Quadrik – ウィキペディア

一 Quadrik （から ラテン ブロック Quadrat）は、数学における数人の見知らぬ人の平方方程式の溶液量です。 2次元では、通常、クワドリクはレベルに曲線を形成し、コーンカットです。 3次元では、クワドリクは通常、部屋の領域を説明します。 2次のエリア また 正方形の領域 呼ばれています。一般的に、クワドリクは、最終的に寸法の実際の座標領域にある代数的な品種、つまり特別なハイパーフェイスです。メインアクスル変換により、各四方性は、可能な3つの通常の形式のいずれかに変換できます。このようにして、Quadrikenはさまざまな基本タイプに分類できます。

Quadrikenは、特に分析的および射影幾何学で調べられます。テクノロジーと自然科学における四角化の用途は、測地基準（参照エンジニアリング）、アーキテクチャ（構造工学）、または光学系（放物線レベル）にあります。

それぞれのクアドリック、d。 H.解決策は、次のとおりです

${テキストスタイルQ}$

専用。さらに、このページで次の表記を使用して、線形代数で使用されるシンボルを区別します。

${displaystyle a}$

実数を表します、

${displaystyle mathrm {a}}$

ベクトル（小さな文字で直立）、

${displaystyle mathrm {a}}$

マトリックス（大文字で直立）。

クアドリックはポイント量です

${displaystyle n}$

– 次元の実際の座標空間

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

フォーム

${displaystyle q = left {（x_ {1}、ldots、x_ {n}）in mathbb {r} ^{n} mid q（x_ {1}、ldots、x_ {n}）= 0right}}}$

、

したがって

${displaystyle q（x_ {1}、ldots、x_ {n}）= sum _ {i、j = 1}^{n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j}+2、sum _ {i = 1}^{n}$

変数の正方形多項式

${displaystyle x_ {1}、ldots、x_ {n}}$

は。多項式係数の少なくとも1つ

${displaystyle a_ {11}、dots、a_ {nn}}$

はるかにゼロでなければなりません。さらに、制限なしに想定することができます

${displaystyle a_ {ij} = a_ {ji}}$

すべてのために

${displaystyle I、jin {1、dotsc、n}}$

適用可能です。四方的は、いくつかの変数の正方形多項式のゼロ量またはいくつかの見知らぬ人との溶液量の溶液量です。

たとえば、ポイントの量が記述されます

${displaystyle q = left {（x、y）in mathbb {r}^{2} mid 2x^{2}+3y^{2} = 5right}}$

レベルの楕円。ポイントの量

${displaystyle q = left {（x、y、z）in mathbb {r}^{3} mid x^{2}+y^{2} -z^{2} = 1 right}}}$

3次元空間にある単一の字型双曲線について説明します。

マトリックスプレゼンテーション [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

コンパクトなマトリックス表記では、クドリックは多くのベクトルになる可能性があります

${displaystyle q = left {mathrm {x} in mathbb {r}^{n} mid mathrm {x^{t}} mathrm {a} mathrm {xrm {b^{t}}} mathrm {x} +$

説明してください

${displaystyle mathrm {a} =（a_ {ij}）in mathbb {r} ^{ntimes n}}$

対称マトリックスと

${displaystyle mathrm {b} =（b_ {i}）in mathbb {r} ^{n}}$

としても

${displaystyle mathrm {x} =（x_ {i}）in mathbb {r} ^{n}}$

列ベクトルは対応する長さです。拡張プレゼンテーションマトリックスの助けを借りて

${displaysyllle mathrm {bar {pmatrix} = {begin {pmatrix} mathrm {a}＆mathrm {b ^ {t {t}＆cend {pmatrix} …$

それに応じてベクトルを拡張しました

${displaystyle mathrm {bar {x}} = {tbinom {mathrm {x}} {1}}}}$

クアドリックはコンパクトにコンパクトにすることもできます

${displaystyle q = left {mathrm {x} in mathbb {r} ^{n} mid mathrm {{bar {x}} ^{t}} mathrm {ar {a}}、mathrm {x} = 0right}}}}$

均一な座標で示されています。

タイプ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Quadrikenで3つの基本的なタイプが区別されています。どのタイプが与えられたQuadrikaであるかは、マトリックスのランクに基づくことができます

