n-Kugel – Wikipedia

Verallgemeinerung der gewöhnlichen Sphäre auf eine beliebige Dimension

So wie eine stereographische Projektion die Oberfläche einer Kugel auf eine Ebene projizieren kann, kann sie auch eine 3-Kugel in den 3-Raum projizieren. Dieses Bild zeigt drei auf den 3-Raum projizierte Koordinatenrichtungen: Parallelen (rot), Meridiane (blau) und Hypermeridiane (grün). Aufgrund der konformen Eigenschaft der stereographischen Projektion schneiden sich die Kurven wie in 4D orthogonal (in den gelben Punkten). Alle Kurven sind Kreise: Die Kurven, die ⟨0,0,0,1⟩ schneiden, haben einen unendlichen Radius (= Gerade).

In der Mathematik, und nein-Kugel ist ein zu a . homöomorpher topologischer Raum Standard nein–Kugel, das ist die Menge der Punkte in (nein + 1)-dimensionaler euklidischer Raum, der sich in konstantem Abstand befindet r von einem Fixpunkt, genannt Center. Es ist die Verallgemeinerung einer gewöhnlichen Kugel im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum. Der “Radius” einer Kugel ist der konstante Abstand ihrer Punkte zum Mittelpunkt. Wenn die Kugel einen Einheitsradius hat, wird sie normalerweise genannt die Einheit nein-Kugel oder einfach das nein-Kugel der Kürze halber. In Bezug auf die Standardnorm, die nein-Sphäre ist definiert als

${displaystyle S^{n}=left{xinmathbb{R}^{n+1}:left|xright|=1right},}$

und ein nein-Kugel mit Radius r kann definiert werden als

${displaystyle S^{n}(r)=left{xinmathbb{R}^{n+1}:left|xright|=rright}.}$

Die Dimension von nein-Kugel ist nein, und darf nicht mit der Bemaßung verwechselt werden (nein + 1) des euklidischen Raums, in den es natürlich eingebettet ist. Ein nein-Kugel ist die Oberfläche oder Grenze von an (nein + 1)-dimensionale Kugel.

Bestimmtes:

• das Punktpaar an den Enden eines (eindimensionalen) Liniensegments ist eine 0-Kugel,
• ein Kreis, der der eindimensionale Umfang einer (zweidimensionalen) Scheibe ist, ist eine 1-Kugel,
• die zweidimensionale Oberfläche einer dreidimensionalen Kugel ist eine 2-Kugel, oft einfach Kugel genannt,
• der dreidimensionale Rand einer (vierdimensionalen) 4-Kugel ist eine 3-Kugel,
• das nein – 1 Dimensionsgrenze von a (nein-dimensional) nein-ball ist ein (nein – 1)-Kugel.

Zum nein 2, das nein-Sphären, die differentielle Mannigfaltigkeiten sind, können (bis auf einen Diffeomorphismus) als die einfach zusammenhängenden nein-dimensionale Mannigfaltigkeiten konstanter, positiver Krümmung. Das nein-Kugeln lassen mehrere andere topologische Beschreibungen zu: Sie können zum Beispiel konstruiert werden, indem zwei geklebt werden nein-dimensionale euklidische Räume zusammen, indem man den Rand von an . identifiziert nein-Würfel mit einer Spitze, oder (induktiv) durch Bildung der Suspension von an of (nein − 1)-Kugel. Die 1-Sphäre ist die 1-Mannigfaltigkeit, die ein Kreis ist, der nicht einfach verbunden ist. Die 0-Sphäre ist die aus zwei Punkten bestehende 0-Mannigfaltigkeit, die nicht einmal zusammenhängend ist.

Beschreibung[edit]

Für jede natürliche Zahl nein, ein nein-Kugel mit Radius r ist definiert als die Menge von Punkten in (nein + 1)-dimensionaler euklidischer Raum, der in der Ferne liegt r von einem Fixpunkt c, wo r kann jede positive reelle Zahl sein und wobei c kann ein beliebiger Punkt sein (nein + 1)-dimensionaler Raum. Bestimmtes:

• eine 0-Kugel ist ein Punktpaar {c − r, c + r}, und ist die Grenze eines Liniensegments (1-Ball).
• eine 1-Kugel ist ein Kreis mit Radius r zentriert bei c, und ist der Rand einer Scheibe (2-Kugel).
• eine 2-Kugel ist eine gewöhnliche 2-dimensionale Kugel im 3-dimensionalen euklidischen Raum und ist die Grenze einer gewöhnlichen Kugel (3-Kugel).
• eine 3-Sphäre ist eine 3-dimensionale Kugel im 4-dimensionalen euklidischen Raum.

Euklidische Koordinaten in (nein + 1)-Platz[edit]

Die Punktemenge in (nein + 1)-Platz, (x₁, x₂, …, x_nein+1), die ein . definieren nein-Kugel,

, wird durch die Gleichung dargestellt:

${displaystyle r^{2}=sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

wo c = (c₁, c₂, …, c_nein+1) ein Mittelpunkt ist, und r ist der Radius.

