比較（数字） – ウィキペディア

数学では、自然、全体、合理的、または実数のような特定の数領域からの数値から 比較 。比較サインは数学的な式で使用されます。 1つは書いています：

これらのそれぞれの比較を通じて、それらの数の範囲は注文構造を受け取ります。数字の平等または不平等は、この順序とは独立して見ることができます。これは、アイデンティティと平等を参照してください。

リストされている4つの比較は独立した関係ではありません。それらのそれぞれは他のいずれかで表現できますので、の異なる比較にもかかわらず正当化されます 自然、本物などの順序。たとえば、他の比較は、関係によって次のように使用できます

${displaystyle <}$

表現するために：

平等と不平等は、4つの比較のそれぞれによって明確に定義されていますが、比較は平等または不平等のみで表現することはできません。たとえば、以下が適用されます。

比較は自然数について行うことができます

${displaystyle leq}$

後継関数によって

${displaystyle amapsto a+1}$

次のプロパティを満たす最小関係として：

または言い換えれば：

${displaystyle a}$

それよりも大きくありません

${displaystyle b}$

、 もしも

${displaystyle b}$

から

${displaystyle a}$

後継関数の使用から到達できます。

Von Neumannの自然数のモデルで

${displaystyle a$

asとして定義されています

${displaystyle ain b}$

（つまり、群衆

${displaystyle a}$

の要素です

${displaystyle b}$

） と

${displaystyle aleq b}$

終えた

${displaystyle asubseteq b}$

（d。h。、

${displaystyle a}$

の一部です

${displaystyle b}$

）。

次の定義

${displaystyle aleq b}$

可能：

合理的な数字は休憩として表すことができます。休憩を通じて2つの合理的な数字も同様です

${displaystyle textStyle {frac {a_ {0}} {a_ {1}}}}}}$

と

${displaystyleテキストスタイル{frac {b_ {0}} {b_ {1}}}}}$

与えられます（あります

${displaystyle a_ {0}、b_ {0}}$

整数と

${displaystyle a_ {1}、b_ {1}}$

ポジティブ、自然数）。それから

${displaystyle textStyle {frac {a_ {0}} {a_ {1}} leq text style {frac {b_ {0}} {b_ {1}}}}}$

によって定義されます

${displaystyle a_ {0} cdot b_ {1} leq b_ {0} cdot a_ {1}}$

。

秩序理論は、Dedekindの合理的な数のカットとして定義できます。それは

${displaystyle alpha、beta}$

、合理的な数の部分量、実数への混合

${displaystyle a、b}$

（それは意味します

${displaystyle alpha}$

また。

${displaystyleベータ}$

すべての合理的な数値の量はより少ない

${displaystyle a}$

また。

${displaystyle b}$

）、そうです

${displaystyle aleq b}$

正確にいつ

${displaystyle alpha}$

の主題

${displaystyleベータ}$

は。

実際の数字は、合理的な数字のコーシーシーケンスとして表現することもできます。なれ

${displaystyle（a_ {n}）}$

と

${displaystyle（b_ {n}）}$

実数の合理的なコーシーエピソード

${displaystyle a}$

また。

${displaystyle b}$

代表する。その後、適用されます

${displaystyle aleq b}$

正確にいつ

${displaystyle a = b}$

（すなわち、2つのコーシーエピソードの同等性）またはすべての人のために

${displaystyle nin mathbb {n}}$

最終的に多くを除いて

${displaystyle a_ {n} leq b_ {n}}}$

適用可能です。

数字の場合

${displaystyle x、y、z}$

と

${displaystyle x$

と

${displaystyle y$

常に適用されます

${displaystyle x$

。このプロパティはそうします 推移性 から

${displaystyle <}$

呼び出されました。さらに、どちらも適用されます

${displaystyle x$

また

${displaystyle y$

また

${displaystyle x = y}$

。このプロパティは、毛状突起と呼ばれます。上記の数領域でのこれらの2つの順序のプロパティに基づいて、数学の抽象的なものと、これら2つのプロパティを満たす数学的オブジェクトの関係に名前を付けます 全体的に厳格 。この意味でも

