Hecke-Operator – ウィキペディア

数学ではあなたが理解しています Heckeオペレーター モジュール全体のベクトルルームにある特定の線形演算子は形成されます。これらのオペレーターは、Erich Hecke 1937によって導入されました ^[初め] 。特定のモジュール形式は、すべてのリアオペレーターにとって同時に自己能力であるため、これらの機能のフーリエ係数の特性について結論を引き出すことができるという事実によって重要性が与えられています。これらのモジュールフォームもそうです セルフシェイプ 呼び出されました。

Heckeオペレーターは代数を形成します。これはHecke代数と呼ばれます（この名前は、数学のさまざまな分野の他のアルバムにも使用されます。これは、部分的に削除され、定義から直接ない親relativeを持っていません）。

そうです

${displaystyle m_ {k}}$

全体のベクトル領域 ^[2] モジュールグループの下での重量Kのモジュール形状

${displaystyle gamma = sl_ {2}（mathbb {z}）}$

変身。

リアオペレーターは線形図です

${displaystyle t_ {n}：m_ {k} rightarrow m_ {k}、nin mathbb {n}、}$

after-content-x4

$MMS salles（rele（reo trif）（sanoo）kalal matemötoemmémméのような誤動症のマルメイトマルムマルムムーミーエン$

ある

${displaystyle tau}$

上半分レベルから（

${displaystyle operatorname {im} tau> 0}$

${displaystyle（t_ {p} f）（tau）= p^{k-1} f（ptau） +{frac {1} {p} {p} {b = 0}^{p-1} flft（{frac {tau +b} {p}} right）。}}}$

同等の定義は、リアオペレーターの要素に対する一種の中間形成としての効果を説明しています

${displaystyle left（{begin {smallmatrix} a＆b \ c＆dend {smallmatrix}}右）}$

整数2×2マトリックスの一般的な線形グループ

${displaystyle m_ {m}}$

（決定要因M）モジュロそこでモジュールグループ

${displaystyleガンマ}$

（平

${displaystyle m_ {1}}$

、決定要因1）：

${displaystyle t_ {m} f（tau）= m^{k-1} sum _ {左（{begin {smallmatrix} a＆b \ c＆dend {smallmatrix}}右）ingma backslash m_ {m}}（c、tau +d）^{k} filef {{{{{ }}右）、}$

度kのモジュールフォームを使用します

${displaystyle f（z）}$

。法定代理人システムを介した合計に気付いた場合、これから以前の定義が現れます

${displaystyleガンマバックスラッシュm_ {m}}$

実行され、これは完全な2×2マトリックスによって与えられます

${displaystyle left（{begin {smallmatrix} a＆b \ c＆dend {smallmatrix}}右）}$

決定要因を使用

${displaystyle ad = m}$

、

${displaystyle d> 0}$

${displaystyle c = 0}$

と

${displaystyle b}$

、モジュロ

${displaystyle d}$

定義されています。法定代理人システムの要素の数は、除数の合計に等しくなります

${displaystyle d}$

から

${displaystyle m}$

。法定代理人システムは、の効果の法的乗算が

${displaystyleガンマ}$

の

${displaystyle m_ {m}}$

表示（で

${displaystyleガンマm_ {m} = m_ {m}}$

）。

リアオペレーターのさらに一般的な定義

${displaystylet_ {n}}$

たとえば、Serreでは 算術のコース 与えられ、モジュール関数と複雑なレベルのグリッドとの接続を使用し、ランクnのグリルの合計として上記の上記の定義に基づいています ^[3] 。 HECKE演算子は、グリッドがより低いグリッドに転送されるときに、モジュール形式の空間（特定のグリッドに割り当てられます）の空間の図です。

Heckeオペレーターが一緒にコミットし、以下が適用されます

${displaystyle t_ {m}、t_ {n} = t_ {mn}}$

MとNの最大の共有分割者が1である場合（

${displaystyleggt（m、n）= 1}$

）。この場合、Heck演算子は乗法機能です。

後部演算子フォーム

${displaystyle m_ {k}}$

それ自体、d。 H.