Obenstehendes nein-Sphäre existiert in (nein + 1)-dimensionaler euklidischer Raum und ist ein Beispiel für einen nein-vielfältig. Die Volumenform ω eines nein-Kugel mit Radius r wird gegeben von

${displaystyle omega ={frac{1}{r}}sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j},dx_{1} wedge cdots wedge dx_{j-1}wedge dx_{j+1}wedge cdots wedge dx_{n+1}=*dr}$

wo * ist der Hodge-Sternoperator; siehe Flanders (1989, §6.1) für eine Diskussion und einen Beweis dieser Formel im Fall r = 1. Als Ergebnis,

${displaystyle drwedgeomega =dx_{1}wedgecdotswedge dx_{n+1}.}$

nein-Ball[edit]

Der von einem umschlossene Raum nein-Kugel heißt an (nein + 1)-Ball. Ein (nein + 1)-Ball ist geschlossen, wenn er die enthält nein-Sphäre, und sie ist offen, wenn sie nicht die nein-Kugel.

Speziell:

• A 1-Ball, ein Liniensegment, ist das Innere einer 0-Kugel.
• A 2-Ball, eine Scheibe, ist das Innere eines Kreises (1-Kugel).
• A 3-Ball, eine gewöhnliche Kugel, ist das Innere einer Kugel (2-Kugel).
• A 4-Ball ist das Innere einer 3-Sphäre usw.

Topologische Beschreibung[edit]

Topologisch, ein nein-Sphäre kann als Einpunkt-Kompaktifikation von constructed konstruiert werden nein-dimensionaler euklidischer Raum. Kurz gesagt, die nein-Sphäre kann beschrieben werden als S^nein =^nein ∪ {∞}, welches ist nein-dimensionaler euklidischer Raum plus ein einzelner Punkt, der die Unendlichkeit in alle Richtungen darstellt. Insbesondere wenn ein einzelner Punkt aus einem . entfernt wird nein-Sphäre, es wird homöomorph zu r^nein. Dies bildet die Grundlage für die stereographische Projektion.^[1]

Volumen und Oberfläche[edit]

Im Allgemeinen ist das Volumen der nein-ball rein nein-dimensionaler euklidischer Raum und die Oberfläche des nein-Kugel in (nein + 1)-dimensionaler euklidischer Raum mit Radius R, sind proportional zu neinPotenz des Radius, R (mit unterschiedlichen Proportionalitätskonstanten, die mit vary variieren nein). Wir schreiben V_nein(R) = V_neinR^nein für das Volumen der nein-Ball und S_nein(R) = S_neinR^nein für die Fläche des nein-Kugel, beide mit Radius R, wo V_nein = V_nein(1) und S_nein = S_nein(1) sind die Werte für den Einheitsradius-Fall.

Theoretisch könnte man die Werte von S_nein(R) und S_ich(R) zum nein ≠ ich. Dies ist jedoch nicht genau definiert. Zum Beispiel, wenn nein = 2 und ich = 3 dann ist der Vergleich wie der Vergleich einer Anzahl Quadratmeter mit einer anderen Anzahl von Kubikmetern. Gleiches gilt für einen Vergleich von V_nein(R) und V_ich(R) zum nein ≠ ich.

Beispiele[edit]

Der 0-Ball besteht aus einem einzigen Punkt. Das 0-dimensionale Hausdorff-Maß ist die Anzahl der Punkte in einer Menge. So,

${displaystyle V_{0}=1.}$

Die 0-Kugel besteht aus ihren beiden Endpunkten, {−1,1}. So,

${displaystyle S_{0}=2.}$

Die Einheit 1-Ball ist das Intervall [−1,1] der Länge 2. Also,

${displaystyle V_{1}=2.}$

Die Einheit 1-Kugel ist der Einheitskreis in der euklidischen Ebene, und diese hat Umfang (1-dimensionales Maß)

${displaystyle S_{1}=2pi.}$

Der von der Einheit 1-Kugel eingeschlossene Bereich ist die 2-Kugel oder Einheitsscheibe, und diese hat eine Fläche (2-dimensionales Maß)

${displaystyle V_{2}=pi.}$

Analog ist im 3-dimensionalen euklidischen Raum die Oberfläche (2-dimensionales Maß) der Einheit 2-Sphäre gegeben durch

${displaystyle S_{2}=4pi.}$

und das eingeschlossene Volumen ist das Volumen (3-dimensionales Maß) der Einheit 3-Kugel, gegeben durch

${displaystyle V_{3}={tfrac {4}{3}}pi .}$

Wiederholungen[edit]

Das Oberfläche, oder richtig die nein-dimensionales Volumen, des nein-Kugel an der Grenze des (nein + 1)-Kugel mit Radius R steht in Beziehung zum Volumen der Kugel durch die Differentialgleichung

${displaystyle S_{n}R^{n}={frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^ {n}},}$

oder äquivalent die Einheit darstellen nein-Kugel als Vereinigung von konzentrischen (nein − 1)-Kugel Muscheln,

