Bernoulli Distribution-Wikipedia

Posted on March 28, 2019 by lordneo

before-content-x4

BERNOULLI分布の確率関数

{displaystyle p = 0 {、} 2}

1つのランダムサイズ ベルヌーリの分布 （Asも同様です ゼロワン分布 、 代替分布 ^[初め]また ブール分布 ^[2]記述）は、可能なテスト出力が2つしかないランダムイベントを記述するために使用します。テスト出力の1つは通常です成功記述および補完的なテスト出力失敗。関連する確率

{displaystyle p}

$p$ 成功のために、成功の確率が呼ばれ、

{displaystyle q = 1-p}

$q=1-p$ 故障の確率。
例：

指定 Bernouli-Attemp （ ベルヌーアン裁判 Jakob I Bernoulliによると）、この本は1937年に初めてでした 数学的確率の紹介 James Victor Uspenskyが使用します。 ^[3]

after-content-x4

離散ランダムサイズ

{displaystyle x}

$X$ 群衆の中に価値があります

{displaystyle {0.1}}

${0,1}$ それは ゼロワン分布 また。 ベルヌーリの分布 パラメーターで

{displaystyle pin [0,1]}

$pin [0,1]$ 次の確率関数に従う場合

{displaystyle f（xmid p）= {begin {cases} p^{x}（1-p）^{1-x}＆{text {falls}} quad x = 0,1 \ 0＆{text {sonst。}} } end {case}}}

分布関数は次のとおりです

{displaystyle f_ {x}（x）= {begin {cases} 0＆{text {falls}} quad x <0 \ 1-p＆{text {falls}} quad 0leq x <1 \ 1＆{text {falls}}} quad xgeq 1end {case}}}}}}

それからあなたは書きます

{displaystyle xsim {mathcal {b}}（p）}

${displaystyle Xsim {mathcal {B}}(p)}$ また

{displaystyle xsim ber_ {p}}

$Xsim Ber_{p}$ 。

各個々の試みがベルヌーリ分布に十分である多くの独立した同一の試みは、ベルヌーリプロセスまたはベルヌーリシュテストスキームと呼ばれます。

Table of Contents

期待値 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

パラメーターを使用したBernoulli分布

{displaystyle p}

$p$ 期待値があります：

{displaystyle operatorname {e} left（xright）= p}

これには、Bernoulliが分散したランダム変数について

{displaystyle x}

$X$ と

{displaystyle p（x = 1）= p}

$P(X=1)=p$ と

{displaystyle p（x = 0）= q}

$P(X=0)=q$ 該当する：

{displaystyle operatorname {e}（x）= p（x = 1）cdot 1+p（x = 0）cdot 0 = pcdot 1+qcdot 0 = p}

分散およびその他のストルマス [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Bernoulliの分布には分散があります

{displaystyle operatorname {var}（x）= pcdot（1-p）= pq}

その理由は

{displaystyle operatorname {e}（x^{2}）= pcdot 1^{2}+qcdot 0^{2} = p}

${displaystyle operatorname {E} (X^{2})=pcdot 1^{2}+qcdot 0^{2}=p}$ したがって

{displaystyle operatorname {e}左（x^{2}右）-operatorname {e}（x）^{2} = p-p^{2} = pcdot（1-p）= pq}

