確率 – 生成関数-Wikipedia

一 確率 – 生成関数 、短い 生成機能 ^[初め] また 生成機能 ^[2] と呼ばれると、確率で理論は特別な実際の機能です。自然数への離散確率分布と、自然数に値を持つランダム変数は、確率を生成する機能に割り当てることができます。逆に、ランダム変数の確率分布または分布は、すべての確率生成関数から明確に再構築することもできます。

この明確な割り当てに基づいて、ランダム変数の分布と操作の特定のプロパティを関数のプロパティと操作に転送できるように、生成機能を生成することができます。たとえば、確率の生成関数の導出と、ランダム変数の分散、その他のモーメントの派生との間には関係があります。同様に、確かに独立したランダム変数の添加または確率分布の折り畳みは、対応する確率 – 生成関数の乗算に対応します。この重要な操作の簡素化により、たとえば、BienayméGaltonWatsonプロセスなどの複雑な確率的オブジェクトを調査することができます。

確率 – 生成関数は、一方では確率分布によって、他方ではランダム変数の分布によって、2つの方法で指定できます。両方の種は、すべての確率分布がランダム変数の分布として理解できるという意味で同等であり、ランダム変数のすべての分布が再び確率分布であるということです。どちらの定義でも

${displaystyle 0^{0}：= 1}$

設定。と

${displaystyle mathbb {n} _ {0}}$

0を含む自然数の量が呼び出されます。

確率分布用 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

は

${displaystyle p}$

オンの確率分布

${displaystyle（mathbb {n} _ {0}、{mathcal {p}}（mathbb {n} _ {0}）}$

確率関数

${displaystyle f_ {p}（k）= p（{k}）}$

、それが関数の名前です

${displaystyle m_ {p}コロン[0,1]から[0,1]}$

によって定義されます

${displaystyle m_ {p}（t）= sum _ {k = 0}^{infty} f_ {p}（k）t^{k}}$

の確率 – 生成関数

${displaystyle p}$

またはから

${displaystyle f_ {p}}$

。 ^[3]

ランダム変数の場合 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ランダム変数の場合

${displaystyle x}$

値があります

${displaystyle mathbb {n} _ {0}}$

確率 – 生成関数です

${displaystyle m_ {x}コロン[0,1]から[0,1]}$

から

${displaystyle x}$

またはから

${displaystyle p_ {x}}$

asとして定義されています

${displaystyle m_ {x}（t）：= m_ {pcirc x^{ – 1}}（t）= sum _ {k = 0}^{infty} t^{k} p [x = k]}$

。 ^[4]

したがって、ランダム変数の確率 – 生成関数は、その分布の確率 – 生成関数です。あるいは、ランダム変数の確率を生成する関数は、期待値としての期待値を使用して定義することもできます。

${displaystyle m_ {x}（t）：= operatorname {e}左[t^{x}右]}$

。 ^[4]

Bernoulliにはランダム変数が分布しています

${displaystyle x}$

、 また

${displaystyle xsim operatorname {ber}（p）}$

。それから

${displaystyle P（x = 0）= 1-p}$

と

${displaystyle p（x = 1）= p}$

。正式には、要約します

${displaystyle x}$

全体に値を持つランダム変数として

${displaystyle mathbb {n} _ {0}}$

オンとセット

${displaystyle p（x = n）= 0}$

ために

${displaystyle ngeq 2}$

。それから

${displaystyle m_ {x}（t）= sum _ {k = 0}^{infty} t^{k} p [x = k] = 1-p+pt}$

ランダム変数です

${displaystyle y}$

パラメーターで分布した二項

${displaystyle n}$

と

${displaystyle p}$

、 また

${displaystyle ysim operatorname {bin} _ {n、p}}$

そうです

${displaystyle kleq n}$

${displaystyle p（x = k）= {binom {n} {k}} p^{k}（1-p）^{n-k}}$

と

${displaystyle p（x = k）= 0}$

ために

${displaystyle k> n}$

$mm Slavetle State StateyStateótState— Happ）MumMóeMKome Hyom Hym 1 – Opup）11-5）Mup）Mupe）Mupe hupm hupm hupm 12-22-2$