${displaystyle>}$

${displaystyle x}$

それぞれの数値から適用されます

${displaystyle x$

。非対称性も続きます：適用

${displaystyle x$

適用されます

${displaystyle y$

いいえ。

また

${displaystyle leq}$

透過率が適用されます：if

${displaystyle xleq y}$

と

${disspastyle yleq with}$

したがって、常に適用されます

${disspastyle xleqと}$

。別の特性は反射性です：任意の数

${displaystyle x}$

それぞれの数値から適用されます

${displaystyle xleq x}$

。ダイ関係

${displaystyle leq}$

反対称です：for

${displaystyle xneq y}$

同時にできません

${displaystyle xleq y}$

と

${displaystyle yleq x}$

有効です。それぞれ2つの数字のプロパティ

${displaystyle x、y}$

少なくとも

${displaystyle xleq y}$

また

${displaystyle yleq x}$

ApplyはTotalityと呼ばれます。繰り返しますが、これらのプロパティを満たすすべての関係は Totalordnung 呼び出されました。これらのプロパティは、同様に適用されます

${displaystylegeq}$

、合計順序も形成します。

自然、本物などの順序 互換性 追加で：適用されます

${displaystyle x$

そして

${displaystyle a}$

そのような数の数も適用されます

${displaystyle x+a$

。逆に、続きます

${displaystyle x+a$

また

${displaystyle x+a+（ – a）$

したがって

${displaystyle x$

。減算が定義されている場合（これは自然数の場合ではなく、たとえば全体に、合理的な数と実数）が適用されます

${displaystyle x$

正確にいつ

${displaystyle y-x> 0}$

${displaystyle x> y}$

${displaystyle y-x <0}$

。の比較

${displaystyle x}$

と

${displaystyle y}$

したがって、違いが正または負であるかどうかが決定されます。

添加剤の形成、d。 H.すべての数字のイラスト

${displaystyle x}$

人数、個数、総数

${displaystyle -x}$

対照的に、割り当てられた（幾何学的に言えば反射）は、順序と互換性がありません。むしろ、次のものが適用されます

${displaystyle x$

正確にいつ

${displaystyle -x> -y}$

${displaystyle xcdot 0 = ycdot 0}$

任意の番号の場合

${displaystyle x、y}$

。ために

${displaystyle leq}$

と

${displaystylegeq}$

したがって、少なくとも負の数の増殖との互換性に適用されます：適用されます

${displaystyle xleq y}$

そして

${displaystyle a}$

ネガティブではありませんが、適用されます

${displaystyle xcdot aleq ycdot a}$

。逆に、しかし、この不平等は必ずしも続くとは限りません

${displaystyle xleq y}$

。一方、負の数の乗算は、上記の反射として表現でき、その後に正の数の乗算が続くことができます（例：

${displaystyle xcdot（-2）= xcdot（-1）cdot 2 =（ – x）cdot 2}$

）。したがって、2つの数字に適用されます

${displaystyle x、y}$

と

${displaystyle x$

そしてネガティブ

${displaystyle a}$

不平等

${displaystyle xcdot a> ycdot a}$