${displaystyle mathrm {a}}$

、

${displaystyle（mathrm {a | b}）}$

と

${displaystyle mathrm {bar {a}}}$

ヒットする： ^[初め]

• サンダーのタイプ ：
  ${displaystyle operatorname {rang}（operatorname {rang}（operatorname}（operatorame {rang}（mathrm {a}））$

  

• センターQuadrika ：
  ${displaystyle operatorname {rang}（operame {rang}）> operame {rang}（operatorname}（operatorname {rang}（mathrm {a}）$

  
  ${displaystyle operatorname {rang}（mathrm {a | b}）> operatorname {rang}（mathrm {a}）}$

  

  ${displaystyle det mathrm {bar {a}} = 0}$

  

  適用可能です。興奮していないクワドリクは、あらゆる方向に湾曲したハイパーサーフェスを形成しますが、いくつかの方向に程度を持つ四角形は、まっすぐなライン構造を持っているか、そうでなければ退化しています。

  変換 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

  Quadrikenは、タイプを変更せずに類似性画像で変換できます。は

  ${displaystyle mathrm {s} in mathbb {r} ^{ntimes n}}$

  通常のマトリックス、次に線形変換を通過します

  ${displaystyle mathrm {y} = mathrm {s^{-1}} mathrm {x}}$

  座標の新しいクワドリ

  ${displaystyle y_ {1}、ldots、y_ {n}}$

  方程式

  ${displaystyle {begin {pmatrix} mathrm {y^{t}} !!＆1end {pmatrix}} {begin {pmatrix} mathrm {s^{t}}＆0 \ 0＆1end {pmatrix}}} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix） b^{t}}＆cend {pmatrix}} {begin {pmatrix} mathrm {s}＆0 \ 0＆1end {pmatrix}} {begin {pmatrix} mathrm {y} \ 1end {pmatrix}} = {y begin {pmatrix}} {pmatrix}} {pmatrix}} {pmatrix}} {begin {pmatrix} mathrm {s^{t} as}＆mathrm {s^{t} b} \ mathrm {b^{t} s}＆cend {pmatrix}} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix}$

  

  十分。並行シフトを取得することもできます

  ${displaystyle mathrm {y = x-u}}$

  ベクトルへ

  ${displaystyle mathrm {u} in mathbb {r} ^{n}}$

  方程式である新しいクアドリク

  ${displaystyle {begin {pmatrix} mathrm {y^{t}} !!＆1end {pmatrix}} {begin {pmatrix} mathrm {i}＆0 \ mathrm {u^{t}}＆1end} {pmatrix} {pM} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} \ mathrm {b^{t}}＆cend {pmatrix}}} {begin {pmatrix} mathrm {i}＆mathrm {u} \ 0＆1end {pmatrix}} {begin {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} {pmatrix} y^{t}} !!＆1end {pmatrix}} {begin {pmatrix} mathrm {a}＆mathrm {au+b} \ mathrm {u^{t} a+b^{t}}＆mathrm {u^{u^{t} au+2b^{t} {t} {t} {t} {pmatrix} mathrm {y} \ 1end {pmatrix}} = 0}$

  

  ユニットマトリックス付き

  ${displaystyle mathrm {i} in mathbb {r} ^{ntimes n}}$

  満たす。特に、マトリックスのランクが変化します

  ${displaystyle mathrm {a、（bid b）}}$

  と

  ${displaystyle mathrm {bar {a}}}$

  そのような親和性を通してではありません。

  は

  ${displaystyle det（mathrm {a}）neq 0}$

  、両方の方法を使用して使用できます

  ${displaystyle mathrm {y = s^{ – 1} x}}$

  と

  ${displaystyle mathrm {z = y+s^{ – 1} a^{ – 1} b}}}$

  に

  ${displaystyle mathrm {z = s^{ – 1}（x+a^{-1} b）}}}$

  混ぜる：

  ${displaystyle {begin {pmatrix} mathrm {z^{t}} !!＆1end {pmatrix}} {begin {pmatrix} mathrm {s^{t}}＆0 \ mathrm {-b^{t} a^{pmaTrix {pmaTrix} {pmaTrix} {pmaTrix} m {a}＆mathrm {b} \ mathrm {b^{t}}＆cend {pmatrix}} {begin {pmatrix} mathrm {s}＆mathrm {-a^{-1} b} \ 0＆1 edd {pmatrix} {pm} {pM atrix}} = {begin {pmatrix} mathrm {z^{t}} !!＆1end {pmatrix}} {begin {pmatrix} mathrm {s^{t} rix} mathrm {z} \ 1end {pmatrix}} = 0。}$