${displaystyle t_ {n} f}$

再び重量Kのモジュール全体の形式です。特に、レースの形を形成します。 H.ゼロポイントのモジュール形状

${displaystyle tau = infty}$

再び上部のフォームに（以下がゼロフーリエ係数に適用されます

${displaystyle alpha _ {f}（0）= 0}$

）。

${displaystyle fin m_ {k}}$

フーリエの発達があります

${displaystyle f（tau）= sum limits _ {m = 0}^{infty} alpha _ {f}（m）e^{2pi imtau}}}$

。それから持っています

${displaystyle t_ {n} f}$

フーリエの発達

$MMS Slepent（LELE（REO）（Arit＆＆MéMpieMépMHork 2 May MMO）Mudeate Ymuovade almubate ymugu lames。$

と

${displaystyle gamma _ {n}（m）= sum limits _ {d> 0、d |（n、m）} d^{k-1} alpha _ {f}左（{frac {mn} {d^{2}}}右）。}}$

${displaystyle lambda _ {f}（n）=左。{frac {alpha _ {f}（n）} {alpha _ {f}（1）}}右。}}$

。

そしてそれは適用されます：

${displaystyle t_ {m} f = lambda _ {m} f、quad lambda _ {m} lambda _ {n} = sum _ {d> 0、d |（m、n）} d^{k-1} lambda _ {mn/d^{2} {2}}、m、ngeq 1.}$

${displaystyle lambda _ {1} = 1}$

。これは、Hecke自身の形状の場合、フーリエ係数が後部演算子の固有値として与えられ、したがって後部演算子によって明確に定義されていることを意味します。このようなHecke自身のフォームが存在します。なぜなら、後部演算子がお互いにコミットしているからです。

ピーク形状のベクトルルーム（ピーターソンスケール製品の上でヒルバートルームを作ることができます）には、オペレーターの同時自己機能からの基礎があります。

${displaystylet_ {n}}$

たとえば、識別を選択します

${displaystyledelta}$

、重量の唯一のトップシェイプ12：

${displaystyle t_ {n} delta = tau（n）cdot delta}$

すべてのために

${displaystyle nin mathbb {n}}$

フーリエ係数の場合

${displaystyle tau（n）}$

、ラマヌジャンタウ関数が適用されます。

${displaystyle tau（m）tau（n）= sum rimits _ {d |（m、n）} d^{11} tau left（{frac {mn} {d^{2}}}右）。}}$

したがって、特に外国のmについては、nはそうです

${displaystyle tau（m）tau（n）= tau（mn）}$

、d。 H.数の理論的関数

${displaystyle tau（n）}$

乗法です。

すべてのリアオペレーターにとって同時の自己形式である唯一の非トップフォームは、鉄の石の正規化された列です

${displaystyle f（tau）= left。{frac {（2k-1）！} {2（2pi i）^{2k}}} g_ {2k}（tau）right ..}}$

鉄の石の列のフーリエ係数の場合、部分関数の重要な部分として

${displaystyle sigma _ {k}}$

持っている、次のようにしてください：

${displaystyle sigma _ {2k-1}（n）sigma _ {2k-1}（m）= sum rimits _ {d |（m、n）} d^{2k-1} sigma _ {2k-1}$