${displaystyle V_{n+1}=int_{0}^{1}S_{n}r^{n},dr.}$

So,

${displaystyle V_{n+1}={frac {S_{n}}{n+1}}.}$

Wir können auch die Einheit darstellen (nein + 2)-Kugel als Vereinigung von Produkten eines Kreises (1-Kugel) mit an nein-Kugel. Lassen r = cos θ und r² + R² = 1, so dass R = Sünde θ und DR = cos θ dθ. Dann,

${displaystyle {begin{aligned}S_{n+2}&=int _{0}^{frac {pi}{2}}S_{1}rcdot S_{n}R^{n },dtheta \[6pt]&=int_{0}^{frac{pi}{2}}S_{1}cdot S_{n}R^{n}costheta,dtheta[6pt]&=int _{0}^{1}S_{1}cdot S_{n}R^{n},dR\[6pt]&=S_{1}int _{0}^{1}S_{n}R^{n},dR\[6pt]&=2pi V_{n+1}.end{ausgerichtet}}}$

Schon seit S₁ = 2π V₀, Die gleichung

${displaystyle S_{n+1}=2pi V_{n}}$

gilt für alle nein.

Damit ist die Ableitung der Wiederholungen abgeschlossen:

${displaystyle {begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={frac {S_{n}}{n+1}}\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2pi V_{n}end{ausgerichtet}}}$

Geschlossene Formulare[edit]

Wenn wir die Wiederholungen kombinieren, sehen wir das

${displaystyle V_{n+2}=2pi {frac {V_{n}}{n+2}}.}$

Es ist also einfach, durch Induktion über zu zeigen k Das,

${displaystyle {begin{ausgerichtet}V_{2k}&={frac {left(2piright)^{k}}{(2k)!!}}={frac {pi^{ k}}{k!}}\[6pt]V_{2k+1}&={frac {2left(2piright)^{k}}{(2k+1)!!}}={frac {2k!left(4pi right)^{k}}{(2k+1)!}}end{ausgerichtet}}}$

wo !! bezeichnet die doppelte Fakultät, definiert für ungerade natürliche Zahlen 2k + 1 durch (2k + 1)!! = 1 × 3 × 5 × … × (2k − 1) × (2k + 1) und ähnlich für gerade Zahlen (2k)!! = 2 × 4 × 6 × … × (2k − 2) × (2k).

Im Allgemeinen ist das Volumen, in nein-dimensionaler euklidischer Raum, der Einheit nein-ball, ist gegeben durch

${displaystyle V_{n}={frac {pi^{frac {n}{2}}}{Gamma left({frac{n}{2}}+1right)}}= {frac{pi^{frac{n}{2}}}{left({frac{n}{2}}right)!}}}$

wo Γ ist die Gammafunktion, die erfüllt (1/2) = √π, Γ(1) = 1, und (x + 1) = x(x), und so Γ(x + 1) = x!, und wo wir umgekehrt definieren x! = (x + 1) für jeden x.

Durch Multiplikation V_nein durch R^nein, differenzierend nach R, und dann Einstellung R = 1, erhalten wir die geschlossene Form

${displaystyle S_{n-1}={frac {npi^{frac {n}{2}}}{Gamma left({frac{n}{2}}+1right) }}={frac{2pi^{frac{n}{2}}}{Gammaleft({frac{n}{2}}right)}}.}$

für die (nein − 1)-dimensionales Volumen der Kugel S^nein-1.

Andere Beziehungen[edit]

Die Wiederholungen können kombiniert werden, um eine Wiederholungsbeziehung in umgekehrter Richtung für die Fläche zu erhalten, wie im Diagramm dargestellt:

${displaystyle S_{n-1}={frac {n}{2pi}}S_{n+1}}$

nein bezieht sich auf die Dimension des umgebenden euklidischen Raums, die auch die intrinsische Dimension des Festkörpers ist, dessen Volumen hier aufgeführt ist, aber um 1 mehr als die intrinsische Dimension der Kugel, deren Oberfläche hier aufgeführt ist. Die geschwungenen roten Pfeile zeigen die Beziehung zwischen Formeln für verschiedene nein. Der Formelkoeffizient an der Spitze jedes Pfeils ist gleich dem Formelkoeffizienten am Ende dieses Pfeils mal dem Faktor in der Pfeilspitze (wobei die nein in der Pfeilspitze bezieht sich auf die nein Wert, auf den die Pfeilspitze zeigt). Wenn die Richtung der unteren Pfeile umgekehrt wäre, würden ihre Pfeilspitzen sagen, multiplizieren mit 2π/nein − 2. Alternativ gesagt, die Oberfläche S_nein+1 der Kugel in nein + 2 Maße ist genau 2πR mal die Lautstärke V_nein umschlossen von der Kugel in nein Maße.

Index-Shifting nein zu nein − 2 liefert dann die Rekursionsbeziehungen:

${displaystyle {begin{ausgerichtet}V_{n}&={frac {2pi}{n}}V_{n-2}\[6pt]S_{n-1}&={frac {2pi }{n-2}}S_{n-3}end{ausgerichtet}}}$

wo S₀ = 2, V₁ = 2, S₁ = 2π und V₂ = π.

