Komplement (Mengentheorie) – Wikipedia

Posted on October 7, 2021 by lordneo

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Teilmenge der Elemente, die nicht in einer bestimmten Teilmenge enthalten sind

Ein mit Rot gefüllter Kreis in einem Quadrat. Der Bereich außerhalb des Kreises ist nicht ausgefüllt. Die Ränder sowohl des Kreises als auch des Quadrats sind schwarz.

Wenn $EIN$ ist der Bereich in diesem Bild rot gefärbt…

Ein ungefüllter Kreis in einem Quadrat. Der Bereich innerhalb des Quadrats, der nicht vom Kreis bedeckt ist, wird mit Rot gefüllt. Die Ränder sowohl des Kreises als auch des Quadrats sind schwarz.

… dann die Ergänzung von $EIN$ ist alles andere.

In der Mengenlehre ist die ergänzen eines Satzes $EIN$ , oft bezeichnet mit $EIN C$ (oder $EIN Ich$ ),^[1]^[2] sind die Elemente nicht in $EIN$ .^[3]

Wenn alle betrachteten Mengen als Teilmengen einer gegebenen Menge betrachtet werden $U$ , das absolute Ergänzung von $EIN$ ist die Menge der Elemente in $U$ die sind nicht dabei $EIN$ .

Die relatives Komplement von $EIN$ in Bezug auf eine Menge $B$ , auch als die . bezeichnet Differenz einstellen von $B$ und $EIN$ , geschrieben

{displaystyle Bsetminus A,}

${displaystyle Bsetminus A,}$ ist die Menge der Elemente in $B$ die sind nicht dabei $EIN$ .^[1]

Table of Contents

Absolute Ergänzung[edit]

Die absolute Ergänzung der weißen Scheibe ist der rote Bereich

Definition[edit]

Wenn $EIN$ eine Menge ist, dann ist die absolute Ergänzung von $EIN$ (oder einfach die Ergänzung von $EIN$ ) ist die Menge der Elemente, die nicht in . sind $EIN$ (innerhalb einer größeren Menge, die implizit definiert ist). Mit anderen Worten, lass $U$ eine Menge sein, die alle zu untersuchenden Elemente enthält; wenn es nicht nötig ist zu erwähnen $U$ , entweder weil es zuvor angegeben wurde oder es offensichtlich und eindeutig ist, dann ist das absolute Komplement von $EIN$ ist das relative Komplement von $EIN$ in $U$ :^[4]

{displaystyle A^{c}=UA.}

Oder formal:

{displaystyle A^{c}={xin U:xnotin A}.}

Die absolute Ergänzung zu $EIN$ wird normalerweise mit bezeichnet $EIN C .$ ^[1] Andere Notationen sind

{displaystyle {overline {A}},A’,}

${displaystyle {overline {A}},A',}$ ^[3]

{displaystyle complement_{U}A,{text{ und }}complement A.}

${displaystyle complement _{U}A,{text{ und }}complement A.}$ ^[5]

Beispiele[edit]

Angenommen, das Universum ist die Menge von ganzen Zahlen. Wenn $EIN$ ist die Menge der ungeraden Zahlen, dann ist das Komplement von $EIN$ ist die Menge der geraden Zahlen. Wenn $B$ die Menge der Vielfachen von 3 ist, dann ist das Komplement von $B$ ist die Menge der Zahlen, die zu 1 oder 2 modulo 3 kongruent sind (oder einfacher ausgedrückt, die ganzen Zahlen, die keine Vielfachen von 3 sind).
Angenommen, das Universum ist das standardmäßige 52-Karten-Deck. Wenn das Set $EIN$ ist die Pik, dann das Komplement von $EIN$ ist die Vereinigung der Farben Kreuz, Karo und Herz. Wenn das Set $B$ ist die Vereinigung der Kreuz- und Karofarben, dann die Ergänzung von $B$ ist die Vereinigung von Herz und Pik.

Eigenschaften[edit]

Lassen $EIN$ und $B$ zwei Sätze in einem Universum sein $U$ . Die folgenden Identitäten erfassen wichtige Eigenschaften von absoluten Komplementen:

De Morgans Gesetze:^[6]

${displaystyle left(Acup Bright)^{c}=A^{c}cap B^{c}.}$
${displaystyle left(Acap Bright)^{c}=A^{c}cup B^{c}.}$

Ergänzende Gesetze:^[6]

Involutions- oder Doppelkomplementgesetz:

${displaystyle left(A^{c}right)^{c}=A.}$

Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen:

${displaystyle Asetminus B=Acap B^{c}.}$
${displaystyle (Asetminus B)^{c}=A^{c}cup B=A^{c}cup (Bcap A).}$

Beziehung mit einem festen Unterschied:

${displaystyle A^{c}setminus B^{c}=Bsetminus A.}$

Die ersten beiden Komplementgesetze oben zeigen, dass wenn $EIN$ ist eine nicht leere, richtige Teilmenge von $U$ , dann ${EIN, EIN C}$ ist eine Partition von $U$ .