Artin-Gesetz der Gegenseitigkeit – Wikipedia

Der Artin-Gesetz der Gegenseitigkeit, das von Emil Artin in einer Reihe von Arbeiten (1924; 1927; 1930) aufgestellt wurde, ist ein allgemeiner Satz der Zahlentheorie, der einen zentralen Bestandteil der globalen Klassenfeldtheorie bildet.^[1] Der Begriff “Reziprozitätsgesetz” bezieht sich auf eine lange Reihe konkreterer zahlentheoretischer Aussagen, die er verallgemeinert hat, vom quadratischen Reziprozitätsgesetz und den Reziprozitätsgesetzen von Eisenstein und Kummer bis hin zu Hilberts Produktformel für das Normsymbol. Artins Ergebnis lieferte eine Teillösung für Hilberts neuntes Problem.

Erklärung[edit]

Lassen L/K eine Galois-Erweiterung globaler Felder sein und C_L stehen für die idèle-Klassengruppe von L. Eine der Aussagen des Artin-Gesetz der Gegenseitigkeit ist, dass es einen kanonischen Isomorphismus namens gibt globale Symbolkarte
^[2][3]

θ:CK/nL/K(CL)→Gal⁡(L/K)ab,{displaystyle theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}to operatorname {Gal} (L/K)^{text{ab}},}

wobei ab die Abelianisierung einer Gruppe bezeichnet. Die Karte

θ{displaystyletheta}

wird durch die Zusammenstellung der Karten definiert, die als bezeichnet werden lokales Artin-Symbol, das Karte der lokalen Gegenseitigkeit oder der Normrestsymbol^[4][5]

θv:Kv×/nLv/Kv(Lv×)→gab,{displaystyle theta_{v}:K_{v}^{times}/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{times})to G^{text {ab}},}

für verschiedene Orte v von K. Etwas präziser,

θ{displaystyletheta}

wird durch die lokalen Karten gegeben

θv{displaystyle theta_{v}}

auf der v-Bestandteil einer Idele-Klasse. Die Karten

θv{displaystyle theta_{v}}

sind Isomorphismen. Dies ist der Inhalt der lokales Gegenseitigkeitsrecht, ein Hauptsatz der lokalen Klassenkörpertheorie.

Nachweisen[edit]

Ein kohomologischer Beweis des globalen Reziprozitätsgesetzes kann erreicht werden, indem zunächst festgestellt wird, dass

(Gal⁡(KSeP/K),lim→⁡CL){displaystyle (operatorname {Gal} (K^{sep}/K),varinjlim C_{L})}

stellt eine Klassenbildung im Sinne von Artin und Tate dar.^[6] Dann beweist man das

h^0(Gal⁡(L/K),CL)≃h^−2(Gal⁡(L/K),Z),{displaystyle {hat {H}}^{0}(operatorname {Gal} (L/K),C_{L})simeq {hat {H}}^{-2}(operatorname {Gal } (L/K),mathbb{Z}),}

wo

h^ich{displaystyle {hat{H}}^{i}}

bezeichnen die Tate-Kohomologiegruppen. Die Ausarbeitung der Kohomologiegruppen stellt fest, dass θ ist ein Isomorphismus.

Bedeutung[edit]

Das Reziprozitätsgesetz von Artin impliziert eine Beschreibung der Abelianisierung der absoluten Galois-Gruppe eines globalen Feldes K die auf dem Hasse-Lokal-Global-Prinzip und der Verwendung der Frobenius-Elemente basiert. Zusammen mit dem Existenzsatz von Takagi wird er verwendet, um die abelschen Erweiterungen von zu beschreiben K in Bezug auf die Arithmetik von K und das Verhalten der nichtarchimedischen Orte darin zu verstehen. Daher kann das Artin-Reziprozitätsgesetz als einer der Hauptsätze der globalen Klassenkörpertheorie interpretiert werden. Es kann verwendet werden, um zu beweisen, dass Artin-L-Funktionen meromorph sind und zum Beweis des Dichtesatzes von Chebotarev.^[7]

Zwei Jahre nach der Veröffentlichung seines allgemeinen Reziprozitätsgesetzes im Jahr 1927 entdeckte Artin den Transferhomomorphismus von I. Schur wieder und übersetzte das Prinzipalisierungsproblem für ideale Klassen algebraischer Zahlenkörper mit dem Reziprozitätsgesetz in die gruppentheoretische Aufgabe der Bestimmung der Transferkerne endlicher nichtabelscher Gruppen.^[8]

Endliche Erweiterungen globaler Felder[edit]

Die Definition der Artin-Abbildung für eine endliche abelsche Erweiterung L/K von globalen Körpern (wie eine endliche abelsche Erweiterung von

Q{displaystyle mathbb{Q}}

) hat eine konkrete Beschreibung durch Primideale und Frobenius-Elemente.

