Auf den Größen und Entfernungen (Aristarchus)

Werk von Aristarchos von Samos, griechischer Astronom

Aristarchus ‘Berechnungen aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. Über die relativen Größen von Sonne, Erde und Mond von links aus einer griechischen Kopie aus dem 10. Jahrhundert n. Chr

Auf den Größen und Entfernungen (von Sonne und Mond) (Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης], Peri Megethon Kai Apostematon) wird allgemein als das einzige erhaltene Werk von Aristarchos von Samos akzeptiert, einem antiken griechischen Astronomen, der zwischen 310 und 230 v. Chr. lebte. Diese Arbeit berechnet die Größe von Sonne und Mond sowie ihre Abstände von der Erde in Bezug auf den Erdradius.

Das Buch wurde vermutlich von Studenten des Mathematikkurses von Pappus von Alexandria aufbewahrt, obwohl es keine Beweise dafür gibt. Das editio princeps wurde 1688 von John Wallis unter Verwendung mehrerer mittelalterlicher Manuskripte veröffentlicht, die von Sir Henry Savile zusammengestellt wurden.[1] Die früheste lateinische Übersetzung wurde 1488 von Giorgio Valla angefertigt 1572 Lateinische Übersetzung und Kommentar von Frederico Commandino.[2][3]

Symbole[edit]

Die Methode der Arbeit stützte sich auf mehrere Beobachtungen:

  • Die scheinbare Größe der Sonne und des Mondes am Himmel.
  • Die Größe des Erdschattens im Verhältnis zum Mond während einer Mondfinsternis
  • Der Winkel zwischen Sonne und Mond während eines Halbmondes liegt sehr nahe bei 90 °.

Der Rest des Artikels beschreibt eine Rekonstruktion der Methode und der Ergebnisse von Aristarchus.[4] Die Rekonstruktion verwendet die folgenden Variablen:

Symbol Bedeutung
φ Winkel zwischen Mond und Sonne während eines Halbmondes (direkt messbar)
L. Entfernung von der Erde zum Mond
S. Entfernung von der Erde zur Sonne
Radius des Mondes
s Radius der Sonne
t Radius der Erde
D. Entfernung vom Erdmittelpunkt zum Scheitelpunkt des Erdschattenkegels
d Radius des Erdschattens am Ort des Mondes
n Verhältnis, d / ℓ (eine direkt beobachtbare Größe während einer Mondfinsternis)
x Verhältnis, S / L. = s / ℓ (was berechnet wird aus φ)

Halbmond[edit]

Aristarchus begann mit der Annahme, dass der Mond während eines Halbmondes mit Sonne und Erde ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Durch Beobachtung des Winkels zwischen Sonne und Mond φDas Verhältnis der Entfernungen zu Sonne und Mond konnte unter Verwendung einer Form der Trigonometrie abgeleitet werden.

Aus dem Diagramm und der Trigonometrie können wir das berechnen

S.L.=1cos⁡φ=sek⁡φ.{ displaystyle { frac {S} {L}} = { frac {1} { cos varphi}} = sec varphi.}

Das Diagramm ist stark übertrieben, weil in Wirklichkeit S = 390 l, und φ ist extrem nahe an 90 °. Aristarchus entschlossen φ ein Dreißigstel eines Quadranten (in modernen Begriffen 3 °) kleiner als ein rechter Winkel sein: in der aktuellen Terminologie 87 °. Trigonometrische Funktionen waren noch nicht erfunden worden, aber unter Verwendung einer geometrischen Analyse im Stil von Euklid stellte Aristarchus dies fest

18<S.L.<20.{ displaystyle 18

Mit anderen Worten, die Entfernung zur Sonne war zwischen 18 und 20 Mal größer als die Entfernung zum Mond. Dieser Wert (oder Werte in der Nähe davon) wurde von den Astronomen für die nächsten zweitausend Jahre akzeptiert, bis die Erfindung des Teleskops eine genauere Schätzung der Sonnenparallaxe ermöglichte.