${displaystyle mathbb {n}}$

最小値、数があります

${displaystyle 0}$

（いくつかの定義も

${displaystyle1}$

、ここにシンプルさがあります

${displaystyle 0}$

常に自然数に含まれています）。すべての自然数

${displaystyle x}$

後継者、つまりH.最小限の数

${displaystyle y}$

それ以上

${displaystyle x}$

は。
これは単なる数字です

${displaystyle x+1}$

。

• の順
  ${displaystyle mathbb {n}}$

  aです 控えめ 。

• 自然数は（上向き）無制限です – 最大の自然数はありません。
• 
  ${displaystyle 0}$

  唯一の自然数には前身がありません。

• 自然数は適切に注文されています。 H.自然数のすべての空白のないサブセットには最小限があります。

また、すべての数字

${displaystyle mathbb {z}}$

個別の順序を形成します。各要素にはそれらの中にあります

${displaystyle x}$

前身

${displaystyle x-1}$

そして後継者

${displaystyle x+1}$

。最大値もありませんが、最小限の要素もありません。したがって、それらはもはやよく注文されていません。

合理的な数字

${displaystyle mathbb {q}}$

個別の順序を形成しないでください：合理的な数字では、前任者や後継者がいない数字はありません。

${displaystyle x$

（少なくとも）3番目の合理的な数。

${displaystyle y：= {tfrac {x+z} {2}}、}$

と

${displaystyle x$

。これは、合理的な数字が密集した順序を形成することを意味します。

また、実数は密集した順序を形成します。追加の重要なプロパティは、Supremumプロパティまたは秩序です。限られた各サブセットには、スプラムとインフィングがあります。 H.最小の上部または最大の下部障壁。自然数は、合理的および実数においても偶発的です。つまり、少なくとも同じくらい大きいすべての実数に自然数があります。実数の順序には、数え切れないほどの直接性があります。注文はそれぞれ注文停止学を誘導します。実数の注文停止について、合理的な数は実数に近いです。

自然数は、雇用価値システムを使用して数字として表すことができます。そのような表現を使用して、2つの自然数を比較できます。つまり、シーケンスで示されている数値で示されている数値が他の数よりも小さいかどうかを計算できます。 2つの自然数です

${displaystyle a}$

と

${displaystyle b}$

ゼロをリードせずにゼロをリードせずにゼロをリードせずに雇用価値システムで与えられると、次のものが正確に適用されます

${displaystyle a$

、 もしも

• 数字のシーケンス
  ${displaystyle a}$

  それよりも短いです

  ${displaystyle b}$

  また

• どちらも同様に長く、数字のシーケンスが閉じています
  ${displaystyle a}$

  それよりも辞書的に小さい

  ${displaystyle b}$

  は。

辞書的比較は、単一桁数の比較に基づいています。自然な数字は、雇用価値システムを使用して最新のデジタルコンピューターでも示されており、どの比較が可能かに基づいています。このようなコンピューターの算術 – ロジカルユニットが直接固体サイズ、つまり主要なゼロを直接処理できる数字は、辞書編集順に応じて比較できるようにします。上記の順序の定義を使用して、任意の全体または合理的な数値からの比較も直接計算することもできます。科学表記法で合理的な数値を提示する場合、最初に指数を比較し、次に指数が両方で同じ場合、マンティスを比較することで2つの数字を比較できます。これは、特にダイアディック骨折に適用されます。これは、デジタルコンピューターでの（特にほぼ約）計算のためにしばしば使用されます。多くのプロセッサ（X86ベースなど）は、フルポイント数と浮動小数点数を比較するための独自の指示を提供しています。 ^[初め]