Wenn

P{displaystyle {mathfrak {p}}}

ist eine Primzahl von K dann die Zerlegungsgruppen von Primzahlen

P{displaystyle {mathfrak {P}}}

Oben

P{displaystyle {mathfrak {p}}}

sind gleich in Gal (L/K), da die letztere Gruppe abelsch ist. Wenn

P{displaystyle {mathfrak {p}}}

ist unverzweigt in L, dann die Zerlegungsgruppe

DP{displaystyle D_{mathfrak {p}}}

ist kanonisch isomorph zur Galois-Gruppe der Erweiterung von Restfeldern

ÖL,P/P{displaystyle {mathcal{O}}_{L,{mathfrak {P}}}/{mathfrak {P}}}

über

ÖK,P/P{displaystyle {mathcal{O}}_{K,{mathfrak {p}}}/{mathfrak {p}}}

. Es gibt also ein kanonisch definiertes Frobenius-Element in Gal(L/K) bezeichnet durch

FRÖBP{displaystyle mathrm {Frob} _{mathfrak {p}}}

oder

(L/KP){displaystyle left({frac {L/K}{mathfrak {p}}}right)}

. Wenn Δ die relative Diskriminante von bezeichnet L/K, das Artin-Symbol (oder Artin-Karte, oder (globale) Gegenseitigkeitskarte) von L/K auf der Gruppe der Primzahl-zu-Δ-Bruchideale definiert ist,

ichKΔ{displaystyle I_{K}^{Delta}}

, nach Linearität:

{(L/K⋅):ichKΔ⟶Gal⁡(L/K)Πich=1mPichnich⟼Πich=1m(L/KPich)nich{displaystyle {begin{cases}left({frac {L/K}{cdot}}right):I_{K}^{Delta}longrightarrow operatorname {Gal} (L/K) \prod_{i=1}^{m}{mathfrak{p}}_{i}^{n_{i}}longmapsto prod_{i=1}^{m}left({ frac {L/K}{{mathfrak {p}}_{i}}}right)^{n_{i}}end{cases}}}

Der Artin-Gesetz der Gegenseitigkeit (oder globales reziprozitätsrecht) besagt, dass es einen Modul gibt C von K so dass die Artin-Abbildung einen Isomorphismus

ichKC/ich(KC,1)nL/K(ichLC)⟶~geinl(L/K){displaystyle I_{K}^{mathbf {c}}/i(K_{mathbf {c} ,1})mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{mathbf { c} }){overset {sim}{longrightarrow}}mathrm {Gal} (L/K)}

wo K_C,1 ist der Strahl modulo C, N_L/K ist die zu gehörende Normkarte L/K und

ichLC{displaystyle I_{L}^{mathbf {c} }}

sind die Bruchideale von L prima zu C. Ein solcher Modul C heißt a Definitionsmodul für L/K. Der kleinste definierende Modul heißt Leiter von L/K und typischerweise bezeichnet

F(L/K).{displaystyle {mathfrak {f}}(L/K).}

Beispiele[edit]

Quadratische Felder[edit]

Wenn

D≠1{displaystyle dneq 1}

eine quadratfreie ganze Zahl ist,

K=Q,{displaystyle K=mathbb{Q} ,}

und

L=Q(D){displaystyle L=mathbb{Q} ({sqrt {d}})}

, dann

Gal⁡(L/Q){displaystyle operatorname {Gal} (L/mathbb {Q} )}

kann mit {±1} identifiziert werden. Die Diskriminante Δ von L über

Q{displaystyle mathbb{Q}}

ist D oder 4D je nachdem ob D ≡ 1 (mod 4) oder nicht. Die Artin-Abbildung wird dann auf Primzahlen definiert P die nicht durch . teilen

