Ball (Mathematik) – Wikipedia

In der Mathematik, a Ball ist der von einer Kugel begrenzte Volumenraum; es heißt auch a feste Kugel.^[1] Es kann ein geschlossene Kugel (einschließlich der Grenzpunkte, die die Kugel bilden) oder ein offener Ball (ohne sie).

Diese Konzepte sind nicht nur im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert, sondern auch für niedrigere und höhere Dimensionen und für metrische Räume im Allgemeinen. EIN Ball oder hyperball im nein Dimensionen heißt an nein-Ball und ist begrenzt durch an (nein − 1)-Kugel. So ist zum Beispiel eine Kugel in der euklidischen Ebene dasselbe wie eine Scheibe, die von einem Kreis begrenzte Fläche. Im euklidischen 3-Raum wird eine Kugel als das von einer 2-dimensionalen Kugel begrenzte Volumen angenommen. In einem eindimensionalen Raum ist eine Kugel ein Liniensegment.

In anderen Kontexten, wie in der euklidischen Geometrie und im informellen Gebrauch, Kugel wird manchmal verwendet, um zu bedeuten Ball.

Im euklidischen Raum[edit]

Im euklidischen nein-Raum, ein (offener) nein-Kugel mit Radius r und Zentrum x ist die Menge aller Entfernungspunkte kleiner als r von x. Ein geschlossenes nein-Kugel mit Radius r ist die Menge aller Entfernungspunkte kleiner oder gleich r Weg von x.

Im euklidischen nein-Raum, jede Kugel ist von einer Hypersphäre begrenzt. Der Ball ist ein begrenztes Intervall, wenn nein = 1, ist ein Scheibe von einem Kreis begrenzt, wenn nein = 2, und ist von einer Kugel begrenzt, wenn nein = 3.

Volumen[edit]

Das nein-dimensionales Volumen einer euklidischen Kugel mit Radius R im nein-dimensionaler euklidischer Raum ist:^[2]

${displaystyle V_{n}(R)={frac {pi^{frac {n}{2}}}{Gamma left({frac{n}{2}}+1right) }}R^{n},}$

wo Γ ist die Gammafunktion von Leonhard Euler (die man sich als Erweiterung der Fakultätsfunktion auf Bruchargumente vorstellen kann). Die Verwendung expliziter Formeln für bestimmte Werte der Gammafunktion bei ganzen und halben Zahlen ergibt Formeln für das Volumen einer euklidischen Kugel, die keine Auswertung der Gammafunktion erfordern. Diese sind:

${displaystyle {begin{ausgerichtet}V_{2k}(R)&={frac {pi^{k}}{k!}}R^{2k},,\[2pt]V_{2k+1}(R)&={frac {2^{k+1}pi^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={frac {2(k!)(4pi)^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1},.end{ausgerichtet}}}$

In der Formel für ungeraddimensionale Volumina ist die doppelte Fakultät (2k + 1)!! ist für ungerade ganze Zahlen definiert 2k + 1 wie (2k + 1)!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2k − 1) ⋅ (2k + 1).

In allgemeinen metrischen Räumen[edit]

Lassen (M, d) sei ein metrischer Raum, nämlich eine Menge M mit einer Metrik (Abstandsfunktion) d. Die offene (metrisch) Kugel mit Radius r > 0 zentriert an einem Punkt p im M, normalerweise bezeichnet mit B_r(p) oder B(p; r), ist definiert durch

${displaystyle B_{r}(p)={xin Mmid d(x,p)$

Die geschlossene (metrische) Kugel, die mit bezeichnet werden kann B_r[p] oder B[p; r], ist definiert durch

${displaystyle B_{r}[p]={xin Mmid d(x,p)leq r}.}$

Beachten Sie insbesondere, dass eine Kugel (offen oder geschlossen) immer p selbst, da die Definition erfordert r > 0.

Der Verschluss der offenen Kugel B_r(p) wird normalerweise bezeichnet B_r(p). Es ist zwar immer so, dass B_r(p) ⊆ B_r(p) ⊆ B_r[p], es ist nicht immer so B_r(p) = B_r[p]. Zum Beispiel in einem metrischen Raum X mit der diskreten Metrik hat man B₁(p) = {p} und B₁[p] = X, für alle p ∈ X.

EIN Einheitskugel (offen oder geschlossen) ist eine Kugel mit Radius 1.

Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist beschränkt, wenn sie in einer Kugel enthalten ist. Eine Menge ist total beschränkt, wenn sie bei einem gegebenen positiven Radius von endlich vielen Kugeln dieses Radius bedeckt ist.

Die offenen Kugeln eines metrischen Raums können als Basis dienen, was diesem Raum eine Topologie verleiht, deren offene Mengen alle möglichen Vereinigungen offener Kugeln sind. Diese Topologie auf einem metrischen Raum heißt Topologie induziert durch die Metrik d.