Die Wiederholungsbeziehung für V_nein kann auch durch Integration mit 2-dimensionalen Polarkoordinaten nachgewiesen werden:

${displaystyle {begin{aligned}V_{n}&=int _{0}^{1}int _{0}^{2pi }V_{n-2}left({sqrt { 1-r^{2}}}right)^{n-2},r,dtheta ,dr\[6pt]&=int_{0}^{1}int_{0}^{2pi}V_{n-2}left(1-r^{2}right)^{{frac {n }{2}}-1},r,dtheta ,dr\[6pt]&=2pi V_{n-2}int _{0}^{1}left(1-r^{2}right)^{{frac{n}{2}}-1} ,r,dr[6pt]&=2pi V_{n-2}links[-{frac {1}{n}}left(1-r^{2}right)^{frac {n}{2}}right]_{r=0}^{r=1}\[6pt]&=2pi V_{n-2}{frac {1}{n}}={frac {2pi }{n}}V_{n-2}.end{ausgerichtet}}}$

Kugelkoordinaten[edit]

Wir können ein Koordinatensystem in an . definieren nein-dimensionaler euklidischer Raum analog zu dem für den dreidimensionalen euklidischen Raum definierten Kugelkoordinatensystem, in dem die Koordinaten aus einer radialen Koordinate bestehen r, und nein − 1 Winkelkoordinaten φ₁, φ₂, … φ_nein-1, wobei die Winkel φ₁, φ₂, … φ_nein-2 Reichweite über [0,π] Bogenmaß (oder mehr) [0,180] Grad) und φ_nein-1 reicht über [0,2π) radians (or over [0,360) degrees). If x_i are the Cartesian coordinates, then we may compute x₁, … x_n from r, φ₁, … φ_n−1 with:^[2]

${displaystyle {begin{aligned}x_{1}&=rcos(varphi_{1})\x_{2}&=rsin(varphi_{1})cos(varphi _{2})\x_{3}&=rsin(varphi_{1})sin(varphi_{2})cos(varphi_{3})\&, ,,vdots \x_{n-1}&=rsin(varphi_{1})cdotssin(varphi_{n-2})cos(varphi_{n-1 })\x_{n}&=rsin(varphi_{1})cdotssin(varphi_{n-2})sin(varphi_{n-1}).end {ausgerichtet}}}$

Außer in den unten beschriebenen Sonderfällen ist die inverse Transformation eindeutig:

${displaystyle {begin{aligned}r&={sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+cdots +{x_{2}}^{ 2}+{x_{1}}^{2}}}\[6pt]varphi_{1}&=operatorname {arccot} {frac {x_{1}}{sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+ cdots +{x_{2}}^{2}}}}&&=arccos {frac {x_{1}}{sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1 }}^{2}+cdots +{x_{1}}^{2}}}}\[6pt]varphi_{2}&=operatorname {arccot} {frac {x_{2}}{sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+ cdots +{x_{3}}^{2}}}}&&=arccos {frac {x_{2}}{sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1 }}^{2}+cdots +{x_{2}}^{2}}}}\[6pt]&,,,vPunkte &&,,,vPunkte \[6pt]varphi_{n-2}&=operatorname {arccot} {frac {x_{n-2}}{sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^ {2}}}}&&=arccos {frac {x_{n-2}}{sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+{ x_{n-2}}^{2}}}}\[6pt]varphi_{n-1}&=2operatorname {arccot} {frac {x_{n-1}+{sqrt {x_{n}^{2}+x_{n-1}^{2} }}}{x_{n}}}&&={begin{cases}arccos {frac {x_{n-1}}{sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n -1}}^{2}}}}&x_{n}geq 0,\[6pt]2pi -arccos {frac {x_{n-1}}{sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n }<0.end{Fälle}}end{ausgerichtet}}}$

wo wenn x_k 0 für einige k aber alle x_k+1, … x_nein sind dann null φ_k = 0 wann x_k > 0, und φ_k = (180 Grad) wenn x_k < 0.

Es gibt einige Sonderfälle, in denen die inverse Transformation nicht eindeutig ist; φ_k für jeden k wird mehrdeutig sein, wenn alle x_k, x_k+1, … x_nein sind null; in diesem Fall φ_k kann als Null gewählt werden.

Sphärische Volumen- und Flächenelemente[edit]

Um das Volumenelement von auszudrücken nein-dimensionalen euklidischen Raum in Bezug auf Kugelkoordinaten, beachten Sie zunächst, dass die Jacobi-Matrix der Transformation ist:

${displaystyle J_{n}={begin{pmatrix}cos(varphi_{1})&-rsin(varphi_{1})&0&0&cdots &0\sin(varphi_{ 1})cos(varphi_{2})&rcos(varphi_{1})cos(varphi_{2})&-rsin(varphi_{1})sin( varphi _{2})&0&cdots &0\vdots &vdots &vdots &&ddots &vdots \&&&&&0\sin(varphi _{1})cdots sin(varphi _ {n-2})cos(varphi_{n-1})&cdots &cdots &&&-rsin(varphi_{1})cdotssin(varphi_{n-2} )sin(varphi_{n-1})\sin(varphi_{1})cdots sin(varphi_{n-2})sin(varphi_{n-1} )&rcos(varphi_{1})cdotssin(varphi_{n-1})&cdots &&&rsin(varphi_{1})cdotssin(varphi_{n -2})cos(varphi_{n-1})end{pmatrix}}.}$