P↦(ΔP){displaystyle pmapsto left({frac {Delta }{p}}right)}

wo

(ΔP){displaystyle left({frac {Delta }{p}}right)}

ist das Kronecker-Symbol.^[9] Genauer gesagt, der Dirigent von

L/Q{displaystyle L/mathbb{Q}}

ist das Hauptideal (Δ) oder (Δ)∞ je nachdem ob Δ positiv oder negativ ist,^[10] und die Artin-Karte auf einem Primzahl-zu-Δ-Ideal (n) wird durch das Kronecker-Symbol gegeben

(Δn).{displaystyle left({frac {Delta }{n}}right).}

Dies zeigt, dass eine Primzahl P ist gespalten oder inert in L je nachdem ob

(ΔP){displaystyle left({frac {Delta }{p}}right)}

ist 1 oder –1.

Zyklotomische Felder[edit]

Lassen m > 1 sei entweder eine ungerade ganze Zahl oder ein Vielfaches von 4, sei

ζm{displaystyle zeta_{m}}

sei ein primitiv mWurzel der Einheit, und lass

L=Q(ζm){displaystyle L=mathbb{Q} (zeta_{m})}

sei der mzyklotomisches Feld.

Gal⁡(L/Q){displaystyle operatorname {Gal} (L/mathbb {Q} )}

kann identifiziert werden mit

(Z/mZ)×{displaystyle (mathbb{Z} /mmathbb{Z})^{times}}

indem du σ an . schickst ein_σ von der Regel gegeben

σ(ζm)=ζmeinσ.{displaystyle sigma (zeta_{m})=zeta_{m}^{a_{sigma}}.}

Der Dirigent von

L/Q{displaystyle L/mathbb{Q}}

ist (m)∞,^[11] und die Artin-Karte auf einer Prime-to-m ideal (n) ist einfach n (mod m) in

(Z/mZ)×.{displaystyle (mathbb{Z} /mmathbb{Z})^{times}.}

^[12]

Verhältnis zur quadratischen Reziprozität[edit]

Lassen P und

l{displaystyle ell}

verschiedene ungerade Primzahlen sein. Der Einfachheit halber lassen

l*=(−1)l−12l{displaystyle ell^{*}=(-1)^{frac {ell -1}{2}}ell}

(was immer 1 ist (mod 4)). Dann besagt die quadratische Reziprozität, dass

(l*P)=(Pl).{displaystyle left({frac {ell^{*}}{p}}right)=left({frac {p}{ell}}right).}

Die Beziehung zwischen dem quadratischen und dem Artin-Reziprozitätsgesetz ergibt sich durch das Studium des quadratischen Feldes

F=Q(l*){displaystyle F=mathbb{Q} ({sqrt {ell^{*}}})}

und das zyklotomische Feld

L=Q(ζl){displaystyle L=mathbb{Q} (zeta_{ell})}

folgendermaßen.^[9] Zuerst, F ist ein Unterfeld von L, also wenn h = Gal(L/F) und

g=Gal⁡(L/Q),{displaystyle G=operatorname {Gal} (L/mathbb{Q}),}

dann

Gal⁡(F/Q)=g/h.{displaystyle operatorname {Gal} (F/mathbb {Q} )=G/H.}

Da letztere Ordnung 2 hat, ist die Untergruppe h muss die Gruppe der Quadrate in sein

(Z/lZ)×.{displaystyle (mathbb{Z} /ellmathbb{Z})^{times}.}

Eine grundlegende Eigenschaft des Artin-Symbols besagt, dass für jedes Primzahl-zu-ℓ-Ideal (n)

(F/Q(n))=(L/Q(n))(modh).{displaystyle left({frac {F/mathbb {Q} }{(n)}}right)=left({frac {L/mathbb{Q} }{(n)}} rechts){pmod{H}}.}

Wann n = P, Dies zeigt, dass

(l*P)=1{displaystyle left({frac {ell^{*}}{p}}right)=1}

dann und nur dann, wenn, P modulo ℓ ist in h, dh wenn und nur wenn, P ist ein Quadratmodulo ℓ.