Aristarchus argumentierte auch, dass die Sonne 18 bis 20 Mal größer sein muss, da die Winkelgröße von Sonne und Mond gleich war, der Abstand zur Sonne jedoch zwischen 18 und 20 Mal größer als der Mond war.

Mondfinsternis[edit]

Aristarchus verwendete dann eine andere Konstruktion, die auf einer Mondfinsternis basierte:

Durch Ähnlichkeit der Dreiecke

D.L.=tt– –d{ displaystyle { frac {D} {L}} = { frac {t} {td}} quad}

und

D.S.=ts– –t.{ displaystyle quad { frac {D} {S}} = { frac {t} {st}}.}

Teilen Sie diese beiden Gleichungen und verwenden Sie die Beobachtung, dass die scheinbaren Größen von Sonne und Mond gleich sind.

L.S.=ℓs{ displaystyle { frac {L} {S}} = { frac { ell} {s}}}

ergibt

ℓs=t– –ds– –t ⇒ s– –ts=t– –dℓ ⇒ 1– –ts=tℓ– –dℓ ⇒ tℓ+ts=1+dℓ.{ displaystyle { frac { ell} {s}} = { frac {td} {st}} Rightarrow { frac {st} {s}} = { frac {td} { ell}} Rightarrow 1 – { frac {t} {s}} = { frac {t} { ell}} – { frac {d} { ell}} Rightarrow { frac {t} { ell}} + { frac {t} {s}} = 1 + { frac {d} { ell}}.}

Die Gleichung ganz rechts kann entweder gelöst werden ℓ / t

tℓ((1+ℓs)=1+dℓ ⇒ ℓt=1+ℓs1+dℓ.{ displaystyle { frac {t} { ell}} (1 + { frac { ell} {s}}) = 1 + { frac {d} { ell}} Rightarrow { frac { ell} {t}} = { frac {1 + { frac { ell} {s}}} {1 + { frac {d} { ell}}}.}

oder s / t

ts((1+sℓ)=1+dℓ ⇒ st=1+sℓ1+dℓ.{ displaystyle { frac {t} {s}} (1 + { frac {s} { ell}}) = 1 + { frac {d} { ell}} Rightarrow { frac {s} {t}} = { frac {1 + { frac {s} { ell}}} {1 + { frac {d} { ell}}}.}

Das Erscheinungsbild dieser Gleichungen kann mit vereinfacht werden n = d / ℓ und x = s / ℓ.

ℓt=1+xx((1+n){ displaystyle { frac { ell} {t}} = { frac {1 + x} {x (1 + n)}}}

st=1+x1+n{ displaystyle { frac {s} {t}} = { frac {1 + x} {1 + n}}}

Die obigen Gleichungen geben die Radien von Mond und Sonne vollständig als beobachtbare Größen an.

Die folgenden Formeln geben die Entfernungen zu Sonne und Mond in terrestrischen Einheiten an:

L.t=((ℓt)((180πθ){ displaystyle { frac {L} {t}} = left ({ frac { ell} {t}} right) left ({ frac {180} { pi theta}} right) }}

S.t=((st)((180πθ){ displaystyle { frac {S} {t}} = left ({ frac {s} {t}} right) left ({ frac {180} { pi theta}} right)}

wo θ ist der scheinbare Radius von Mond und Sonne, gemessen in Grad.

Es ist unwahrscheinlich, dass Aristarchus genau diese Formeln verwendet hat, aber diese Formeln sind wahrscheinlich eine gute Annäherung an die von Aristarchus.

Ergebnisse[edit]

Die obigen Formeln können verwendet werden, um die Ergebnisse von Aristarchus zu rekonstruieren. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse einer langjährigen (aber zweifelhaften) Rekonstruktion mit n = 2, x = 19,1 (φ = 87 °) und θ = 1 °, neben den heute akzeptierten Werten.

