コンテンツ（測定理論） – ウィキペディア

コンテンツは、寸法の特別な数量関数であり、特定の数量システムに対して定義され、体積の直感的な概念を抽象化し、一般化するのに役立ちます。

任意の数量システムで [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

数量システムがあります

${displaystyle {mathcal {c}}}$

、空の量を含む。次に、数量関数が呼び出されます

${displaystyle mu：{mathcal {c}}から[0、infty]}$

a コンテンツ 以下が適用される場合： ^[初め]

1. 空の金額にはゼロの値があります。
   ${displaystyle mu（emptySet）= 0}$

   。

2. 関数はです 最後に添加剤 。そうです
   ${displaystyle a_ {1}、a_ {2}、dotsc、a_ {n}}$

   最後に、ペアの多くの分離量が出ます

   ${displaystyle {mathcal {c}}}$

   と

   ${displaystyle textStyle bigcup _ {i = 1}^{n} a_ {i} in {mathcal {c}}}$

   次に、適用します

   ${displaystyle mu left（bigcup _ {i = 1}^{n} a_ {i} right）= sum _ {i = 1}^{n} {mu（a_ {i}）}}}$

   。

数量システムは通常、数量ドームです。 ^{[2] [3]}

述べる [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

定義では、分離型の有限の関連性が数量システムに戻っていることを必要としないことに注意する必要があります。それだけが必要です 滝 分離協会は再び数量システムにあり、有限添加剤が適用されます。たとえば、分離型の有限の関連性は、一般にハーブリングに戻っていません。この例は、半分のリッシングです

${displaystyle mathbb {r}}$

フォームのハーフオープン間隔からのもの

${displaystyle [a、b）}$

構成されます。

同様に、一般に、添加剤から、つまりプロパティから

${displaystyle mu（acup b）= mu（a）+mu（b）}$

分離法のために

${displaystyle a、b}$

と

${displaystyle acup bin {mathcal {c}}}$

有限添加剤ではありません。これは事実に基づいています

${displaystyle acup bin {mathcal {c}}}$

一般的な数量システムではありません

${displaysyle acup bcup cin {mathcal {c}}}$

嫌いのために続きます

${displaystyle cin {mathcal {c}}}$

。添加剤から有限添加剤への（後方の）帰納的結論は、統一安定数量システムにのみ適用されます。

統一された安定した数量システムについて [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

上記の考慮事項に基づいて、統一安定数量システムで次の簡素化された定義が得られます。
は

${displaystyle {mathcal {v}}}$

空の数量を含む統一数量システムは数量関数です

${displaystyle mu：{mathcal {v}}から[0、infty]}$

a コンテンツ 以下が適用される場合：

1. 空の金額にはゼロの値があります。
   ${displaystyle mu（emptySet）= 0}$

   。

2. 関数はです 添加剤 、つまり、それぞれ2つの分離があります
   ${displaystyle a、bin {mathcal {v}}}$

   適用可能です

   ${displaystyle mu（acup b）= mu（a）+mu（b）}$

   。

統一安定数量システムは通常、数量リングです。

最も重要なコンテンツは、SO -CALLED LEESGUEコンテンツです

${displaystyle mu（[a、b））= b-a}$

。

半分の間隔で

${displaystyle [a、b）}$

実数について。最終的に拡張とさまざまな継続率を通じて構築されます。実際、このコンテンツはすでに次元以前のコンテンツです。

もう1つの重要なコンテンツは、Lebesgue-stalulajesが測定するSteltjesのコンテンツと、Lebesgue-Stales-Integrealが導出されることです。

${displaystyle mu _ {f}（[a、b））= f（b）-f（a）}$

、

したがって

${displaystyle f}$

単調な本当の機能。実数のすべての有限コンテンツを記述するために使用できます。

別のコンテンツはヨルダンの尺度です。名前に反して、それは測定理論の観点からの尺度ではありません。

数量システムに応じて、特定のプロパティが適用されます。

ハルブリングで [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

滝

${displaystyle {mathcal {c}} = {mathcal {h}}}}$

その後、半走行は次のとおりです。

• すべてのコンテンツ
  ${displaystyle mu}$

  は 単調な 、したがって、それは真実です：

${displaystyle asubseteq brightarrow mu（a）leq mu（b）}$

ために

${displaystyle a、bin {mathcal {h}}}$

。

• すべてのコンテンツ
  ${displaystyle mu}$

  は subadditiv したがって、それは適用されます：

${displaystyle mu（acup b）leq mu（a）+mu（b）}$

ために

${displaystyle a、b}$

out

${displaystyle {mathcal {h}}}$

と

${displaysyle acup bin {mathcal {h}}}$

。

イムリング [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

リングを数量システムとして選択する場合（各リングはハーフリングであるため）、ハーフリングのプロパティに加えて、次のステートメントに加えて：

• 減算性 ： ために
  ${displaystyle bsubseteq a}$

  と

  ${displaystyle mu（b）$

  適用可能です

  ${displaystyle mu（asetminus b）= mu（a）-mu（b）}$

  。

• 
  ${displaystyle a、bin {mathcal {r}} righttarrow mu（acup b）+mu（acap b）= mu（a）+mu（b）}$

