ホワイトヘッドの補題 – ウィキペディア

Posted on June 2, 2023 by lordneo

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ホワイトヘッドの補題 、ジョン・ヘンリー・コンスタンティン・ホワイトヘッドにちなんで名付けられたものは、リング理論の数学的領域からの声明です。補題は、1回のオフでリングの上に線形グループの整流グループについて説明します。

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そうです

{displaystyle r}

$R$ 1つの要素を持つリング。次に、マトリケーターリングも、つまり量です

{displaystyle m_ {n}（r）}

$M_n(R)$

{displaystyle n}

$ntimes n$ – コンポーネントを備えたマトリジン

{displaystyle r}

$R$ 、1つの要素を持つリング。その中にいる

{displaystyle gl（n、r）}

$GL(n,R)$ 反転可能な要素のグループ、SO -CALLEDの一般的な線形グループ

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{displaystyle n}

$n$ -teの学位。イラスト

{displaystyle gl（n、r）rightarrow gl（n+1、r）、{begin {pmatrix} a_ {1,1}＆ldots＆a_ {1、n} \ vdots＆ddots＆vdots \ a_ {n、1}＆ldots＆a_ {n、n、n、n、n、n、n、bentrix} _ {1,1}＆ldots＆a_ {1、n}＆0 \ vdots＆ddots＆vdots＆vdots \ a_ {n、1}＆ldots＆a_ {n、n}＆0 \ 0＆ldots＆0＆1end {pmatrix}}}}

明らかに、それが1つの容務グループの同性愛です

{displaystyle gl（n、r）}

$GL(n,R)$ のサブグループとして

{displaystyle gl（n+1、r）}

${displaystyle GL(n+1,R)}$ 理解することができます。連合

{DisplayStyle Text Style GL（R）：= BigCup _ {nin Mathbb {n}} gl（n、r）}}

${displaystyle textstyle GL(R):=bigcup _{nin mathbb {N} }GL(n,R)}$ 呼ばれています 線形グループ 、時には 安定した線形グループ 、建設によると、それはすべての反転可能なグループです

{displaystyle infty times infty}

${displaystyle infty times infty }$ – 最後の終わりの終わりに、無限のユニットマトリックスに対応するマトリズェン。

すべてのグループで

{displaystyle gl（n、r）}

$GL(n,R)$ タイプ1の基本マトリックスが含まれている場合、それらはサブグループを作成します

{displaystyle e（n、r）}

${displaystyle E(n,R)}$ そして、上記の同性愛が可能になる可能性があります

{displaystyle e（n、r）}

${displaystyle E(n,R)}$ のサブグループとして

{displaystyle e（n+1、r）}

${displaystyle E(n+1,R)}$ 組合を再び離してください

{DisplayStyle Text Style E（R）= BigCup _ {nin Mathbb {n}} e（n、r）}}

${displaystyle textstyle E(R)=bigcup _{nin mathbb {N} }E(n,R)}$ 形状。どうやら

{displaystyle e（r）Subset gl（r）}

${displaystyle E(R)subset GL(R)}$ サブグループ。

そうです

{displaystyle r}

$R$ 1つの要素を持つリング。それから

{displaystyle e（r）= [gl（r）、gl（r）]}

${displaystyle E(R)=[GL(R),GL(R)]}$ 、それは意味します

{displaystyle e（r）}

$E(R)$ の整流団体です

{displaystyle gl（r）}

${displaystyle GL(R)}$ 。さらに、そうです

{displaystyle e（r）= [e（r）、e（r）]}

${displaystyle E(R)=[E(R),E(R)]}$ 、それは意味します

{displaystyle e（r）}

$E(R)$ 完璧なグループです。 ^[初め]^[2]