そして、外国のm、nの場合、これは再び減少します

${displaystyle sigma _ {2k-1}（n）sigma _ {2k-1}（m）= sigma _ {2k-1}（mn）}$

、d。 H.また、数の理論的関数

${displaystyle sigma _ {2k-1}}$

乗法です。

Heckeオペレーターは、数理論に他の多くのアプリケーションを持っています。アイヒラー・セルバーグ・スパールのフォーミュラ（マーティン・アイヒラー、アトル・セルバーグによると）。これにより、トレイルが意味するトップ形式の空間におけるリアオペレーターの効果の合計がアイヒラーとセルバーグによって使用され、否定的な識別のバイナリ形式のハーウィッツクラスの数との関係を導き出すために使用されました。アドルフ・ハーウィッツは1885年にこのような数のクラスを最初に示したので、彼らは彼にちなんで名付けられました。 Hecke-Ownフォームは、Serreの推定において中心的な役割も果たしています。

ピークフォームの空間は、ピーターソンスケール製品に関して補助的な夢（基礎としてオルソーマルシステムを備えています）であり、リアオペレーターの同時自己形式の基礎を見つけることがしばしば役立ちますが、これはモジュール形式のすべての部屋では不可能です（モジュール形式は、完全なモジュールグループと考えられています）。 A. O. L. AtkinとJoseph Lehnerは、1970年にモジュール形式のために開発されました

${displaystyleガンマ_ {0}（n）}$

（後に他の変換グループにも拡張されました）、さまざまな段階で部屋を同時に検討することにより、いわゆる新しいフォーム（新しいフォーム、原始形式）の部分空間を達成する方法（Atkin-Lehner-Theory） ^[4] 。これらの新しい形式では、直交形式は古い形式（古い形式）と呼ばれます。

たとえば、モジュールグループの一致サブグループが考慮されます。

${displaystyle gamma _ {0}（n）= left {{begin {pmatrix} a＆b \ c＆dend {pmatrix}} in {text {sl}}（2、mathbf {z}）：cequiv 0 {pmod {n}}右}}}}$

また、いつ発生するネストされたサブグループ

${displaystyleガンマ_ {0}（m）}$

考慮される、したがって

${displaystyle m}$

の仕切り

${displaystyle n = mcdot h}$

は。トップシェイプのスペースも

${displaystyleガンマ_ {0}（m）}$

次に、のレースの形の空間のサブスペースです

${displaystyleガンマ_ {0}（n）}$

インクルージョン画像で： ^[5]

${displaystyle s_ {k}（gamma _ {0}（m））times s_ {k}（gamma _ {0}（m））to s_ {k}（gamma _ {0}（n）,, colon ,,（f（z）、g（z））からf（z）+g（z^{h}）}$

古い形式として、レベルnのすべてのモジュラー形式が参照されます。これは、レベルのモジュール形式からこの包含画像によって作成されます。

${displaystyle {frac {n} {p}}}$

すべての素数がn部品を通過した場合、発生します。新しいフォームは、ピーターソンスケール製品に関する直交補体です。これらは、プリミティブモジュールフォームとも呼ばれることもあります。

関連するレース形式（特定のタイプのセカンダリタイプと重量）のHilbertraum（ピーターソンスカラー製品を内製品として）では、後部演算子は

${displaystylet_ {p}}$

もちろん、レベルnを共有しないpの場合。これは、特に新しいフォームに適用されます。新しいフォームは、これらのリアオペレーター（および古いフォーム）の操作にも表示されます。したがって、新しいフォームのエリアのすべてのリアオペレーターと同時に自己形のピーターソンスケール製品に関して、直交基盤を形成できます。古いフォームが多すぎる場合、これはモジュールフォームの全体のスペースに拡張できません。 n = 1の場合、プライムナンバーディストリビューターはありません。また、古いフォームはありません。したがって、部屋全体の同時自己形成の基礎があります。 k = 2の場合、完全なモジュールグループ（n = 1）には非フェードトップフォームはなく、したがってn = pのみ、新しいフォームのみであるため、部屋全体の基礎の存在も保証されます。

モジュールフォームとディリクレシリーズの接続（Hecke Lシリーズ） [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle f（z）}$