  。

• サブアダイティブ ：
  ${displaystyle a_ {i} in {mathcal {r}}$

  。

• 
  ${displaystyle sigma}$

  -SuperAdditivity ： なれ

  ${displaystyle a_ {i} in {mathcal {r}};（i = 1,2、dotsc）}}$

  ペアでは、否定します

  ${displaystyle bigcup _ {i = 1}^{infty} a_ {i} in {mathcal {r}}}}$

  。その後、添加剤と単調さから続きます

  ${displaystyle mu left（bigcup _ {i = 1}^{infty} a_ {i} right）geq sum _ {i = 1}^{infty} mu（a_ {i}）}$

  。

• 滝
  ${displaystyle mu}$

  最後に、みんなのために

  ${displaystyle ain {mathcal {r}} rightarrow mu（a）$

  その後、適用してから、ポアンカレとシルベスターのふるい方式が適用されます。

${displaystyle mu left（bigcup _ {i = 1}^{n} a_ {i} right）= sum _ {k = 1}^{n}（-1）^{k+1} !! sum _ {isubseteq {1、dotsc、n}、 }$

と

${displaystyle a_ {i} in {mathcal {c}}}$

ために

${displaystyle iin {1、dotsc、n}}$

。

コンテンツは意味します ついに 、 もしも

${displaystyle mu（a）$

すべてのために

${displaystyle ain {mathcal {c}}}$

適用可能です。コンテンツは意味します σmain 分解がある場合

${displaystyle（a_ {i}）_ {iin mathbb {n}}}}$

から

${displaystyle omega}$

の

${displaystyle {mathcal {c}}}$

それを与える

${displaystyle mu（a_ {i}）$

すべてのために

${displaystyle iin mathbb {n}}}$

適用可能です。

任意のコンテンツを実行できます

${displaystyle mu}$

半走行距離

${displaystyle {mathcal {h}}}$

コンテンツ

${displaystyle mu ‘}$

に

${displaystyle {mathcal {h}}}$

生成されたリング

${displaystyle {mathcal {r}}}$

構築する。半分の愛の特性のために、すべての人のためにあります

${displaystyle ain {mathcal {r}}}$

ペアでは、分離法の量

${displaystyle a_ {1}、a_ {2}、dotsc、a_ {m} in {mathcal {h}}}}$

と

${displaystyle textStyle a = bigcup _ {j = 1}^{m} a_ {j}}$

。一つ

${displaystyle mu ‘}$

終えた

${displaystyle mu ‘（a）：= sum _ {j = 1}^{m} mu（a_ {j}）}$

定義されていると、明確に決定された続編が得られます

${displaystyle mu ‘}$

。継続

${displaystyle mu ‘}$

まさにそうです

${displaystyle sigma}$

– 最終的にはif

${displaystyle mu}$

${displaystyle sigma}$

-ついに。

確率コンテンツ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

コンテンツ

${displaystyle mu}$

aになります 確率コンテンツ 基本的な数量のときに呼び出されます

${displaystyle omega}$

数量システムで

${displaystyle {mathcal {c}}}$

含まれています

${displaystyle mu（omega）= 1}$

適用可能です ^[4] 。

署名されたコンテンツ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

a 署名されたコンテンツ 数量関数です

${displaystyle not}$

数量システムで

${displaystyle {mathcal {m}}}$

、有限の関連付けの観点から完了し、空の量が含まれています。

1. 
   ${displaystyle nu（emptyset）= 0}$

   

2. 数量関数の画像量はです
   ${displaystyle [-infty、+infty）}$

   また

   ${displaystyle（-infty、+infty]}$

   。

3. 以下は、添加剤を追加します。
   ${displaystyle not（acup b）= no（a）+no（b）}$

   分離のため

   ${displaystyle a、bin {mathcal {m}}}$

   ^[5] 。

• ユルゲン・エルストロット： 測定および統合理論 。 6.、修正版。 Springer-Verlag、Berlin Heidelberg 2009、ISBN 978-3-540-89727-9、doi： 10,1007/978-3-540-89728-6 。
• Achim Klenke： 確率理論 。 3.エディション。 Springer-Verlag、Berlin Heidelberg 2013、ISBN 978-3-642-36017-6、doi： 10,1007/978-3-642-36018-3 。
• クラウスD.シュミット： 測定と確率 。 2番目、エディションを通じて。 Springer-Verlag、Heidelberg Dordrecht London New York 2011、ISBN 978-3-642-21025-9、doi： 10,1007/978-3-642-21026-6 。

1. ↑ シュミット： 測定と確率。 2011年、S。44。
2. ↑ クレンケ： 確率理論。 2013、S。12。
3. ↑ 電気： 測定および統合理論。 2009年、S。27。
4. ↑ シュミット： 測定と確率。 2011年、S。194。
5. ↑ 電気： 測定および統合理論。 2009年、S。277。