Komplement (Mengentheorie) – Wikipedia

Posted on by

Teilmenge der Elemente, die nicht in einer bestimmten Teilmenge enthalten sind

Wenn EIN ist der Bereich in diesem Bild rot gefärbt…

… dann die Ergänzung von EIN ist alles andere.

In der Mengenlehre ist die ergänzen eines Satzes EIN, oft bezeichnet mit EINC (oder EINIch),[1][2] sind die Elemente nicht in EIN.[3]

Wenn alle betrachteten Mengen als Teilmengen einer gegebenen Menge betrachtet werden U, das absolute Ergänzung von EIN ist die Menge der Elemente in U die sind nicht dabei EIN.

Die relatives Komplement von EIN in Bezug auf eine Menge B, auch als die . bezeichnet Differenz einstellen von B und EIN, geschrieben

B∖EIN,{displaystyle Bsetminus A,}

ist die Menge der Elemente in B die sind nicht dabei EIN.[1]

Absolute Ergänzung[edit]

Die absolute Ergänzung der weißen Scheibe ist der rote Bereich

Definition[edit]

Wenn EIN eine Menge ist, dann ist die absolute Ergänzung von EIN (oder einfach die Ergänzung von EIN) ist die Menge der Elemente, die nicht in . sind EIN (innerhalb einer größeren Menge, die implizit definiert ist). Mit anderen Worten, lass U eine Menge sein, die alle zu untersuchenden Elemente enthält; wenn es nicht nötig ist zu erwähnen U, entweder weil es zuvor angegeben wurde oder es offensichtlich und eindeutig ist, dann ist das absolute Komplement von EIN ist das relative Komplement von EIN in U:[4]

EINC=U−EIN.{displaystyle A^{c}=UA.}

Oder formal:

EINC={x∈U:x∉EIN}.{displaystyle A^{c}={xin U:xnotin A}.}

Die absolute Ergänzung zu EIN wird normalerweise mit bezeichnet EINC.[1] Andere Notationen sind

EIN¯,EINIch,{displaystyle {overline {A}},A’,}

[3]

∁UEIN, und ∁EIN.{displaystyle complement_{U}A,{text{ und }}complement A.}

[5]

Beispiele[edit]

  • Angenommen, das Universum ist die Menge von ganzen Zahlen. Wenn EIN ist die Menge der ungeraden Zahlen, dann ist das Komplement von EIN ist die Menge der geraden Zahlen. Wenn B die Menge der Vielfachen von 3 ist, dann ist das Komplement von B ist die Menge der Zahlen, die zu 1 oder 2 modulo 3 kongruent sind (oder einfacher ausgedrückt, die ganzen Zahlen, die keine Vielfachen von 3 sind).
  • Angenommen, das Universum ist das standardmäßige 52-Karten-Deck. Wenn das Set EIN ist die Pik, dann das Komplement von EIN ist die Vereinigung der Farben Kreuz, Karo und Herz. Wenn das Set B ist die Vereinigung der Kreuz- und Karofarben, dann die Ergänzung von B ist die Vereinigung von Herz und Pik.

Eigenschaften[edit]

Lassen EIN und B zwei Sätze in einem Universum sein U. Die folgenden Identitäten erfassen wichtige Eigenschaften von absoluten Komplementen:

De Morgans Gesetze:[6]


  • (EIN∪B)C=EINC∩BC.{displaystyle left(Acup Bright)^{c}=A^{c}cap B^{c}.}


  • (EIN∩B)C=EINC∪BC.{displaystyle left(Acap Bright)^{c}=A^{c}cup B^{c}.}

Ergänzende Gesetze:[6]

Involutions- oder Doppelkomplementgesetz:


  • (EINC)C=EIN.{displaystyle left(A^{c}right)^{c}=A.}

Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen:


  • EIN∖B=EIN∩BC.{displaystyle Asetminus B=Acap B^{c}.}


  • (EIN∖B)C=EINC∪B=EINC∪(B∩EIN).{displaystyle (Asetminus B)^{c}=A^{c}cup B=A^{c}cup (Bcap A).}

Beziehung mit einem festen Unterschied:


  • EINC∖BC=B∖EIN.{displaystyle A^{c}setminus B^{c}=Bsetminus A.}

Die ersten beiden Komplementgesetze oben zeigen, dass wenn EIN ist eine nicht leere, richtige Teilmenge von U, dann {EIN, EINC} ist eine Partition von U.

Relatives Komplement[edit]

Definition[edit]

Wenn EIN und B sind Mengen, dann die relatives Komplement von EIN in B,[6] auch als die bezeichnet Differenz einstellen von B und EIN,[7] ist die Menge der Elemente in B aber nicht in EIN.