。

これは、ビノミアン教育率を使用して続きます。

関数としてのプロパティ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

確率 – 生成関数はパワーシリーズであり、少なくとも1の収束半径を持っています、それはすべての人のために収束します

${displaystyletin [0,1]}$

。これは、効力シリーズのすべての係数が正であり、1になるという事実から続きます。次に続きます

${displaystyle sum _ {k = 0}^{infty}左| t^{k} p [x = k]右| leq 1}$

ために

${displaystyletin [-1,1]}$

。このように、検査された間隔継承の確率 – 生成関数は

${displaystyle [0.1]}$

効力シリーズのすべてのプロパティ：それらは安定しており、間隔で

${displaystyle [0.1）}$

無限に区別されます。

それぞれのモノマ以来

${displaystyle x^{k}}$

凸状と単調性が成長しており、これらの特性は円錐形の組み合わせの観点から完了し、凸と単調性の確率を生成する機能も成長しています。

可逆性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

確率 – 生成関数は、の分布を決定します

${displaystyle x}$

明らかに：

それは

${displaystyle x}$

と

${displaystyle y}$

${displaystyle mathbb {n} _ {0}}$

-でランダム変数を歩いています

${displaystyle m_ {x}（t）= m_ {y}（t）}$

すべてのために

${displaystyletin [0、c]}$

とともに

${displaystyle c> 0}$

${displaystyle p [x = k] = p [y = k]}$

すべてのために

${displaystyle kin mathbb {n} _ {0}}$

。

テイラーフォーミュラの後、それはすべての人に適用されます

${displaystyle kin mathbb {n} _ {0}}$

${displaysStyle p [x = k] = {dfrac {m_ {x} {9（0）} {m_ {m_illerial$

。

この接続はそれを示しています

${displaystyle m_ {x}}$

確率

${displaystyle p [x = k]}$

「作成」と確率関数は、確率生成関数から再構築できます。

ランダム変数の折りたたみと合計 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

それは

${displaystyle x}$

と

${displaystyle y}$

独立

${displaystyle mathbb {n} _ {0}}$

– 価値のあるランダム変数は、確率に適用される – の生成関数

${displaystyle x+y}$

${displaystyle m_ {x+y}（t）= operatorname {e}（t^{x+y}）= operatorname {e}（t^{x} cdot t^{y}）= operatorname {e}（t^{x}）cdot operatorname {e}（y}（t^{x}（t^}） y}（t）}$

、

と

${displaystyle x}$

と

${displaystyle y}$

そうです

${displaystylet^{x}}$

と

${displaystylet^{y}}$

独立。
これは、独立したランダム変数の有限合計に直接一般化できます：

${displaystyle x_ {1}、ldots、x_ {n}}$

独立

${displaystyle mathbb {n} _ {0}}$

– ランダム変数を歩いてから適用します

${displaystyle s_ {n} = sum _ {i = 1}^{n} x_ {i}}$

${displaystyle m_ {s_ {n}}（t）= prod _ {i = 1}^{n} m_ {x_ {i}}（t）}}$

。

次に、折り畳みの確率 – 生成関数のために直接続きます

${displaystyle p*q}$

確率寸法

${displaystyle P、Q}$

${displaystyle m_ {p*q}（t）= m_ {p}（t）m_ {q}（t）}$

。

例

なれ

${displaystyle x_ {1}、x_ {2}}$

独立した、Bernoulliに分配されたランダム変数が同じパラメーターに

${displaystyle p}$

。次に、ランダム変数の合計は、パラメーターに分布する二項であることが知られています

${displaystyle 2}$

と

${displaystyle p}$

、 また

${displaystyle x_ {1}+x_ {2} sim operatorname {bin} _ {2、p}}$

。セクションのセクションで導出されているベルヌーイ分布と二項分布の確率生成関数を使用します。

${displaystyle m_ {x_ {1}}（t）cdot m_ {x2}（t）=（1-p+pt）^{2} = m_ {operatorname {bin} _ {2、p}}（t）= m_ {x_ {1}+x_ {2}}（t）}$

。

瞬間的な世代 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

のために

${displaystyle mathbb {n} _ {0}}$

– ランダム変数

${displaystyle x}$

と

${displaystyle kin mathbb {n} _ {0}}$

は

${displaystyle operatorname {e} left [{binom {x} {k}}右] = {dfrac {lim _ {tuparrow 1} m_ {x}^{（k）}（t）} {k！}}}}}$

また

${displaystyle operatorname {e}左[x（x-1）ドット（x-k+1）右] = lim _ {tuparrow 1} m_ {x}^{（k）}（t）}$

。

2つの方程式の両側が最終的にいつです

${displaystyle operatorname {e}左[x^{k}右]}$

ついに。

特に、期待値と

${displaystyle mathbb {n} _ {0}}$

– ランダム変数の装着は、確率から生成機能から決定します。

${displaystyle operatorname {e} left [xright] = lim _ {tuparrow 1} m_ {x} ‘（t）}$

、

${displaystyle operatorname {var} left [xright] = operatorname {e}左[x（x-1）右]+operatorname {e} left [xright] -operatorname {e}左[x^{2} = lim _ {tuparrow 1} ‘（t）^{2}右）}$

。

収束半径の端にある増強列の分化は必ずしも与え​​られないため、左翼の制限を考慮する必要があります。

例

多分

${displaystyle x}$

二項分布ランダム変数、すなわち

${displaystyle xsim operatorname {bin} _ {n、p}}$

。それから

${displaystyle m_ {x}（t）=（pt+1-p）^{n}、quad m ‘_ {x}（t）= np（pt+1-p）^{n-1} {text {und}} m’ ‘_ {x}（t）= n（n-1）p^{2}（pt+1-p+}（n-1}（n-1）$