したがって、標準偏差はです

{displaystyle sigma _ {x} = {sqrt {pq}}}

および変動係数

{displaystyle operatorname {vark}（x）= {sqrt {frac {q} {p}}}}}

対称 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

パラメーター用

{displaystyle p = {tfrac {1} {2}}}

${displaystyle p={tfrac {1}{2}}}$ ベルヌーイの分布は、ポイントの周りに対称的にあります

{displaystyle a = {tfrac {1} {2}}}

${displaystyle a={tfrac {1}{2}}}$ 。

曲がった [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ベルヌーリの分布の曲がったものはです

{displaystyle operatorname {v}（x）= {frac {1-2p} {sqrt {pq}}}}}

これは次のように表示できます。標準化されたランダム変数

{displaystyle {frac {x-operatorname {e}（x）} {sqrt {operatorname {var}（x）}}}}}}

$frac{X-operatorname{E}(X)}{sqrt{operatorname{Var}(X)}}$ と

{displaystyle x}

$X$ Bernoulliは価値を分配しました

{displaystyle {frac {q} {sqrt {pq}}}}}

$frac{q}{sqrt{pq}}$ 確率で

{displaystyle p}

$p$ オンと値

{displaystyle -{frac {p} {sqrt {pq}}}}

$-frac{p}{sqrt{pq}}$ 確率で

{displaystyle q}

$q$ 。曲がった人のためにそれを手に入れます

{displaystyle {begin {aligned} operatorname {v}（x）＆= operatorname {e} left（{frac {x-operatorname {e}（x）} {sqrt {operatorname {var}（x）}}} right）^{3} {3} {3} {3} {3} {3} qrt {pq}}}右）^{3}+qcdot左（ – {frac {p} {sqrt {pq}}}右）^{3} \＆= {frac {1} {{{sqrt {pq}}}^{3} {3}}}}^{3}}}}^{{sqrt {pq}}}^ \＆= {frac {pq} {{sqrt {pq}}^{3}}（q-p）\＆= {frac {q-p} {sqrt {pq}}}} end {aligned}}}}}}

金庫と過剰 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ベルヌーイ分布の過剰はです

{displaystyle gamma（x）= {frac {1-6pq} {pq}}}

そして、それは曲率です

{displaystyle beta _ {2}（x）= {frac {1-3pq} {pq}}}}

瞬間 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

すべてのk-ten瞬間

{displaystyle m_ {k}}

$m_{k}$ 同じことで、適用されます

{displaystyle m_ {k} = p}

その理由は

{displaystyle m_ {k} = operatorname {e}左（x^{k}右）= pcdot 1^{k}+qcdot 0^{k} = p}

エントロピ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ベルヌーリ分布のエントロピーはです

{displaystyle mathrm {h} = -qlog _ {2}（q）-plog _ {2}（p）}

ビットで測定。

モーダス [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ベルヌーリ分布のモードはです

{displaystyle x_ {d} = {begin {cases} 0＆{text {falls}} quad q> p \ 0; 1＆{text {falls}} quad q = p \ 1＆{text {falls}} Quad Q

中央値 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ベルヌーリ分布の中央値はです

{displaystyle {tilde {m}} _ {x} = {begin {cases} 0＆{text {falls}} quad q> p、\ 1＆{text {falls}} quad q