  

  マトリックス以来

  ${displaystyle mathrm {a}}$

  対称的であり、それは直交的に対角線化可能です、つまり、直交マトリックスがあります

  ${displaystyle mathrm {s}}$

  、 となることによって

  ${displaystyle mathrm {s^{-1} as = s^{t} as =：d}}}$

  斜めのマトリックスです。これは、クアドリックを条件によって行うことができることを意味します

  ${displaystyle mathrm {z^{t} dz-b^{t} a^{-1} b} +c = 0}$

  

  表現される。したがって、これ以上の混合二乗はありませんし、線形項もありません。したがって、クアドリックの中心が含まれています

  ${displaystyle mathrm {z = 0} leftrightarrow mathrm {x = -a^{-1} b}}$

  。

  通常のフォーム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

  メインアクスル変換により、各四方性は次の通常の形式のいずれかに変換できます。この目的のために、直交マトリックス

  ${displaystyle mathrm {s}}$

  、たとえば、回転または反射マトリックスを選択したので、それを選択しました

  ${displaystyle mathrm {s^{t} as}}$

  斜めのマトリックスは、の特異性をもたらします

  ${displaystyle mathrm {a}}$

  降順で含まれています。 2番目のステップでは、変換されたクアドリックがそのようなベクトルになります

  ${displaystyle mathrm {u}}$

  線形項と定数項も大部分が消えることを動かしました。最後に、クアドリックは、定期的な用語がゼロでない限り、1つになるように標準化されています。これにより、次の3つの通常の形式が得られます。 ^[初め]

  それに特別なケースとして追加されました

  • 空集合：
    ${displaystyle -{frac {x_ {1}^{2}} {alpha _ {1}^{2}}} – dotsb – {frac {x_ {r}^{2}} {alpha _ {r}^{2}}}}}}}}}}}} = 1}$

    と

    ${displaystyle 1leq rleq n}$

    

  すべての場合において、係数は次のとおりです

  ${displaystyle alpha _ {1}、dotsc、alpha _ {r}> 0}$

  

  ${displaystyle p = | {lambda in sigma（mathrm {a}）コロンラムダ> 0} |}$

  

  ${displaystyle r = | {lambda in sigma（mathrm {a}）colon lambda neq 0} | = operatorname {rang}（mathrm {a}）}$

  マトリックスの署名から生じます

  ${displaystyle mathrm {a}}$

  。

  次元のQuadriken [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

  寸法では、四方性は、未知の平方方程式の溶液量、すなわちフォームの量です

  ${displaystyle q = left {xin mathbb {r} mid ax^{2}+bx+c = 0right}}}$

  。

  次の2つのケースは、シフト（正方形の追加）と標準化によって区別できます。

  疲れ果てたQuadrikenではありません		Quadrikenを出発
  2つのソリューション ${displaystyle {x ^{2} over alpha ^{2}} = 1}$		解決策 ${displaystyle {x ^{2} over alpha ^{2}} = 0}$

  残りの場合

  ${displaystyle -{tfrac {x ^{2}} {alpha ^{2}} = 1}$

  空の数量は解決策として結果をもたらします。すべての場合において

  ${displaystyle alpha> 0}$

  レベルのQuadriken [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

  レベルでは、Quadricは2つの不明、つまり形の量を持つ正方方程式の溶液量です。

  ${displaystyle q = left {（x、y）in mathbb {r}^{2} mid ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f = 0right}}}$

  。

  変性症例を除いて、これらはコーンカットであり、混雑したコーンカットとは区別され、コーンチップが切断レベルに含まれており、非分散コーンカットと区別されます。クワドリックの一般的な方程式は、メイン車軸変換を介して次の通常の形式のいずれかに変換できます。

  残りの2つの場合

  ${displaystyle -{tfrac {x ^{2}} {alpha ^{2}}}} – {tfrac {y ^{2}} {beta ^{2}}} = 1}}$