Die Determinante dieser Matrix kann durch Induktion berechnet werden. Wann nein = 2, zeigt eine einfache Rechnung, dass die Determinante r. Für größere nein, beobachte das J_nein kann aufgebaut werden aus J_{nein − 1} wie folgt. Außer in Spalte nein, Reihen nein − 1 und nein von J_nein sind die gleichen wie Reihe nein − 1 von J_{nein − 1}, aber multipliziert mit einem zusätzlichen Faktor von weil_{nein − 1} in Reihe nein − 1 und ein zusätzlicher Faktor von Sünde_{nein − 1} in Reihe nein. In Spalte nein, Reihen nein − 1 und nein von J_nein sind die gleichen wie Spalte nein − 1 der Reihe nein − 1 von J_{nein − 1}, aber multipliziert mit zusätzlichen Faktoren von Sünde_{nein − 1} in Reihe nein − 1 und weil_{nein − 1} in Reihe nein, beziehungsweise. Die Determinante von J_nein kann durch Laplace-Entwicklung in der letzten Spalte berechnet werden. Durch die rekursive Beschreibung von J_nein, die Submatrix, die durch das Löschen des Eintrags at . gebildet wird (nein − 1, nein) und seine Zeile und Spalte sind fast gleich J_{nein − 1}, außer dass seine letzte Zeile mit multipliziert wird Sünde_{nein − 1}. Ebenso die Submatrix, die durch das Löschen des Eintrags at . gebildet wird (nein, nein) und seine Zeile und Spalte sind fast gleich J_{nein − 1}, außer dass seine letzte Zeile mit multipliziert wird weil_{nein − 1}. Daher ist die Determinante von J_nein ist

${displaystyle {begin{ausgerichtet}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rsin(varphi_{1})dotsm sin( varphi_{n-2})sin(varphi_{n-1}))(sin(varphi_{n-1})|J_{n-1}|)\&qquad {} +(-1)^{n+n}(rsin(varphi_{1})dotsmsin(varphi_{n-2})cos(varphi_{n-1})) (cos(varphi_{n-1})|J_{n-1}|)\&=(rsin(varphi_{1})dotsmsin(varphi_{n-2 })|J_{n-1}|(sin^{2}(varphi_{n-1})+cos^{2}(varphi_{n-1}))&=( rsin(varphi_{1})dotsmsin(varphi_{n-2}))|J_{n-1}|.end{ausgerichtet}}}$

Induktion liefert dann einen geschlossenen Ausdruck für das Volumenelement in Kugelkoordinaten

${displaystyle {begin{aligned}d^{n}V&=left|det {frac {partial (x_{i})}{partial left(r,varphi_{j}right )}}right|dr,dvarphi_{1},dvarphi_{2}cdots dvarphi_{n-1}\&=r^{n-1}sin^ {n-2}(varphi_{1})sin^{n-3}(varphi_{2})cdotssin(varphi_{n-2}),dr,d varphi _{1},dvarphi_{2}cdots dvarphi_{n-1}.end{ausgerichtet}}}$

Die Formel für das Volumen der nein-ball kann daraus durch Integration abgeleitet werden.

Ähnlich ist das Flächenelement des surface (nein − 1)-Kugel mit Radius R, das das Flächenelement der 2-Sphäre verallgemeinert, ist gegeben durch

${displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}sin^{n-2}(varphi_{1})sin^{n-3}(varphi_ {2})cdotssin(varphi_{n-2}),dvarphi_{1},dvarphi_{2}cdots dvarphi_{n-1}.}$

Die natürliche Wahl einer orthogonalen Basis über den Winkelkoordinaten ist ein Produkt ultrasphärischer Polynome,

${displaystyle {begin{ausgerichtet}&{}quad int_{0}^{pi}sin^{nj-1}left(varphi_{j}right)C_{s}^ {left({frac {nj-1}{2}}right)}cos left(varphi_{j}right)C_{s’}^{left({frac {nj- 1}{2}}right)}cos left(varphi_{j}right),dvarphi_{j}\[6pt]&={frac{2^{3-n+j}piGamma(s+nj-1)}{s!(2s+nj-1)Gamma^{2}left({frac { nj-1}{2}}right)}}delta_{s,s’}end{ausgerichtet}}}$

zum j = 1, 2,… nein − 2, und der e^istφ_j für den Winkel j = nein − 1 in Übereinstimmung mit den sphärischen Harmonischen.

Polysphärische Koordinaten[edit]

Das Standard-Kugelkoordinatensystem entsteht aus der Schrift r^nein als das produkt ×^{nein − 1}. Diese beiden Faktoren können unter Verwendung von Polarkoordinaten in Beziehung gesetzt werden. Für jeden Punkt x von r^nein, die kartesischen Standardkoordinaten

${displaystyle mathbf {x} =(x_{1},dots,x_{n})=(y_{1},z_{1},dots,z_{n-1})=(mathbf { y} ,mathbf{z} )}$

in ein gemischtes polar-kartesisches Koordinatensystem transformiert werden:

${displaystylemathbf{x} =(rcostheta,(rsintheta)mathbf{z}).}$

Dies sagt, dass Punkte in r^nein kann ausgedrückt werden, indem man den Strahl vom Ursprung aus nimmt und durch geht z ∈ ℝ^{nein − 1}, rotiert in Richtung des ersten Basisvektors um θ, und weit reisen r entlang des Strahls. Die Wiederholung dieser Zerlegung führt schließlich zum Standard-Kugelkoordinatensystem.