Menge Beziehung Wiederaufbau Modern
s / t Sonnenradius in Erdradien 6.7 109
t / ℓ Erdradius in Mondradien 2,85 3,50
L / t Erd-Mond-Abstand in Erdradien 20 60,32
S / t Abstand Erde-Sonne in Erdradien 380 23.500

[citation needed]

Der Fehler bei dieser Berechnung ergibt sich hauptsächlich aus den schlechten Werten für x und θ. Der schlechte Wert für θ ist besonders überraschend, da Archimedes schreibt, dass Aristarchus als erster feststellte, dass Sonne und Mond einen scheinbaren Durchmesser von einem halben Grad hatten. Dies würde einen Wert von ergeben θ = 0,25 und ein entsprechender Abstand zum Mond von 80 Erdradien, eine viel bessere Schätzung. Die Uneinigkeit der Arbeit mit Archimedes scheint darauf zurückzuführen zu sein, dass Aristarchus behauptet, der Lunisolardurchmesser sei 1/15 eines “Meros” des Tierkreises, was 1/15 eines Sternzeichens (30 °) bedeutet, ohne zu wissen, dass der Das griechische Wort “Meros” bedeutete entweder “Portion” oder 7 ° 1/2; und 1/15 des letzteren Betrags beträgt 1 ° / 2 in Übereinstimmung mit Archimedes ‘Aussage.

Ein ähnliches Verfahren wurde später von Hipparchus angewendet, der die mittlere Entfernung zum Mond auf 67 Erdradien schätzte, und Ptolemaios, der 59 Erdradien für diesen Wert verwendete.

Abbildungen[edit]

Einige interaktive Illustrationen der Sätze in Auf Größen finden Sie hier:

