ( lambda) = int _ {a} ^ {b} e ^ {- lambda f (x)} g (x) , mathrm {d} x,}$

wo (ein,b) ist ein reales (endliches oder unendliches) Intervall, λ ist ein großer positiver Parameter und die Funktionen f und G sind kontinuierlich. Lassen f habe ein einziges Minimum in [a,b] was bei auftritt x = ein. Angenommen, als x → ein⁺,

${ displaystyle f (x) sim f (a) + sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} (xa) ^ {k + alpha},}$

${ displaystyle g (x) sim sum _ {k = 0} ^ { infty} b_ {k} (xa) ^ {k + beta -1},}$

mit α > 0, Re (β)> 0; und dass die Erweiterung von f kann termweise differenziert werden. Dann besagt der Laplace-Erdelyi-Satz, dass die asymptotische Expansion des Integrals ich((λ) ist gegeben durch

${ displaystyle I ( lambda) sim e ^ {- lambda f (a)} sum _ {n = 0} ^ { infty} Gamma { Big (} { frac {n + beta} { alpha}} { Big)} { frac {c_ {n}} { lambda ^ {(n + beta) / alpha}}} qquad { text {as}} quad lambda rightarrow infty,}$

wo die Koeffizienten c_n sind ausdrückbar in Bezug auf ein_n und b_n mit partiellen gewöhnliche Glockenpolynome nach Campbell-Froman-Walles-Wojdylo-Formel:

${ displaystyle c_ {n} = { frac {1} { alpha a_ {0} ^ {(n + beta) / alpha}}} sum _ {k = 0} ^ {n} b_ {nk} sum _ {j = 0} ^ {k} { binom {- { frac {n + beta} { alpha}}} {j}} { frac {1} {a_ {0} ^ {j} }} { hat {B}} _ {k, j} (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k-j + 1}).}$

Symmetrische Polynome[edit]

Das elementare symmetrische Polynom

${ displaystyle e_ {n}}$

und das symmetrische Polynom der Leistungssumme

${ displaystyle p_ {n}}$

kann mit Bell-Polynomen wie folgt in Beziehung gesetzt werden:

${ displaystyle { begin {align} e_ {n} & = { frac {1} {n!}} ; B_ {n} (p_ {1}, – 1! p_ {2}, 2! p_ { 3}, – 3! P_ {4}, ldots, (- 1) ^ {n-1} (n-1)! P_ {n}) \ & = { frac {(-1) ^ {n }} {n!}} ; B_ {n} (- p_ {1}, – 1! p_ {2}, – 2! p_ {3}, – 3! p_ {4}, ldots, – (n -1)! P_ {n}), end {align}}}$

${ displaystyle { begin {align} p_ {n} & = { frac {(-1) ^ {n-1}} {(n-1)!}} sum _ {k = 1} ^ {n } (- 1) ^ {k-1} (k-1)! ; B_ {n, k} (e_ {1}, 2! E_ {2}, 3! E_ {3}, ldots, (n -k + 1)! e_ {n-k + 1}) \ & = (- 1) ^ {n} ; n ; sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}} ; { hat {B}} _ {n, k} (- e_ {1}, dots, -e_ {n-k + 1}). end {align}}}$

Diese Formeln erlauben es, die Koeffizienten von monischen Polynomen in Form der Bell-Polynome ihrer Nullen auszudrücken. Zum Beispiel führen sie zusammen mit dem Cayley-Hamilton-Theorem zum Ausdruck der Determinante von a n × n quadratische Matrix EIN in Bezug auf die Spuren seiner Kräfte:

${ displaystyle det (A) = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}} B_ {n} (s_ {1}, s_ {2}, ldots, s_ {n}) , ~ qquad { text {where}} s_ {k} = – (k-1)! operatorname {tr} (A ^ {k}).}$

Zyklusindex symmetrischer Gruppen[edit]

Der Zyklusindex der symmetrischen Gruppe

${ displaystyle S_ {n}}$

kann in Form vollständiger Bell-Polynome wie folgt ausgedrückt werden:

${ displaystyle Z (S_ {n}) = { frac {B_ {n} (0! , a_ {1}, 1! , a_ {2}, dots, (n-1)! , a_ {n})} {n!}}.}$

Momente und Kumulanten[edit]

Die Summe

${ displaystyle mu _ {n} ‘= B_ {n} ( kappa _ {1}, dots, kappa _ {n}) = sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} ( kappa _ {1}, dots, kappa _ {n-k + 1})}$

ist der nroher Moment einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren erste n Kumulanten sind κ₁, …, κ_n. Mit anderen Worten, die nDer Moment ist der nDas vollständige Bell-Polynom wurde zuerst ausgewertet n Kumulanten. Ebenso die nDas Kumulat kann in Bezug auf die Momente als angegeben werden

${ displaystyle kappa _ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k-1} (k-1)! B_ {n, k} ( mu ‘_ { 1}, ldots, mu ‘_ {n-k + 1}).}$

Einsiedlerpolynome[edit]

Die Hermite-Polynome der Probabilisten können als Bell-Polynome ausgedrückt werden als

${ displaystyle operatorname {He} _ {n} (x) = B_ {n} (x, -1,0, ldots, 0),}$

wo x_ich = 0 für alle ich > 2; Dies ermöglicht eine kombinatorische Interpretation der Koeffizienten der Hermite-Polynome. Dies lässt sich durch einen Vergleich der Erzeugungsfunktion der Hermite-Polynome erkennen

${ displaystyle exp left (xt – { frac {t ^ {2}} {2}} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} operatorname {He} _ {n} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}}}$

mit dem von Bell-Polynomen.

Darstellung von Polynomsequenzen vom Binomialtyp[edit]

Für jede Sequenz ein₁, ein₂,…, ein_n von Skalaren lassen

${ displaystyle p_ {n} (x) = sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (a_ {1}, dots, a_ {n-k + 1}) x ^ { k}.}$

Dann ist diese Polynomsequenz vom Binomialtyp, dh sie erfüllt die Binomialidentität

${ displaystyle p_ {n} (x + y) = sum _ {k = 0} ^ {n} {n wähle k} p_ {k} (x) p_ {nk} (y).}$

Beispiel: Zum ein₁ =… = ein_n = 1, die Polynome

${ displaystyle p_ {n} (x)}$

Touchard-Polynome darstellen.

Allgemeiner haben wir dieses Ergebnis:

Satz: Alle Polynomsequenzen vom Binomialtyp haben diese Form.

Wenn wir eine formale Potenzreihe definieren

${ displaystyle h (x) = sum _ {k = 1} ^ { infty} {a_ {k} over k!} x ^ {k},}$

dann für alle n,

${ displaystyle h ^ {- 1} left ({d over dx} right) p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x).}$

Software[edit]

Glockenpolynome sind implementiert in:

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]