{displaystyle e（r）}

$E(R)$ 整流団体として、は通常の仕切りです

{displaystyle gl（r）}

${displaystyle GL(R)}$ 、つまり、あなたは因子グループを行うことができます

{displaystyle gl（r）/e（r）}

${displaystyle GL(R)/E(R)}$ 形状。これは代数的K理論で非常に重要であり、

{displaystyle k_ {1}（r）}

${displaystyle K_{1}(R)}$ 専用。
そこには

MM Slavetlele State _…

${displaystyle K_{1}(R)=GL(R)/E(R)=GL(R)/[GL(R),GL(R)]}$ 、は

{displaystyle k_ {1}（r）}

${displaystyle K_{1}(R)}$ のゼロ

{displaystyle gl（r）}

${displaystyle GL(R)}$ 、特に、それはアベルチェグループです。

は

{displaystyle r}

$R$ よく知られているように、1つのボディには決定剤画像があります

{displaystyle det：gl（r）rightarrow r^{*} = rsetminus {0}}}

${displaystyle det :GL(R)rightarrow R^{*}=Rsetminus {0}}$ 身体の反転可能な要素のグループで。それを示すことができます

{displaystyle e（r）}

$E(R)$ したがって、決定因子画像と決定要因の画像の正確なコアは異型です

{displaystyle k_ {1}（r）= gl（r）/e（r）rightarrow r^{*}}

${displaystyle K_{1}(R)=GL(R)/E(R)rightarrow R^{*}}$ 誘導。 ^[3]

最も単純なボディは、残りのクラスボディです

{displaystyle r = mathbb {z} /2 = {0,1}}

${displaystyle R=mathbb {Z} /2={0,1}}$ そして、上記によると

{displaystyle gl（mathbb {z} /2） /e（mathbb {z} /2）curved（mathbb {z} /2）^{*} = {1}}}}

${displaystyle GL(mathbb {Z} /2)/E(mathbb {Z} /2)cong (mathbb {Z} /2)^{*}={1}}$ 1つの要素、したがって

{displaystyle gl（mathbb {z} /2）= e（mathbb {z} /2）}

${displaystyle GL(mathbb {Z} /2)=E(mathbb {Z} /2)}$ 。そうです

{displaystyle gl（2、mathbb {z} /2）= {{begin {pmatrix} 1＆0＆1end {pmatrix}}、{begin {pmatrix} 1＆1 \ 0＆1end {pmatrix}}、 Atrix} 0＆1 \ 1＆0End {pmatrix}}、{begin {pmatrix} 1＆1 \ 1＆0End {pmatrix}}、{begin {pmatrix}}}}}}}}}}}}}}

実質的で非配在的なグループ、それがSが ₃等型でなければなりません。彼らの整流団体は、より正確に3つの要素です

{displaystyle [gl（2、mathbb {z} /2）、gl（2、mathbb {z} /2）] = {{begin {pmatrix} 1＆0 \ 0＆1end {pmatrix}}、{begin {pmatrix} 1＆1 \ 1＆1＆0end {pmatrix} end {pmatrix}}}}

しかし

{displaystyle gl（2、mathbb {z} /2）}

${displaystyle GL(2,mathbb {Z} /2)}$ 基本マトリックスによって生成されます。つまり、グレード2に適用されます

{displaystyle e（2、mathbb {z} /2）neq [gl（2、mathbb {z} /2）、gl（2、mathbb {z} /2）]}

${displaystyle E(2,mathbb {Z} /2)neq [GL(2,mathbb {Z} /2),GL(2,mathbb {Z} /2)]}$ 。この例は、ホワイトヘッドの補題が有限寸法に適用されないことを示しています。したがって、無限の次元マトリックスへの移行なしではできません。

↑ ジョナサン・ローゼンバーグ： 代数K理論とそのアプリケーション 、Springer Verlag 1994、ISBN 3-540-94248-3、文2.1.4
↑ ジョン・ミルナー： 代数K理論の紹介 、Annals of Mathematics Studies 72、プリンストン大学出版局、1971年。Abschnitt3.1
↑ ジョナサン・ローゼンバーグ： 代数K理論とそのアプリケーション 、Springer Verlag 1994、ISBN 3-540-94248-3、文2.2.2

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