In normierten Vektorräumen[edit]

Beliebiger normierter Vektorraum V mit Norm

${displaystyle |cdot |}$

ist auch ein metrischer Raum mit der Metrik

${displaystyle d(x,y)=|xy|.}$

In solchen Räumen ist eine beliebige Kugel

${displaystyle B_{r}(y)}$

von Punkten

${displaystyle x}$

um einen Punkt

${displaystyle y}$

mit einem Abstand von weniger als

${displaystyle r}$

kann als skalierte (von

${displaystyle r}$

) und übersetzt (von

${displaystyle y}$

) Kopie von a Einheitskugel

${displaystyle B_{1}(0).}$

Solche “zentrierten” Kugeln mit

${displaystyle y=0}$

sind mit . bezeichnet

${displaystyle B(r).}$

Die zuvor besprochenen euklidischen Kugeln sind ein Beispiel für Kugeln in einem normierten Vektorraum.

p-Norm[edit]

In einem kartesischen Raum r^nein mit dem p-Norm L_p, das ist

${displaystyle left|xright|_{p}=left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+dotsb +|x_{n} |^{p}right)^{1/p},}$

eine offene Kugel um den Ursprung mit Radius

${displaystyle r}$

ist gegeben durch die Menge

${displaystyle B(r)=left{xinmathbb{R}^{n},:left|xright|_{p}=left(|x_{1}| ^{p}+|x_{2}|^{p}+dotsb +|x_{n}|^{p}right)^{1/p}$

Zum nein = 2, in einer 2-dimensionalen Ebene

${displaystyle mathbb{R} ^{2}}$

, “Kugeln” nach der L₁-norm (oft als . bezeichnet) Taxi oder Manhattan metrisch) sind durch Quadrate mit ihren Diagonalen parallel zu den Koordinatenachsen; die nach dem L_∞-Norm, auch Chebyshev-Metrik genannt, haben Quadrate mit ihren Seiten parallel zu den Koordinatenachsen als ihre Grenzen. Das L₂-norm, bekannt als euklidische Metrik, erzeugt die bekannten Kreise innerhalb von Kreisen und für andere Werte von p, die entsprechenden Kugeln sind durch Lamé-Kurven (Hypoellipsen oder Hyperellipsen) begrenzte Flächen.

Zum nein = 3, das L₁– Kugeln sind innerhalb von Oktaedern mit Achsen ausgerichtet Körperdiagonalen, das L_∞-Bälle sind innerhalb von Würfeln mit Achsen ausgerichtet Kanten, und die Grenzen der Kugeln für L_p mit p > 2 sind Superellipsoide. Offensichtlich, p = 2 erzeugt das Innere der üblichen Sphären.

Allgemeine konvexe Norm[edit]

Allgemeiner gesagt, bei einer gegebenen zentralsymmetrischen, beschränkten, offenen und konvexen Teilmenge X von r^nein, kann man eine Norm definieren auf r^nein wo die Kugeln alle übersetzt und einheitlich skalierte Kopien von . sind X. Beachten Sie, dass dieser Satz nicht gilt, wenn die “offene” Teilmenge durch eine “geschlossene” Teilmenge ersetzt wird, da der Ursprungspunkt qualifiziert, aber keine Norm definiert auf r^nein.

In topologischen Räumen[edit]

Man kann in jedem topologischen Raum von Kugeln sprechen X, nicht unbedingt durch eine Metrik induziert. An (offen oder geschlossen) nein-dimensional topologische Kugel von X ist eine Teilmenge von X die zu einem (offenen oder geschlossenen) Euklidischen homöomorph ist nein-Ball. Topologische nein-Kugeln sind in der kombinatorischen Topologie als Bausteine ​​von Zellkomplexen wichtig.

Beliebig offene topologische nein-ball ist homöomorph zum kartesischen Raum r^nein und zur offenen Einheit nein-Würfel (Hyperwürfel) (0, 1)^nein ⊆ ℝ^nein. Beliebige geschlossene topologische nein-Ball ist homöomorph zum Geschlossenen nein-Würfel [0, 1]^nein.

Ein nein-ball ist homöomorph zu an ich-ball wenn und nur wenn nein = ich. Die Homöomorphismen zwischen einem offenen nein-Ball B und r^nein lassen sich in zwei Klassen einteilen, die mit den beiden möglichen topologischen Orientierungen von identifiziert werden können B.

Eine topologische nein-Kugel muss nicht glatt sein; wenn es glatt ist, braucht es nicht diffeomorph zu einem Euklidischen zu sein nein-Ball.

Regionen[edit]

Für einen Ball können mehrere spezielle Regionen definiert werden:

• Kappe, begrenzt durch eine Ebene
• Sektor, begrenzt durch eine konische Grenze mit Scheitelpunkt in der Mitte der Kugel
• Segment, begrenzt durch ein Paar paralleler Ebenen
• Schale, begrenzt durch zwei konzentrische Kugeln mit unterschiedlichen Radien
• Keil, begrenzt durch zwei Ebenen, die durch einen Kugelmittelpunkt und die Oberfläche der Kugel verlaufen

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

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