Aussage in Bezug auf L-Funktionen[edit]

Eine alternative Version des Reziprozitätsgesetzes, die zum Langlands-Programm führt, verbindet Artin-L-Funktionen, die mit abelschen Erweiterungen eines Zahlenfeldes verbunden sind, mit Hecke-L-Funktionen, die Zeichen der idèle-Klassengruppe zugeordnet sind.^[13]

Ein Hecke-Zeichen (oder Größencharakter) eines Zahlenfeldes K ist definiert als Quasicharakter der Idele-Klassengruppe von K. Robert Langlands interpretiert Hecke-Zeichen als automorphe Formen der reduktiven algebraischen Gruppe GL(1) über den Ring von Adeles von K.^[14]

Lassen

E/K{displaystyle E/K}

sei eine abelsche Galois-Erweiterung mit der Galois-Gruppe g. Dann für jeden Charakter

σ:g→C×{displaystyle sigma :Gtomathbb {C} ^{times}}

(dh eindimensionale komplexe Darstellung der Gruppe g), gibt es einen Hecke-Charakter

χ{displaystyle chi}

von K so dass

LE/KEINRTichn(σ,S)=LKheCke(χ,S){displaystyle L_{E/K}^{mathrm {Artin}}(sigma,s)=L_{K}^{mathrm {Hecke}}(chi,s)}

wobei die linke Seite die Artin-L-Funktion ist, die mit der Erweiterung mit dem Zeichen σ verbunden ist, und die rechte Seite die Hecke-L-Funktion, die mit χ verbunden ist, Abschnitt 7.D von.^[14]

Die Formulierung des Artin-Reziprozitätsgesetzes als Gleichheit von L-Funktionen erlaubt die Formulierung einer Verallgemeinerung auf n-dimensionale Darstellungen, obwohl eine direkte Entsprechung noch fehlt.

Verweise[edit]

• Emil Artin (1924) “Über eine neue Art von L-Reihen”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Gesammelte Papiere, Addison Wesley (1965), 105–124
• Emil Artin (1927) “Beweis des allgemeinen Reziprizitätsgesetzes”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Gesammelte Papiere, 131–141
• Emil Artin (1930) “Idealklassen in Oberkörpern und allgemeinem Reziprozitätsgesetzes”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Gesammelte Papiere, 159–164
• Frei, Günther (2004), “Zur Geschichte des Artin-Reziprozitätsgesetzes in abelschen Erweiterungen algebraischer Zahlenfelder: wie Artin zu seinem Reziprozitätsgesetz geführt wurde”, in Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene (Hrsg.), Das Erbe von Niels Henrik Abel. Referate von der Abel Bicentennial Conference, Universität Oslo, Oslo, Norwegen, 3.-8. Juni 2002, Berlin: Springer-Verlag, S. 267–294, ISBN 978-3-540-43826-7, HERR 2077576, Zbl 1065.11001
• Janusz, Gerald (1973), Algebraische Zahlenfelder, Reine und Angewandte Mathematik, 55, Akademische Presse, ISBN 0-12-380250-4
• Lang, Serge (1994), Algebraische Zahlentheorie, Abschlusstexte in Mathematik, 110 (2 Hrsg.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94225-4, HERR 1282723
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reziprozitätsgesetze: Von Euler bis Eisenstein, Springer-Monographien in Mathematik, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66957-9, HERR 1761696, Zbl 0949.11002
• Milne, James (2008), Klassenfeldtheorie (v4.0 ed.), abgerufen 2010-02-22
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Aus dem Deutschen übersetzt von Norbert Schappacher, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956.11021
• Serre, Jean-Pierre (1979), Lokale Felder, Abschlusstexte in Mathematik, 67, übersetzt von Greenberg, Marvin Jay, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90424-7, Zbl 0423.12016
• Serre, Jean-Pierre (1967), “VI. Lokale Klassenfeldtheorie”, in Cassels, JWS; Fröhlich, A. (Hrsg.), Algebraische Zahlentheorie. Tagungsband einer von der London Mathematical Society (einem NATO Advanced Study Institute) mit Unterstützung der International Mathematical Union organisierten Lehrkonferenz, London: Academic Press, S. 128–161, Zbl 0153.07403
• Tate, John (1967), “VII. Globale Klassenfeldtheorie”, in Cassels, JWS; Fröhlich, A. (Hrsg.), Algebraische Zahlentheorie. Tagungsband einer von der London Mathematical Society (einem NATO Advanced Study Institute) mit Unterstützung der International Mathematical Union organisierten Lehrkonferenz, London: Academic Press, S. 162–203, Zbl 0153.07403