Äquinumerosität – Wikipedia

In der Mathematik zwei Mengen oder Klassen EIN und B. sind gleich viele Wenn zwischen ihnen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung (oder Bijektion) besteht, dh wenn eine Funktion von existiert EIN zu B. so dass für jedes Element y von B.gibt es genau ein Element x von EIN mit f(x) = y.^[1] Gleiche Mengen sollen die gleiche Kardinalität (Anzahl der Elemente) haben.^[2] Das Studium der Kardinalität wird oft genannt Äquinumerosität (Gleichheit der Zahl). Die Bedingungen Äquipollenz (Gleichheit der Stärke) und Äquipotenz (Gleichheit der Macht) werden manchmal stattdessen verwendet.

Äquinumerosität hat die charakteristischen Eigenschaften einer Äquivalenzbeziehung.^[1] Die Aussage, dass zwei Sätze EIN und B. sind gleich zahlreich wird üblicherweise bezeichnet

${ displaystyle A approx B ,}$

oder

${ displaystyle A sim B}$

, oder

${ displaystyle | A | = | B |.}$

^[3]

Die Definition der Äquinumerosität unter Verwendung von Bijektionen kann sowohl auf endliche als auch auf unendliche Mengen angewendet werden und ermöglicht die Angabe, ob zwei Mengen dieselbe Größe haben, auch wenn sie unendlich sind. Georg Cantor, der Erfinder der Mengenlehre, zeigte 1874, dass es mehr als eine Art von Unendlichkeit gibt, insbesondere, dass die Sammlung aller natürlichen Zahlen und die Sammlung aller reellen Zahlen, obwohl beide unendlich sind, nicht gleich zahlreich sind (siehe Cantors erste Unzählbarkeit) Beweis). In seiner kontroversen Arbeit von 1878 definierte Cantor explizit den Begriff der “Macht” von Mengen und verwendete ihn, um zu beweisen, dass die Menge aller natürlichen Zahlen und die Menge aller rationalen Zahlen gleich zahlreich sind (ein Beispiel, bei dem eine richtige Teilmenge einer unendlichen Menge vorhanden ist äquivalent zu der ursprünglichen Menge), und dass das kartesische Produkt selbst einer zählbar unendlichen Anzahl von Kopien der reellen Zahlen einer einzelnen Kopie der reellen Zahlen entspricht.

Cantors Satz von 1891 impliziert, dass keine Menge ihrer eigenen Potenzmenge (der Menge aller ihrer Teilmengen) entspricht.^[1] Dies ermöglicht die Definition von immer größeren unendlichen Mengen ausgehend von einer einzelnen unendlichen Menge.

Wenn das Axiom der Wahl gilt, kann die Kardinalzahl einer Menge als die kleinste Ordnungszahl dieser Kardinalität angesehen werden (siehe anfängliche Ordnungszahl). Andernfalls kann es (nach Scotts Trick) als die Menge von Sätzen mit minimalem Rang angesehen werden, die diese Kardinalität haben.^[1]

Die Aussage, dass zwei beliebige Mengen entweder gleich zahlreich sind oder eine eine geringere Kardinalität als die andere hat, entspricht dem Axiom der Wahl.^[4]

Kardinalität[edit]

Zahlreiche Mengen haben eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen ihnen,^[5] und sollen die gleiche Kardinalität haben. Die Kardinalität einer Menge X. ist ein Maß für die “Anzahl der Elemente der Menge”.^[1] Äquinumerosität hat die charakteristischen Eigenschaften einer Äquivalenzbeziehung (Reflexivität, Symmetrie und Transitivität):^[1]

Reflexivität

Gegeben ein Satz EIN, die Identitätsfunktion auf EIN ist eine Bijektion von EIN zu sich selbst, zeigt, dass jeder Satz EIN ist für sich selbst gleich zahlreich: EIN ~ EIN.

Symmetrie

Für jede Bijektion zwischen zwei Sätzen EIN und B. Es gibt eine Umkehrfunktion, zwischen der eine Bijektion besteht B. und EIN, was bedeutet, dass wenn ein Satz EIN ist gleich einer Menge B. dann B. ist auch gleich zahlreich EIN:: EIN ~ B. impliziert B. ~ EIN.

Transitivität

Bei drei Sätzen EIN, B. und C. mit zwei bijektionen f :: EIN → B. und G :: B. → C., die Zusammensetzung G ∘ f dieser bijektionen ist eine bijektion von EIN zu C., also wenn EIN und B. sind gleich zahlreich und B. und C. sind dann gleich zahlreich EIN und C. sind gleich zahlreich: EIN ~ B. und B. ~ C. zusammen implizieren EIN ~ C..