Polysphärische Koordinatensysteme entstehen aus einer Verallgemeinerung dieser Konstruktion.^[3] Der Raum r^nein wird als Produkt zweier euklidischer Räume kleinerer Dimension aufgespalten, aber keiner der Räume muss eine Gerade sein. Nehmen wir konkret an, dass p und q sind positive ganze Zahlen, so dass nein = p + q. Dann r^nein =^p ×^q. Mit dieser Zerlegung erhält man einen Punkt x ∈ ℝ^nein kann geschrieben werden als

${displaystyle mathbf {x} =(x_{1},dots,x_{n})=(y_{1},dots,y_{p},z_{1},dots,z_{q} )=(mathbf{y},mathbf{z}).}$

Dies kann in ein gemischtes polar-kartesisches Koordinatensystem umgewandelt werden, indem man schreibt:

${displaystyle mathbf {x} =((rsintheta){hat {mathbf{y}}},(rcostheta){hat {mathbf{z}}}).}$

Hier

und

sind die zu gehörenden Einheitsvektoren ja und z. Das drückt x bezüglich

,

, r 0, und ein Winkel θ. Es kann gezeigt werden, dass das Gebiet von θ ist [0, 2π) if p = q = 1, [0, π] wenn genau einer von p und q ist 1, und [0, π/2] wenn weder p Noch q sind 1. Die Rücktransformation ist

${displaystyle {begin{ausgerichtet}r&=lVert mathbf {x} rVert ,\theta &=arcsin(lVert mathbf {y} rVert /lVert mathbf {x} rVert ) \&=arccos(lVert mathbf {z} rVert /lVert mathbf {x} rVert )\&=arctan(lVert mathbf {y} rVert /lVert mathbf {z } rVert ).end{ausgerichtet}}}$

Diese Aufteilungen können wiederholt werden, solange einer der beteiligten Faktoren die Dimension zwei oder größer hat. EIN polysphärisches Koordinatensystem ist das Ergebnis der Wiederholung dieser Aufteilungen, bis keine kartesischen Koordinaten mehr vorhanden sind. Aufteilungen nach der ersten erfordern keine radiale Koordinate, da die Domänen von

und

Kugeln sind, also sind die Koordinaten eines polysphärischen Koordinatensystems ein nicht negativer Radius und nein − 1 Winkel. Die möglichen polysphärischen Koordinatensysteme entsprechen binären Bäumen mit nein Blätter. Jeder Nicht-Blatt-Knoten im Baum entspricht einer Aufteilung und bestimmt eine Winkelkoordinate. Zum Beispiel repräsentiert die Wurzel des Baumes r^nein, und seine unmittelbaren Kinder repräsentieren die erste Aufspaltung in r^p und r^q. Blattknoten entsprechen kartesischen Koordinaten für S^{nein − 1}. Die Formeln zum Umwandeln von polysphärischen Koordinaten in kartesische Koordinaten können durch Auffinden der Pfade von der Wurzel zu den Blattknoten bestimmt werden. Diese Formeln sind Produkte mit einem Faktor für jede Verzweigung des Pfades. Für einen Knoten, dessen zugehörige Winkelkoordinate ist θ_ich, das Nehmen des linken Zweiges führt einen Faktor von ein Sünde_ich und das Nehmen der richtigen Verzweigung führt einen Faktor von ein weil_ich. Die inverse Transformation von polysphärischen Koordinaten zu kartesischen Koordinaten wird durch Gruppieren von Knoten bestimmt. Jedes Knotenpaar mit einem gemeinsamen Elternteil kann von einem gemischten polar-kartesischen Koordinatensystem in ein kartesisches Koordinatensystem umgewandelt werden, indem die obigen Formeln für eine Aufteilung verwendet werden.

Polysphärische Koordinaten haben auch eine Interpretation in Bezug auf die spezielle orthogonale Gruppe. Eine Spaltung r^nein =^p ×^q bestimmt eine Untergruppe

${displaystyle operatorname {SO} _{p}(mathbb {R} )times operatorname {SO} _{q}(mathbb {R} )subseteq operatorname {SO} _{n}( mathbb {R} ).}$

Dies ist die Untergruppe, die jeden der beiden Faktoren verlässt

Fest. Die Auswahl eines Satzes von Nebenklassenrepräsentanten für den Quotienten entspricht der Auswahl repräsentativer Winkel für diesen Schritt der polysphärischen Koordinatenzerlegung.