  と

  ${displaystyle -{tfrac {x ^{2}} {alpha ^{2}} = 1}$

  空の量は解決策として結果をもたらします。すべての場合において

  ${displaystyle alpha、beta> 0}$

  部屋のQuadriken [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

  3次元空間では、3つの不明、つまりフォームの量を持つ正方方程式の溶液量です。

  ${displaystyle q = left {（x、y、z）in mathbb {r}^{3} mid ax^{2}+bxy+cxz+dy^{2}+eyz+fz^{2}+gx+hy+iz+j = 0right}}}}$

  。

  部屋では、Quadrikenの多様性はレベルよりも大幅に大きくなっています。また、ここには発生し、非説明的なクアドリケンもあります。指定された四角形の下には、シリンダーやコーンなどの単に湾曲した表面もあります。 2つの次元と同様に、Quadricの一般的な方程式は、次の通常の形式のいずれかに変換できます。 ^[2]

  残りの3つの場合

  ${displaystyle- {tfrac {x ^{2}} {alpha ^{2}}}} – {y ^{2}} {beta ^{2}}} – {tfrac {z ^{2}} {gamma ^{2}}}}}}} {$

  、

  ${displaystyle -{tfrac {x ^{2}} {alpha ^{2}}}} – {tfrac {y ^{2}} {beta ^{2}}} = 1}}$

  と

  ${displaystyle -{tfrac {x ^{2}} {alpha ^{2}} = 1}$

  空の量は解決策として生じます。すべての場合において

  ${displaystyle alpha、beta、gamma> 0}$

  

  ${displaystyle alpha = beta}$

  （また。

  ${displaystyle beta = gamma}$

  2シェル双曲線の場合）では、回転式クワッドリクとも呼ばれる回転領域が得られます。回転式溶接体、単一および2シェル回転双曲線、回転節約、地区コーン、円形シリンダーです。通常の表面、つまり救われたコーナーの群衆によって生成される表面は、円錐形、楕円形および放物線のシリンダー、レベル、単一カラーの双曲線および双曲線パラボロイドです。後者の3つの領域は2つのギアで生成され、部屋で唯一の可能な二重湾曲した通常の表面です。

  クアドリクが定義されているアフィンスペースと四角体が完成した場合、さまざまなクアドリケンが大幅に削減されます。楕円、ハイパーベルン、および放物線の射影延長はすべて互いに同等です。つまり、一方の曲線を他の曲線に示す射影コリネーションがあることを意味します（射影コーンカットを参照）。

  次のQuadrikenは、3次元空間で同等です。

  • 楕円体、2つのシェル双曲線および楕円パラボロイド、
  • 単一のような双曲線および双曲線放物線、
  • 楕円形、双曲線、放物線シリンダー、コーン。

  より一般的には、Quadrikenは、複雑な数の体の上や有限の体の上にある身体の上のベクトル室でも見ることができます。 ^[3]

  1. ↑ ^{a b} ティロ・アレンス、フランク・ヘトリッチ、クリスチャン・カーパー・キディング、イルリッヒ・ウェイクス、クラッシュの葉のタチェル： 数学 。第2版​​。 Spectrum Akademischer Verlag、2011、ISBN 3-8274-2347-3、 S. 719 。
  2. ↑ Kurt Meyberg、Peter Vachenauer： より高い数学1 。 6.エディション。 Springer、2003、ISBN 978-3-540-41850-4、 S. 345 。
  3. ↑ ハンフリードレンツ： 射影幾何学に関する講義。 アカデミック出版社Geest＆Portig、Leipzig 1965、p。155。
  • Ilja Nikolajject Bronnstein、Constantine A. Semendajew： 数学のペーパーバック。 Teubner-Verlag、Leipzig 1983、ISBN 3-87144-492-8、p。283。
  • クレメンス・バーグ、ハーバート・ハフ、フリードリッヒ・ウィル： エンジニアのためのより高い数学。 第2巻、Teubner-Verlag、Stuttgart、ISBN 3-519-22956-0、p。341。
  • 数学のためのDTVアトラス。 第1巻、ドイツのTaschenbuch-verlag、ISBN 3-423-03007-0、pp。200–203。
  • Kurt Meyberg、Peter Vachenauer： より高い数学1。 Springs-Publis、Berlin 1995、ISBN 3-540-59188-5、S。343。