Der Versuch, die Kardinalität einer Menge als Äquivalenzklasse aller ihr äquivalenten Mengen zu definieren, ist in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, der Standardform der axiomatischen Mengenlehre, problematisch, da die Äquivalenzklasse einer nicht leeren Menge zu groß wäre ein Set sein: Es wäre eine richtige Klasse. Im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sind Beziehungen per Definition auf Mengen beschränkt (eine binäre Beziehung auf einer Menge EIN ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts EIN × EIN), und es gibt keine Menge aller Mengen in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre versucht man, anstatt die Kardinalität einer Menge als Äquivalenzklasse aller ihr äquivalenten Mengen zu definieren, jeder Äquivalenzklasse eine repräsentative Menge zuzuweisen (Kardinalzuordnung). In einigen anderen Systemen der axiomatischen Mengenlehre, beispielsweise in der Von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre und der Morse-Kelley-Mengenlehre, werden die Beziehungen auf Klassen ausgedehnt.

Ein Set EIN soll eine Kardinalität haben, die kleiner oder gleich der Kardinalität einer Menge ist B., wenn es eine Eins-zu-Eins-Funktion (eine Injektion) von gibt EIN in B.. Dies wird bezeichnet |EIN| ≤ |B.|. Wenn EIN und B. sind nicht gleich zahlreich, dann ist die Kardinalität von EIN soll streng kleiner sein als die Kardinalität von B.. Dies wird bezeichnet |EIN| <|B.|. Wenn das Axiom der Wahl gilt, gilt das Gesetz der Trichotomie für Kardinalzahlen, so dass zwei beliebige Mengen entweder gleich zahlreich sind oder eine streng kleinere Kardinalität als die andere hat.^[1] Das Gesetz der Trichotomie für Kardinalzahlen impliziert auch das Axiom der Wahl.^[4]

Das Schröder-Bernstein-Theorem besagt, dass zwei beliebige Mengen EIN und B. für die es zwei Eins-zu-Eins-Funktionen gibt f :: EIN → B. und G :: B. → EIN sind gleich zahlreich: wenn |EIN| ≤ |B.| und |B.| ≤ |EIN|, dann |EIN| = |B.|.^[1][4] Dieser Satz beruht nicht auf dem Axiom der Wahl.

Satz von Cantor[edit]

Der Satz von Cantor impliziert, dass keine Menge ihrer Potenzmenge (der Menge aller ihrer Teilmengen) entspricht.^[1] Dies gilt auch für unendliche Mengen. Insbesondere ist die Potenzmenge einer zählbar unendlichen Menge eine unzählige Menge.

Annahme der Existenz einer unendlichen Menge N. Bestehend aus allen natürlichen Zahlen und unter der Annahme, dass die Potenzmenge einer bestimmten Menge existiert, kann eine Sequenz definiert werden N., P.(N.), P.(P.(N.)), P.(P.(P.(N.))),… von unendlichen Mengen, wobei jede Menge die Potenzmenge der vorhergehenden Menge ist. Nach dem Satz von Cantor übersteigt die Kardinalität jeder Menge in dieser Sequenz die Kardinalität der vorhergehenden Menge streng, was zu immer größeren unendlichen Mengen führt.

Cantors Werk wurde von einigen seiner Zeitgenossen scharf kritisiert, zum Beispiel von Leopold Kronecker, der sich stark an einen Finitisten hielt^[6]Philosophie der Mathematik und lehnte die Idee ab, dass Zahlen eine tatsächliche, vollständige Gesamtheit (eine tatsächliche Unendlichkeit) bilden können. Cantors Ideen wurden jedoch von anderen verteidigt, zum Beispiel von Richard Dedekind, und letztendlich weitgehend akzeptiert, stark unterstützt von David Hilbert. Weitere Informationen finden Sie unter Kontroverse über Cantors Theorie.

Im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre garantiert das Axiom der Potenzmenge die Existenz der Potenzmenge einer bestimmten Menge. Darüber hinaus garantiert das Axiom der Unendlichkeit die Existenz mindestens einer unendlichen Menge, nämlich einer Menge, die die natürlichen Zahlen enthält. Es gibt alternative Mengen-Theorien, z. B. “Allgemeine Mengen-Theorie” (GST), Kripke-Platek-Mengen-Theorie und Pocket-Mengen-Theorie (PST), die das Axiom der Potenzmenge und das Axiom der Unendlichkeit bewusst weglassen und die Definition von nicht zulassen die von Cantor vorgeschlagene unendliche Hierarchie der Unendlichkeiten.