In polysphärischen Koordinaten ist das Volumenmaß auf r^nein und das Flächenmaß an S^{nein − 1} sind Produkte. Es gibt einen Faktor für jeden Winkel und das Volumenmaß an r^nein hat auch einen Faktor für die radiale Koordinate. Das Flächenmaß hat die Form:

${displaystyle dA_{n-1}=prod_{i=1}^{n-1}F_{i}(theta_{i}),dtheta_{i},}$

wo die Faktoren F_ich werden durch den Baum bestimmt. Ebenso ist das Volumenmaß

${displaystyle dV_{n}=r^{n-1},dr,prod_{i=1}^{n-1}F_{i}(theta_{i}),d theta _{i}.}$

Angenommen, wir haben einen Knoten des Baums, der der Zerlegung entspricht r^{nein₁ + nein₂} =^nein₁ ×^nein₂ und das hat die Winkelkoordinate θ. Der entsprechende Faktor F hängt von den Werten von ab nein₁ und nein₂. Wenn das Flächenmaß normalisiert wird, so dass die Fläche der Kugel 1 beträgt, sind diese Faktoren wie folgt. Wenn nein₁ = nein₂ = 1, dann

${displaystyle F(theta)={frac {dtheta }{2pi}}.}$

Wenn nein₁ > 1 und nein₂ = 1, und wenn B bezeichnet die Betafunktion, dann

${displaystyle F(theta)={frac {sin^{n_{1}-1}theta }{mathrm {B} ({frac {n_{1}}{2}},{ frac {1}{2}})}},dtheta .}$

Wenn nein₁ = 1 und nein₂ > 1, dann

${displaystyle F(theta)={frac {cos^{n_{2}-1}theta }{textrm {B} ({frac {1}{2}},{frac {n_ {2}}{2}})}},dtheta .}$

Schließlich, wenn beide nein₁ und nein₂ sind größer als eins, dann

${displaystyle F(theta)={frac {(sin^{n_{1}-1}theta )(cos^{n_{2}-1}theta)}{{frac {1 }{2}}mathrm {B} ({frac {n_{1}}{2}},{frac {n_{2}}{2}})}},dtheta .}$

Stereografische Projektion[edit]

So wie eine in drei Dimensionen eingebettete zweidimensionale Kugel durch eine stereographische Projektion auf eine zweidimensionale Ebene abgebildet werden kann, nein-Kugel kann auf ein abgebildet werden nein-dimensionale Hyperebene durch die nein-dimensionale Version der stereographischen Projektion. Zum Beispiel der Punkt [x,y,z] auf einer zweidimensionalen Kugel mit Radius 1 wird auf den Punkt abgebildet [x/1 − z,y/1 − z] auf der xy-Flugzeug. Mit anderen Worten,

${displaystyle [x,y,z]mapsto left[{frac {x}{1-z}},{frac {y}{1-z}}right].}$

Ebenso die stereographische Projektion von an nein-Kugel S^nein-1 von Radius 1 wird auf die abgebildet (nein − 1)-dimensionale Hyperebene r^nein-1 senkrecht zum x_nein-Achse als

${displaystyle [x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}]mapsto left[{frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{frac {x_{2}}{1-x_{n}}},ldots ,{frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}right].}$

Generieren von zufälligen Punkten[edit]

Gleichmäßig zufällig auf dem (nein − 1)-Kugel[edit]

Ein Satz gleichmäßig verteilter Punkte auf der Oberfläche einer Einheitskugel, die mit dem Marsaglia-Algorithmus erzeugt wurde.

Um gleichmäßig verteilte Zufallspunkte auf der Einheit zu erzeugen (nein − 1)-Kugel (d. h. die Oberfläche der Einheit nein-ball) liefert Marsaglia (1972) den folgenden Algorithmus.

Generieren Sie ein nein-dimensionaler Vektor der Normalenabweichungen (es genügt zu verwenden N(0, 1), obwohl die Wahl der Varianz eigentlich willkürlich ist), x = (x₁, x₂,… x_nein). Berechnen Sie nun den “Radius” dieses Punktes:

${displaystyle r={sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Der Vektor 1/rx gleichmäßig über die Geräteoberfläche verteilt nein-Ball.

Eine von Marsaglia gegebene Alternative besteht darin, einen Punkt gleichmäßig zufällig auszuwählen x = (x₁, x₂,… x_nein) in der Einheit nein-Würfel durch Probenahme von jedem x_ich unabhängig von der Gleichverteilung über (–1,1), rechnen r wie oben, und Verwerfen des Punktes und erneutes Abtasten, wenn r 1 (dh wenn der Punkt nicht im nein-ball), und wenn ein Punkt in der Kugel erhalten wird, wird dieser um den Faktor to auf die Kugeloberfläche skaliert 1/r; dann wieder 1/rx gleichmäßig über die Geräteoberfläche verteilt nein-Ball. Für höhere Dimensionen wird diese Methode sehr ineffizient, da ein verschwindend kleiner Bruchteil der Einheitswürfel in der Kugel enthalten ist. In zehn Dimensionen werden weniger als 2% des Würfels von der Kugel ausgefüllt, so dass typischerweise mehr als 50 Versuche erforderlich sind. In siebzig Dimensionen weniger als

des Würfels gefüllt ist, was bedeutet, dass typischerweise eine Billion Billiarden Versuche benötigt werden, weit mehr, als ein Computer jemals ausführen könnte.