重量2 kのモジュール形式（で

${displaystyle k> 0}$

${displaystyle a（n）}$

：

$m sovet yleles — ue）tí1はpifeo）mym hym hork hjoy hjoy hjoys$

すべてのリアオペレーターの社内機能

${displaystylet_ {n}}$

は （

${displaystyle ngeq 1}$

）：

${displaystyle t_ {n} f（z）= lambda（n）t（n）}$

あなたはそれらを取得することができます

${displaystyle a（1）= 1}$

正規化してそれを示します

${displaystyle a（n）= lambda（n）}$

ために

${displaystyle n> 1}$

[6]

リアオペレーターと同じ特異性を持つ2つの正規化されたモジュール関数は同一です。フーリエ係数の場合

${displaystyle a（n）}$

該当する：

${displaystyle a（n）、a（m）= a（n、m）}$

falls ggt（n、m）= 1。

${displaystyle a（p）、a（p^{m}）= a（p^{m+1}）+p^{2k-1}、a（p^{m-1}）}$

（PrimePの場合）

フーリエ係数はリアオペレーターと同じアイデンティティを満たしているためです。

Heckeは、モジュールフォームのフーリエ係数を使用すると、Lシリーズ（Dirichlertシリーズ）を形成できることを認識しました。

${displaystyle l_ {f}（s）= sum _ {n = 1}^{infty} {frac {a（n）} {n^{s}}}}}}$

複雑な数字で

${displaystyleS}$

、彼女は絶対に収束します

${displaystyleRe（s）> 2k}$

${displaystyle l_ {f}（s）= prod _ {p {rm {prim}}} {frac {1} {1-a（p）、p^{ – s}+p^{2k-1-2s}}}}}}$

これは、上記のフーリエ係数の上記の製品式から続きます（そして、オイラー製品式の係数式の式からもその逆も同様です）。

ガンマ関数で形成された関数

${displaystyle x_ {f}（s）= {frac {1} {{（2pi）}^{s}}} gamma（s）l_ {f}（s）}$

機能的方程式を満たします：

${displaystyle x_ {f}（s）= {（-1）}^{k}、x_ {f}（2k-s）}$

証拠として、モジュール形式の動作は反転に使用されます

${displaystyle f（ – {frac {1} {z}}）= z^{2k} f（z）}$

モジュール形式のメリン変換。

Heckeは、上記の機能方程式とオイラー製品の開発を備えたすべての直接線が、いくつかの規則性と成長条件を満たすことを、重量2Kのモジュール形式から導き出すことができることを証明しました。さらに、このモジュールの形状は、上記のオイラー製品式を満たしている場合、リアオペレーターの同時関数です。

モジュールフォームとダイレクトシリーズ間の接続は、Hecke対応も意味します。 Hecke Lシリーズと名付けられた場合、Dirichlet-Lシリーズと同様に、Dirichlet Characters（Heckeによるとサイズの文字）の一般化で形成される他のヘッジレズもあることに注意する必要があります。

• T.M.アポストール、 数字理論のモジュラー関数とディリクレシリーズ 、Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1990、ISBN 3-540-97127-0
• M. Koecher、A。Krieg、 楕円機能とモジュール形式 、Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998、ISBN 3-540-63744-3
• J.-P. Serre： 算術のコース 、Springer 1973
• L. J. P.キルフォード：モジュラーフォーム、古典的および計算紹介、インペリアルカレッジプレス、ロンドン2008

1. ↑ Hecke「モジュールの機能とDirichletscheがEulersch製品開発にランク付けされている」 、Math.Annalen、バンド114、1937、s。1-28
2. ↑ 上半分レベルのホロモルフェン
3. ↑ Serre、算術のコース、Springer、S。98
4. ↑ Atkin、J。Lehner：Heckeオペレーター
   ${displaystyleガンマ_ {0}（m）}$

   、数学の年代記、第185巻、1970、pp。134–160、 PDF

5. ↑ キルフォード、モジュラーフォーム、S。81
6. ↑ Serre、算術のコース、Springer 1973、S。102