Die Kardinalitäten, die den Mengen entsprechen N., P.(N.), P.(P.(N.)), P.(P.(P.(N.))),… sind die Beth-Zahlen

${ displaystyle beth _ {0}}$

,

${ displaystyle beth _ {1}}$

,

${ displaystyle beth _ {2}}$

,

${ displaystyle beth _ {3}}$

,…,^[3] mit der ersten beth nummer

${ displaystyle beth _ {0}}$

gleich sein

${ displaystyle aleph _ {0}}$

(Aleph nichts), die Kardinalität einer zählbar unendlichen Menge und die zweite Beth-Zahl

${ displaystyle beth _ {1}}$

gleich sein

${ displaystyle { mathfrak {c}}}$

, die Kardinalität des Kontinuums.

Dedekind-unendliche Mengen[edit]

In einigen Fällen ist es für einen Satz möglich S. und seine richtige Teilmenge, um gleich zahlreich zu sein. Zum Beispiel ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen gleich der Menge aller natürlichen Zahlen. Eine Menge, die einer richtigen Teilmenge von sich selbst entspricht, heißt Dedekind-infinite.^[1][4]

Das Axiom der zählbaren Wahl (AC_ω), eine schwache Variante des Axioms der Wahl (AC), wird benötigt, um zu zeigen, dass eine Menge, die nicht Dedekind-unendlich ist, tatsächlich endlich ist. Die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl (ZF) sind nicht stark genug, um zu beweisen, dass jede unendliche Menge Dedekind-unendlich ist, sondern die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit dem Axiom der zählbaren Wahl (ZF + AC_ω) sind stark genug.^[7] Andere Definitionen der Endlichkeit und Unendlichkeit von Mengen als die von Dedekind gegebenen erfordern hierfür nicht das Axiom der Wahl, siehe Endliche Menge § Notwendige und ausreichende Bedingungen für die Endlichkeit.^[1]

Kompatibilität mit festgelegten Operationen[edit]

Die Äquinumerosität ist mit den grundlegenden Mengenoperationen so kompatibel, dass die Definition der Kardinalarithmetik möglich ist.^[1] Insbesondere ist die Äquinumerosität mit disjunkten Gewerkschaften kompatibel: Gegeben sind vier Sätze EIN, B., C. und D. mit EIN und C. einerseits und B. und D. andererseits paarweise disjunkt und mit EIN ~ B. und C. ~ D. dann EIN ∪ C. ~ B. ∪ D.. Dies wird verwendet, um die Definition der Kardinaladdition zu rechtfertigen.

Darüber hinaus ist die Äquinumerosität mit kartesischen Produkten kompatibel:

• Wenn EIN ~ B. und C. ~ D. dann EIN × C. ~ B. × D..
• EIN × B. ~ B. × EIN
• (EIN × B.) × C. ~ EIN × ((B. × C.)

Diese Eigenschaften werden verwendet, um die Kardinalmultiplikation zu rechtfertigen.

Gegeben zwei Sätze X. und Y., die Menge aller Funktionen aus Y. zu X. wird mit bezeichnet X.^Y.. Dann gelten folgende Aussagen:

• Wenn EIN ~ B. und C. ~ D. dann EIN^C. ~ B.^D..
• EIN^{B. ∪ C.} ~ EIN^B. × EIN^C. für disjunkt B. und C..
• (EIN × B.)^C. ~ EIN^C. × B.^C.
• (EIN^B.)^C. ~ EIN^B.×C.

Diese Eigenschaften werden verwendet, um die Kardinal-Potenzierung zu rechtfertigen.

Weiterhin die Potenzmenge einer gegebenen Menge EIN (die Menge aller Teilmengen von EIN) entspricht der Menge 2^EIN, die Menge aller Funktionen aus der Menge EIN zu einer Menge, die genau zwei Elemente enthält.

Kategoriale Definition[edit]

In der Kategorietheorie wird die Kategorie der Mengen bezeichnet einstellenist die Kategorie, die aus der Sammlung aller Mengen als Objekte und der Sammlung aller Funktionen zwischen Mengen als Morphismen besteht, wobei die Zusammensetzung der Funktionen die Zusammensetzung der Morphismen ist. Im einstellenEin Isomorphismus zwischen zwei Mengen ist genau eine Bijektion, und zwei Mengen sind genau dann gleich zahlreich, wenn sie als Objekte in isomorph sind einstellen.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]