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数学では、 Vièteフォーミュラ 、これは、フランソワヴィエテによるフォーミュラです。これは、無限の製品として数値πを表現する

${displaystyle {frac {2}{pi }}={sqrt {tfrac {1}{2}}}cdot {sqrt {{tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}{sqrt {tfrac {1}{2}}}}}cdot {sqrt {{tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}{sqrt {{tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}{sqrt {tfrac {1}{2}}}}}}}cdot {sqrt {{tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}{sqrt {{tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}{sqrt {{tfrac {1}{2}}+{tfrac {1}{2}}{sqrt {tfrac {1}{2}}}}}}}}}cdots }$

古代で管理されている合理的なアプローチとは異なり、数値πの正確な正確な表現の最初の既知の例であるため、以前の式には特別な関連性があります。

以前の式はπの最初の分析式を提供しますが、円の正方形の問題に関連する幾何学的推論に三角法のアイデンティティを適用することで得られます

このプロセスは、半径1の輪の登録で構成されています。

${displaystyle 2^{n}}$

面積の継承が円領域への連続したアプローチである辺がπに等しいように。

と

${displaystyle a_ {n}}$

2の刻まれたポリゴンの領域です ⁿ その後、側面

${displaystyle a_ {n} = 2^{n-1} sin left（{tfrac {pi} {2^{n-1}}}}}}$

。

一方、二重角の乳房処方はそれを確立します

$}$

したがって

${displaystyle sin left（{tfrac {pi} {2^{n-1}}}右）= 2sin左（{tfrac {pi} {2^{n}}}右）$

。

両方の結果を組み合わせて、式に到達します。

${displaystyle a_ {2} = a_ {3} cos left（{tfrac {pi} {2^{2}}}右）}$

${displaystyle quad = a_ {4} cos left（{tfrac {pi} {2^{2}}}右）cos左（{tfrac {pi} {2^{3}}}右）}$

${displaystyle quad = a_ {5} cos left（{tfrac {pi} {2^{2}}}右）cos左（{tfrac {pi} {2^{3}}}右）cos左（{tfrac {pi} {2^{4}}}}}}$

${displaystyle quad = ldots}$

の値として

${displaystyle a_ {n}}$

（ポリゴンの領域）πの価値がある円の領域に近づいています、私たちは持っています

${displaystyle a_ {2} = pi left（cos left（{tfrac {pi} {2^{2}}}右）cos左（{tfrac {pi} {2^{3}}}右）cos左（{tfrac {pi} {{4^{4} {4} {{4}} {{4}} {{4}}} {4} {5}}}右）cdots右）}$

の領域

${displaystyle a_ {2}}$

それは半径1の円に登録されている正方形の領域なので、だから

${displaystyle a_ {2} = 2}$

。したがって、それは取得されます

${displaystyle {frac {2} {pi}} = cos left（{tfrac {pi} {2^{2}}}右）cos左（{tfrac {pi} {2^{3}}}右） } {2^{5}}}右）cdots}$

最後に、コサインの二重角度式は

${displaystyle cos left（{tfrac {theta} {2}}右）= {sqrt {frac {1+cos theta} {2}}} = {sqrt {{frac {1} {2}}+{frac {1} {2}}}}}}}}}}$

。

そしてように

${displaystyle {tfrac {pi} {2^{2}}} = 45^{circ}}$

満たされています

${displaystyle cos左（{tfrac {pi} {2^{2}}}右）= {sqrt {tfrac {1} {2}}}}}$

。

表現の繰り返し置換

${displaystyle {tfrac {2} {pi}}}$

テストが終了します。

ただし、以前のテストは幾何学的に直感的ですが、厳密なデモンストレーションには、無限の製品の収束を実証することが含まれます。これは、Vièteの時代には利用できなかった数学ツールであるため、Eulerが正式なテストを提供した1世紀後にはありませんでした。

参照 [ 編集します ]

外部リンク [ 編集します ]