滝

{displaystyle p = q}

${displaystyle p=q}$ すべてを適用します

{displaystyle {tilde {m}} _ {x} in [0,1]}

${displaystyle {tilde {m}}_{X}in [0,1]}$ 中央値。

カミュレータ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

累積生成関数はです

{displaystyle g_ {x}（t）= ln（pe^{t}+q）}

最初の累積器も同様です

{displaystyle kappa _ {1} = p、kappa _ {2} = pq}

$kappa _{1}=p,kappa _{2}=pq$ 再帰方程式が適用されます

{displaystyle kappa _ {n+1} = p（1-p）{frac {dkappa _ {n}} {dp}}。}。

確率 – 生成関数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

確率 – 生成関数はです

{displaystyle m_ {x}（t）= 1-p+pt}

特性関数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

特性関数はです

{displaystyle varphi _ {x}（t）= 1-p+pe^{mathrm {i} t}}

モーメント – 生成関数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

瞬間 – 生成関数はです

{displaystyle m_ {x}（t）= 1-p+pe^{t}}

二項分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ベルヌーイの分布は、

{displaystyle n = 1}

$n=1$ 。言い換えれば、同一のパラメーターを備えた独立したベルヌーイと分配されたランダムサイズの合計

{displaystyle p}

$p$ 二項分布には十分であるため、ベルヌーイの分布は生殖的ではありません。
二項分布はそれです

{displaystyle n}

$n$ – 同じパラメーターでベルヌーリ分布の折りたたみ式

{displaystyle p}

$p$ または同じ確率で

{displaystyle p}

$p$ 。

一般化された二項分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

合計

{displaystyle n}

$n$ 独立したBernoulliに分配されたランダム変数、これらはすべて異なるパラメーターです

{displaystyle p_ {i}}

$p_{i}$ 独自は一般化されています。

ポアソン分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ベルヌーリが分散したランダムサイズの合計は、

{displaystyle nto infty}

$nto infty$ 、

{displaystyle p_ {n}から0}

$p_{{n}}to 0$ と

{displaystyle lim limits _ {nto infty} np_ {n} = lambda> 0}

$lim limits _{{nto infty }}np_{{n}}=lambda >0″></span>パラメーターを使用したポアソン分布 <span class=$

{displaystyle lambda}

$lambda$ 。これは、合計が二項分布であり、ポアソンアプリケーションが二項分布に適用されるという事実から直接続きます。

2つのポイント分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ベルヌーイ分布は、2点分布の特別なケースです

{displaystyle a = 0、b = 1}

$a=0,b=1$ 。逆に、2点分布は、ベルヌーリ分布の任意の2要素量への一般化です。

Rademacher分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

両方のベルヌーリ分布

{displaystyle p = q = 0 {、} 5}

$p=q=0{,}5$ Rademacherの分布と同様に、公正なコインの才能（または公正なランダムなYES/NO決定）のモデリング。唯一の違いは、ヘッド（成功）と数（失敗）が異なるコード化されていることです。

幾何学的分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

実験が連続して分配された場合、待ち時間は最初の成功（または定義に応じて最終的な障害）のために幾何学的に分配されます。

離散等分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Bernoulliの分布

{displaystyle p = q = {frac {1} {2}}}

$p=q={frac {1}{2}}$ 離散等分の分布です

{displaystyle {0.1}}

${0,1}$ 。

urnenmodell [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Bernoulli分布は、urnモデルから生成することもできます。

{displaystyle p = {frac {p_ {1}} {p_ {2}}} in mathbb {q}}

$p={frac {p_{1}}{p_{2}}}in {mathbb {Q}}$ は。次に、これはurnからの1つのタイムプルに対応します

{displaystyle p_ {2}}

$p_{2}$ そのボール

{displaystyle p_ {1}}

$p_{1}$ 赤く、他の誰もが異なる色を持っています。赤いボールを引っ張る可能性は、ベルヌーリに分割されます。

シミュレーションを使用すると、それを利用してください

{displaystyle {mathcal {u}}}

${mathcal {U}}$ 着実に分割されたランダム変数

{displaystyle [0.1]}

$[0,1]$ ランダム変数です

{displayStyle and = mathbf {1} _ {{methic {{methic

$Y={mathbf {1}}_{{{{mathcal {U}}geq 1-p}}}$ Bernoulliはパラメーターで配布されています

{displaystyle p}

$p$ 。ほぼすべてのコンピューターが標準番号を生成できるため、シミュレーションは次のとおりです。

標準の数を作成します ${displaystyle u_ {i}}$
は ${displaystyle u_ {i} leq 1-p}$

これは、反転法に正確に対応します。 Bernoulliで分散したランダム変数の単純なシミュレーションを使用して、二項分布または一般化された二項分散ランダム変数をシミュレートすることもできます。

ハンス・オットー・ジョージ： Stochastics：確率理論と統計の紹介。 第4版、De Gruyter、2009、ISBN 978-3-11-021526-7。

↑ Norbert Kusolitsch：測定と確率理論。はじめに。 2番目、改訂版、拡張版。 Springer-Verlag、Berlin Heidelberg 2014、ISBN 978-3-642-45386-1、 S. 63 、doi： 10,1007/978-3-642-45387-8 。
↑ クラウスD.シュミット：測定と確率。 2番目、エディションを通じて。 Springer-Verlag、Heidelberg Dordrecht London New York 2011、ISBN 978-3-642-21025-9、 S. 254 、doi： 10,1007/978-3-642-21026-6 。
↑ ジェームズ・ビクター・ウスペンスキー： 数学的確率の紹介 、McGraw-Hill、ニューヨーク1937、45ページ

after-content-x4

after-content-x4