Die relatives Komplement von EIN (linker Kreis) in B (rechter Kreis): B∩EINC=B∖EIN{displaystyle Bcap A^{c}=Bsetminus A}

Das relative Komplement von EIN in B wird bezeichnet

B∖EIN{displaystyle Bsetminus A}

nach der Norm ISO 31-11. Es wird manchmal geschrieben

B−EIN,{displaystyle BA,}

[1] Diese Notation ist jedoch mehrdeutig, da sie in einigen Kontexten (z. B. Minkowski-Mengenoperationen in der Funktionsanalyse) als Menge aller Elemente interpretiert werden kann

B−ein,{displaystyle ba,}

wo B ist entnommen aus B und ein von EIN.

Formal:

B∖EIN={x∈B:x∉EIN}.{displaystyle Bsetminus A={xin B:xnotin A}.}

Beispiele[edit]


  • {1,2,3}∖{2,3,4}={1}.{displaystyle {1,2,3}setminus {2,3,4}={1}.}


  • {2,3,4}∖{1,2,3}={4}.{displaystyle {2,3,4}setminus {1,2,3}={4}.}

  • Wenn
    R{displaystyle mathbb{R}}

    ist die Menge der reellen Zahlen und Q{displaystylemathbb{Q}}

    ist die Menge der rationalen Zahlen, dann R∖Q{displaystylemathbb{R}setminusmathbb{Q}}

    ist die Menge der irrationalen Zahlen.

Eigenschaften[edit]

Lassen EIN, B, und C drei Sätze sein. Die folgenden Identitäten erfassen bemerkenswerte Eigenschaften relativer Komplemente:

Komplementäre Beziehung[edit]

Eine binäre Beziehung

R{displaystyle R}

ist als Teilmenge eines Produkts von Mengen definiert

x×Ja.{displaystyle Xtimes Y.}

Die komplementäre Beziehung

R¯{displaystyle {bar {R}}}

ist das Mengenkomplement von

R{displaystyle R}

in

x×Ja.{displaystyle Xtimes Y.}

Das Komplement der Beziehung

R{displaystyle R}

kann geschrieben werden

R¯ = (x×Ja)∖R.{displaystyle {bar{R}} = (Xtimes Y)setminus R.}

Hier,

R{displaystyle R}

wird oft als logische Matrix mit Zeilen angesehen, die die Elemente von . darstellen

x,{displaystyle X,}

und Spaltenelemente von

Ja.{displaystyle Y.}

Die Wahrheit von

einRB{displaystyle aRb}

entspricht 1 in Reihe

ein,{displaystyle a,}

Säule

B.{displaystyle b.}

Herstellung der komplementären Beziehung zu

R{displaystyle R}

entspricht dann dem Umschalten aller Einsen auf Nullen und von Nullen auf Einsen für die logische Matrix des Komplements.

Komplementäre Relationen und Mengenalgebra sind neben der Komposition von Relationen und umgekehrten Relationen die elementaren Operationen der Relationsrechnung.

LaTeX-Notation[edit]

In der LaTeX-Satzsprache ist der Befehl setminus[8] wird normalerweise zum Rendern eines Satzdifferenzsymbols verwendet, das einem Backslash-Symbol ähnelt. Beim Rendern wird das setminus Befehl sieht identisch aus mit backslash, außer dass es vor und hinter dem Schrägstrich etwas mehr Platz hat, ähnlich der LaTeX-Sequenz mathbin{backslash}. Eine Variante smallsetminus ist im amssymb-Paket verfügbar.

In Programmiersprachen[edit]

Einige Programmiersprachen haben Sätze zwischen ihren eingebauten Datenstrukturen. Eine solche Datenstruktur verhält sich wie eine endliche Menge, dh sie besteht aus einer endlichen Anzahl von Daten, die nicht speziell geordnet sind, und kann daher als Elemente einer Menge betrachtet werden. In einigen Fällen sind die Elemente nicht notwendigerweise verschieden, und die Datenstruktur kodiert eher Multisets als Sets. Diese Programmiersprachen haben Operatoren oder Funktionen zum Berechnen des Komplements und der Mengendifferenzen.

Diese Operatoren können im Allgemeinen auch auf Datenstrukturen angewendet werden, die keine wirklichen mathematischen Mengen sind, wie beispielsweise geordnete Listen oder Arrays. Daraus folgt, dass einige Programmiersprachen eine Funktion namens . haben können set_difference, auch wenn sie keine Datenstruktur für Mengen haben.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]