コクランの文 – ウィキペディア

統計で コクランのセット 分散分析で使用されます。この文は、スコットランドの数学者ウィリアム・ジェメル・コクランにさかのぼります。

あなたは受け入れます

${displaystyle u_ {1}、dots u_ {n}、}$

確かに独立した標準正常に分布したランダム変数であり、以下が適用されます

${displaystyle sum _ {i = 1}^{n} u_ {i}^{2} = q_ {1} +cdots +q_ {k}、}$

それぞれ

${displaystyle q_ {i}}$

の線形結合の正方形の合計

${displaystyleu}$

s表現。あなたもそれを想定しています

after-content-x4

${displaystyle r_ {1} +cdots +r_ {k} = n、}$

したがって

${displaystyle r_ {i}}$

のランク

${displaystyle q_ {i}}$

は。コクランの判決は、

${displaystyle q_ {i}}$

カイ正方形のカイ正方形の分布

${displaystyle r_ {i}}$

自由の負荷。

コクランの判決は、フィッシャーの判決の逆転です。

滝

${displaystyle x_ {1}、dots x_ {n}、}$

予想値を持つ独立した正規分布のランダム変数

${displaystyle mu}$

および標準偏差

${displaystyle sigma}$

その後

${displaystyle u_ {i} =（x_ {i} -mu）/sigma;}$

それぞれの通常は標準です

${displaystyle i}$

。

これで、以下を書くことができます

${displaystyle sum _ {i = 1}^{n} u_ {i}^{2} = sum rimits _ {i = 1}^{n} left（{frac {x_ {i} – {anuverline {x}}} {sigma}} {2} {2} {2}+nleft） mu} {sigma}}右）^{2}}$

このアイデンティティを認識するには、両側に行かなければなりません

${displaystyle sigma}$

乗算し、次のことが適用されることに注意してください

${displaystyle sum _ {i = 1}^{n}（x_ {i} -mu）^{2} = sum _ {i = 1}^{n}（x_ {i} – {オーバーライン{x}}+{オーバーライン{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }}}}}}}}}$

拡張して表示しました

${displaystyle sum _ {i = 1}^{n}（x_ {i} – {overline {x}}）^{2}+sum _ {i = 1}^{n}（{overline {x}} – mu）^{2}+2umum _ {i = 1 {i {x} {n} {n} {n} {n} {n} }}）（{overline {x}} – mu）。}$

3番目の用語は係数であるためゼロです

${displaystyle sum _ {i = 1}^{n}（{overline {x}} -x_ {i}）= 0}$

ISであり、2番目の用語はのみ構成されています

${displaystyle n}$

まとめられた同一の用語。

上記の結果を組み合わせてから分割する場合

${displaystyle sigma ^{2}}$

、それからあなたは取得します：

${displaystyle sum _ {i = 1}^{n}左（{frac {x_ {i} -mu} {sigma}}右）^{2} = sum _ {i = 1}^{n} left（{frac {x_ {i} – {x}}}}}} {x}}}} nleft（{frac {{overline {x}} – mu} {sigma}} right）^{2} = q_ {1}+q_ {2}。}}$

今がランクです

${displaystyle q_ {2}}$

わずか1（これは、通常分布している標準のランダム変数の線形組み合わせの正方形です）。のランク

${displaystyle q_ {1}}$

に等しい

${displaystyle n-1}$

、したがって、コクランの文の条件が満たされます。

コクランの判決はそれを言います

${displaystyle q_ {1}}$

と

${displaystyle q_ {2}}$

カイスクエア分布で独立しています

${displaystyle n-1}$

と

${displaystyle1}$

自由度。

これは、平均と分散が独立していることを示しています。さらに適用されます

${displaystyle（{overline {x}} – mu）^{2} sim {frac {sigma^{2}} {n}} chi _ {1}^{2}。}}$

母集団の未知の分散に

${displaystyle sigma ^{2}}$

感謝するために、頻繁に使用される推定器が使用されます

${displaystyle {hat {sigma}}^{2} = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1}^{n}左（x_ {i} – {overline {x}} right）^{2}。}。}。$

コクランの文章はそれを示しています

${displaystyle {hat {sigma}}^{2} sim {frac {sigma^{2}} {n}} chi _ {n-1}^{2}、}$

の期待値を示しているもの

${displaystyle {hat {sigma}}^{2}}$

平

${displaystyle sigma ^{2} {frac {n-1} {n}}}}$

は。

両方の分布は、真であるが未知の分散に比例します

${displaystyle sigma ^{2}}$

したがって、彼らの関係は独立しています

${displaystyle sigma ^{2}}$

、そして彼らは独立しているので、あなたは得る

${displayStyle {frac {left（{overline {x}} – mu右）^{2}} {{frac {1} {n}} sum _ {i = 1}^{n}$

、

したがって

${displaystyle f_ {1、n}}$

f分布

${displaystyle1}$

と

${displaystyle n}$

自由度を描写します（Studensche t分布も参照）。

• コクラン、W。G。： 通常のシステムでの二次形式の分布、共分散分析への適用 。ケンブリッジ哲学協会の数学的議事録30（2）：178–191、1934。
• バパット、R。B。： 線形代数および線形モデル 。第2版​​（1990）。スプリンガー。 ISBN 978-0-387-98871-9