  • Hypothese 4 gibt an, dass, wenn der Mond uns halbiert erscheint, seine Entfernung von der Sonne dann weniger als ein Quadrant um ein Dreißigstel eines Quadranten beträgt [that is, it is less than 90° by 1/30th of 90° or 3°, and is therefore equal to 87°] (Heath 1913: 353).
  • Satz 1 stellt fest, dass zwei gleiche Kugeln von ein und demselben Zylinder und zwei ungleiche Kugeln von ein und demselben Kegel erfasst werden, dessen Scheitelpunkt in Richtung der kleineren Kugel liegt; und die gerade Linie, die durch die Zentren der Kugeln gezogen wird, ist rechtwinklig zu jedem der Kreise, in denen die Oberfläche des Zylinders oder des Kegels die Kugeln berührt (Heath 1913: 354).
  • Satz 2 besagt, dass, wenn eine Kugel von einer Kugel beleuchtet wird, die größer ist als sie selbst, der beleuchtete Teil der früheren Kugel größer als eine Halbkugel ist (Heath 1913: 358).
  • Satz 3 stellt fest, dass der Kreis im Mond, der den dunklen und den hellen Teil teilt, am geringsten ist, wenn der Kegel, der sowohl die Sonne als auch den Mond umfasst, seinen Scheitelpunkt in unserem Auge hat (Heath 1913: 362).
  • Satz 4 stellt fest, dass der Kreis, der den dunklen und den hellen Teil des Mondes teilt, sich nicht merklich von einem großen Kreis im Mond unterscheidet (Heath 1913: 365).
  • Satz 6 gibt an, dass sich der Mond bewegt [in an orbit] niedriger als [that of] Die Sonne ist, wenn sie halbiert ist, weniger als einen Quadranten von der Sonne entfernt (Heath 1913: 372).
  • Satz 7 gibt an, dass die Entfernung der Sonne von der Erde größer als das 18-fache, aber weniger als das 20-fache der Entfernung des Mondes von der Erde ist (Heath 1913: 377). Mit anderen Worten, die Sonne ist 18 bis 20 Mal weiter entfernt und breiter als der Mond.
  • Satz 13 gibt an, dass die gerade Linie, die den Teil abdeckt, der im Erdschatten des Kreisumfangs abgefangen ist, in dem sich die Enden des Kreisdurchmessers, der den dunklen und den hellen Teil des Mondes teilt, weniger als doppelt so groß sind wie der Durchmesser des Mondes , hat aber dazu ein Verhältnis größer als das, was 88 zu 45 hat; und es ist weniger als 1/9 Teil des Durchmessers der Sonne, hat aber ein Verhältnis, das größer ist als das, was 21 zu 225 hat. Aber es hat zu der geraden Linie, die vom Sonnenmittelpunkt im rechten Winkel zur Sonne gezogen wird Achse und Treffen der Seiten des Kegels ein Verhältnis größer als das, was 979 zu 10 125 hat (Heath 1913: 394).
  • Satz 14 gibt an, dass die gerade Linie, die vom Erdmittelpunkt zum Mondmittelpunkt verbunden ist, mit der geraden Linie von der Achse zum Mondmittelpunkt durch die gerade Linie abgeschnitten ist, die dem [circumference] im Schatten der Erde ein Verhältnis größer als das, das 675 zu 1 hat (Heath 1913: 400).
  • Satz 15 gibt an, dass der Durchmesser der Sonne zum Durchmesser der Erde ein Verhältnis von mehr als 19/3, aber weniger als 43/6 hat (Heath 1913: 403). Dies bedeutet, dass die Sonne (im Mittel) 6¾ mal breiter als die Erde ist oder dass die Sonne 13½ Erdradien breit ist. Der Mond und die Sonne müssen dann 20¼ und 387 Erdradien von uns entfernt sein, um eine Winkelgröße von 2º zu erreichen.
  • Satz 17a in al-Tusis mittelalterlicher arabischer Version des Buches Auf Größen gibt an, dass das Verhältnis des Abstands des Scheitelpunkts des Schattenkegels vom Mondmittelpunkt (wenn sich der Mond auf der Achse befindet) ist [that is, at the middle of an eclipse] des Kegels, der die Erde und die Sonne enthält) zum Abstand des Mondmittelpunkts vom Erdmittelpunkt ist größer als das Verhältnis 71 zu 37 und kleiner als das Verhältnis 3 zu eins (Berggren & Sidoli 2007: 218).[5] Mit anderen Worten, dass die Spitze des Erdschattenkegels zwischen 108/37 und viermal weiter entfernt ist als der Mond.

Bekannte Kopien[edit]

  • Kongressbibliothek Vatikan Ausstellung.

Siehe auch[edit]

  1. ^ Heath, Thomas (1913). Aristarchos von Samos, der alte Kopernikus. Oxford: Clarendon. p. 323.
  2. ^ Berggren und Sidoli. 2007. ‘Aristarchus über die Größen und Entfernungen von Sonne und Mond: griechische und arabische Texte’. Bogen. Hist. Genaue Sci. 61 (3), S. 213–54. doi:10.1007 / s00407-006-0118-4
  3. ^ Noack B. (1992) Aristarch von Samos: Untersuchungen zur Überlieferungsgeschichte der Schrif Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων ἡλίου καὶ σελήνης, Wiesbaden.
  4. ^ Ein Video zur Rekonstruktion der Methode von Aristarchus (auf Türkisch keine Untertitel)
  5. ^ Berggren, JL & N. Sidoli (2007) “”Aristarchus ‘Über die Größen und Entfernungen von Sonne und Mond: Griechische und arabische Texte’, Archiv für Geschichte der exakten Wissenschaften, Vol. 61, nein. 3, 213–254 “ (PDF). Archiviert vom Original am 28. April 2011. Abgerufen 2011-11-07.CS1-Wartung: Bot: ursprünglicher URL-Status unbekannt (Link).

Literaturverzeichnis[edit]