実数はカウント可能な量を形成するため、すべての実数を表すことができるスキームはありません。したがって、比較のための一般的な計算規制の問題は不要です。重要な基本的なアプローチは、たとえば、さらに装飾的な場所を計算することにより、合理的な数字の形で数の正確な上限と低い障壁を計算できる計算規制を通じて特定の実数を提示することです。これは、予測可能な数の概念につながります。二 違う 対応可能な数値は、2つの間隔が分離されるまで、両方の長い間、ますます正確な上部と低い障壁を計算することで比較できます（IntervalAriThmeticsを参照）。一方、この方法で示されている2つの数値の平等は予測できないため、他の比較を同じ数値で計算することはできません。たとえば、数値分析など、多くのアプリケーションでは、許容範囲、つまりH.比較は、2つの数値間の距離が固定された小さなスケールの耐性よりも大きい限り、正しく実行されます。そうしないと、数値が同じと見なされます。 ^[2] このような比較は、一般的な予測可能な数値で予測可能です。特に、重要な特別なケースでは正確な比較も可能です。代数数は、ゼロの整数係数を持つ多項式で表現でき、それぞれのゼロポイントを定義する合理的な最小値と最大値を持つ間隔が表現できます。代数的な方法では、このように示されている2つの数字が、お互いを決定することで同じかどうかを決定できるようになりました。これらは、2つのポリノームの最大の共有分割者によって決定されます。不平等が発生した場合、比較は上限と下の障壁を介して実行できます。また、計算された障壁による不平等がすでに証明されている場合、代数法案がなくても代数法案が行われます。 ^[3] 以前に証明されていないシャマヌエルの推定も適用されている場合、アルゴリズムも構築されました。これは、基本関数を含む可能性のある方程式のゼロ点として含まれる数値の比較も計算します。 ^{[4] [5]} 平方根の圧力である代数数の場合 ^[6] または、低い程度のポリノマのゼロ場所として ^{[7] [8]} 与えられますが、比較には特別な手順があります。

正確な比較のためのこのような方法は、コンピューター代数システムとアルゴリズムジオメトリで使用されます。

自然数では、順序を使用できます

${displaystyle 0}$

最小要素として。したがって、後継関数の定義、つまりすべての数の後継者が可能です。後継の関数を使用して、加算や乗算などの算術操作も再帰的に定義できます。対照的に、全体として、合理的および実数は順序の要素ではないため、算術演算（常にそうです。

${displaystyle 0}$

追加の中立要素として、秩序によって定義されません。

ただし、逆に、算術による順序は、これらすべてのケースで定義できます。自然数の場合、基本的な定義は追加のみを使用する可能性があります（つまり、Presburger Arithmetics）：それは正確に適用されます。

${displaystyle xleq y}$

、a

${displaystyle ain mathbb {n}}$

で存在しました

${displaystyle x+a = y}$

。全体として、合理的および実数、明確な定義は追加だけでは不可能ではありません。

${displaystyle xmapsto -x}$

それぞれの数領域では、グループの自動化がそれぞれの添加剤グループにありますが、これは順序と互換性がありません。 ^[9] 乗算の使用、つまりH.対照的に、それぞれのリング構造では、順序の基本的な定義も可能です。これは、実数で、より一般的にはすべてのユークリッド体で特に簡単です。非陰性の数は、平方根があるという事実によって特徴付けられるためです。これは、次の定義を提供します。

${displaystyle xleq y：leftrightarrowが存在するa：x+acdot a = y}$

整数では、4四分の1のレートを使用して対応する定義が可能です。4つの平方数の合計として表すことができる場合、整数は否定的ではありません。これにより、定義が提供されます

${displaystyle xleq y：leftrightarrowはa、b、c、d：x+acdot a+bcdot b+ccdot c+dcdot d = y}$

、

これは、合理的な数値に転送できます（4つの平方数の2つの合計の商の商の場合、合理的な数値は負ではありません）。 ^[十]

• 実際の数字は、高コロラミの数字に拡張できます。これは、加算と乗算と互換性のある順序もありますが、他の順序理論特性もあります。
• 自然数は、枢機inal数と、まだ適切に順序付けられている順序数に拡張できます。
• シュールな数字は別の数字の範囲を形成します。

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5. ↑ ダニエル・リチャードソン、ジョン・フィッチ： 基本機能と定数のアイデンティティの問題 。の： シンボリックおよび代数計算に関する国際シンポジウムの議事録 。 ACM、1994、 S. 285–290 、doi： 10.1145/190347.190429 。
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10. ↑ Yiannis Nicholas Moschovakis： ロジックノート 。 2012、 S. 21 （ オンライン [PDF; 1.3 MB ; 2012年9月6日にアクセス]）。