Gleichmäßig zufällig innerhalb der nein-Ball[edit]

Mit einem gleichmäßig zufällig ausgewählten Punkt aus der Oberfläche der Einheit (nein − 1)-Sphäre (zB mit dem Marsaglia-Algorithmus) braucht man nur einen Radius, um einen gleichmäßig zufälligen Punkt innerhalb der Einheit zu erhalten nein-Ball. Wenn du ist eine gleichmäßig zufällig erzeugte Zahl aus dem Intervall [0, 1] und x ist ein gleichmäßig zufällig ausgewählter Punkt aus der Einheit (nein − 1)-Kugel, dann du^1/neinx ist innerhalb der Einheit gleichmäßig verteilt nein-Ball.

Alternativ können Punkte innerhalb der Einheit einheitlich abgetastet werden nein-Ball durch eine Reduktion von der Einheit (nein + 1)-Kugel. Insbesondere wenn (x₁,x₂,…,x_nein+2) ist ein Punkt, der einheitlich aus der Einheit ausgewählt wird (nein + 1)-Kugel, dann (x₁,x₂,…,x_nein) ist innerhalb der Einheit gleichmäßig verteilt nein-ball (dh durch einfaches Verwerfen von zwei Koordinaten).^[4]

Wenn nein ausreichend groß ist, der größte Teil des Volumens der nein-ball wird in der Region sehr nahe an seiner Oberfläche enthalten sein, so dass ein Punkt, der aus diesem Volumen ausgewählt wird, wahrscheinlich auch nahe an der Oberfläche liegt. Dies ist eines der Phänomene, die zum sogenannten Fluch der Dimensionalität führen, der in einigen numerischen und anderen Anwendungen auftritt.

Spezifische Bereiche[edit]

0-Kugel

Das Punktepaar {±R} mit der diskreten Topologie für einige R > 0. Die einzige Kugel, die nicht mit dem Pfad verbunden ist. Hat eine natürliche Lie-Gruppenstruktur; isomorph zu O(1). Parallelisierbar.

1-Kugel

Auch bekannt als Kreis. Hat eine nichttriviale Fundamentalgruppe. Abelsche Lie-Gruppenstruktur U(1); die Kreisgruppe. Topologisch äquivalent zur reellen projektiven Linie, ℝP¹. Parallelisierbar. SO(2) = U(1).

2-Kugel

Auch als Kugel bekannt. Komplexe Struktur; siehe Riemann-Kugel. Äquivalent zur komplexen projektiven Linie, CP¹. SO(3)/SO(2).

3-Kugel

Auch bekannt als Glome. Parallelisierbares, prinzipielles U(1)-Bündel über der 2-Sphäre, Lie-Gruppenstruktur Sp(1), wobei auch

${displaystyle mathrm {Sp} (1)cong mathrm {SO} (4)/mathrm {SO} (3)congmathrm {SU} (2)cong mathrm {Spin} (3) }$

.

4-Kugel

Äquivalent zur quaternionischen projektiven Linie, HP¹. SO(5)/SO(4).

5-Kugel

Haupt-U(1)-Bündel über CP². SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2).

6-kugel

Besitzt eine fast komplexe Struktur, die aus der Menge der reinen Einheitsoktonionen stammt. SO(7)/SO(6) = G₂/SU(3). Die Frage, ob es eine komplexe Struktur hat, wird als bezeichnet Hopf-Problem, nach Heinz Hopf.^[5]

7-Kugel

Topologische Quasigruppenstruktur als Menge von Einheitsoktonionen. Haupt-Sp(1)-Bündel über S⁴. Parallelisierbar. SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/G₂ = Spin(6)/SU(3). Die 7er Sphäre ist von besonderem Interesse, da in dieser Dimension die ersten exotischen Sphären entdeckt wurden.

8-Kugel

Äquivalent zur oktonionischen projektiven Linie ÖP¹.

23-kugel

Im 24-dimensionalen Raum ist eine hochdichte Kugelpackung möglich, was mit den einzigartigen Eigenschaften des Blutegelgitters zusammenhängt.

Oktaederkugel[edit]

Das oktaedrisch nein-Kugel ist ähnlich definiert wie der nein-Kugel, aber unter Verwendung der 1-Norm

${displaystyle S^{n}=left{xinmathbb{R}^{n+1}:left|xright|_{1}=1right}}$

Die oktaedrische 1-Kugel ist ein Quadrat (ohne Inneres). Die oktaedrische 2-Kugel ist ein regelmäßiges Oktaeder; daher der Name. Die Oktaeder nein-sphere ist die topologische Verbindung von nein + 1 Paar isolierter Punkte.^[6] Intuitiv wird die topologische Verbindung zweier Paare erzeugt, indem ein Segment zwischen jedem Punkt in einem Paar und jedem Punkt in dem anderen Paar gezeichnet wird; das ergibt ein Quadrat. Um dies mit einem dritten Paar zu verbinden, zeichnen Sie ein Segment zwischen jedem Punkt des Quadrats und jedem Punkt des dritten Paars; Dies ergibt ein Oktaeder.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]