両方の誘導体はポリノムであるため、簡単に可能です

${displaystylet = 1}$

評価するには、左の制限を考慮する必要はありません。そうです

${displaystyle m ‘_ {x}（1）= np {text {und}} m’ ‘_ {x}（1）= n（n-1）p^{2}}$

。

これには、上記の結果が続きます

${displaystyle operatorname {e}（x）= m ‘_ {x}（1）= np、quad operatorname {var}（x）= m_ {x}’ ‘（1）+m_ {x}’（1）-m_ {x} ‘（1）^{2} = np（1-p）}$

。

ランダム変数の線形変換 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ランダム変数の線形変換は、確率 – 生成関数に次のようにあります。

${displaystyle m_ {ax+b}（t）= t^{b} m_ {x}（t^{a}）}$

。

例

は

${displaystyle x}$

Bernoulliに分布したランダム変数、つまり

${displaystyle xsim operatorname {ber}（p）}$

そうです

${displaystyle a、bin mathbb {n}}}$

ランダム変数

${displaystyle y = ax+b}$

2つのポイント分散

${displaystyle {b、a+b}}$

。確率 – 生成関数は次のとおりです

${displaystyle m_ {y}（t）= m_ {ax+b}（t）= t^{b} m_ {x}（t^{a}）= t^{b} cdot（1-p+pt^{a}）=（1-p）t^{b}+pt^{a+b}}}$

。

収束 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

確率生成関数の収束は、分布の収束に直接関連することができます。

それは

${displaystyle x、x_ {1}、x_ {2}、x_ {3}、dots}$

関連する確率を持つランダム変数 – 生成関数

${displayStyle M、M_ {1}、M_ {2}、M_ {3}、ドット}$

、それが彼らが収束する方法です

${displaystyle x_ {n}}$

正確に分布する

${displaystyle x}$

確率 – 生成関数の場合

${displaystyle m_ {n}}$

すべてのために

${displaystyletin [0、varepsilon）}$

とともに

${displaystyle varepsilon in（0,1）}$

反対ポイント

${displaystyle m}$

収束します。 ^[5]

ステートメントは、確率分布の生成関数と弱い収束にも適用されます。

確率 – ランダム合計の生成関数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

確率 – 生成関数を使用すると、乱数のsummandで簡単に計算できます。それは

${displaystyle（x_ {i}）_ {iin mathbb {n}}}}}$

値を持つ独立して同一に分布したランダム変数

${displaystyle mathbb {n} _ {0}}$

と

${displaystylet}$

もう1つ、みんなから

${displaystyle x_ {i}}$

同じ値範囲の独立したランダム変数。次に、ランダム変数があります

${displaystyle z = sum _ {i = 1}^{t} x_ {i}}$

確率 – 生成関数

${displaystyle m_ {z}（t）= m_ {t}（m_ {x_ {1}}（t）}}$

。

このプロパティは、たとえば、Galton Watsonプロセスを分析するときに使用されます。期待値を計算するための上記のルールによれば、チェーンルールは適用されます

${displaystyle operatorname {e}（z）= operatorname {e}（t）cdot operatorname {e}（x_ {1}）}$

、

森の式が対応するもの。

その後、分散が適用されます

${displaystyle operatorname {var}（z）= operatorname {var}（t）operatorname {e}（x_ {1}）^{2}+operatorname {e}（t）operatorname {var}（x_ {1}）}}}（t）$

。

これはまさにBlackwell Girshick方程式です。また、分散と製品ルールを決定するための上記のルールにも従います。

は

${displaystyle x =（x_ {1}、dots、x_ {k}）}$

a

${displaystyle k}$

– 値を持つ次元ランダムベクトル

${displaystyle mathbb {n} _ {0}^{k}}$

、したがって、確率 – 生成関数

${displaystyle x}$

asとして定義されています

${displaystyle m_ {x}（t）：= m_ {x}（t_ {1}、dots、t_ {k}）= operatorname {e} left（prod _ {i = 1}^{k} t_ {i}^{x_ {i}} red） ^{infty} f_ {p}（x_ {1}、ldots、x_ {k}）t_ {1}^{x_ {1}} dots t_ {k}^{x_ {k}}}}}$

と

${displaystyle f_ {p}（x_ {1}、ldots、x_ {k}）= p（x_ {1} = x_ {1}、dotsc、x_ {k} = x_ {k}）}$

。

期待値、分散、共分散 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

1次元の場合に類似しています

${displaystyle operatorname {e}（x_ {i}）= {frac {partial m_ {x}} {partial t_ {i}}}}}}}}}}}} Quad forall iin {1、dots、k}}}$

としても

${displaystyle operatorname {var}（x_ {i}）= {frac {partial ^{2} m_ {x}} {{partial t_ {i}} ^{2}}}}}（（1、dots、1）+{frac {frac {x} {x} {x} {patial tial tial tial tial tial tial tial tial tial tial m_ （1- {frac {partial m_ {x}} {partial t_ {i}}（1、dots、1）right）quad forall iin {1、dots、k}}$

と

${displaystyle operatorname {cov}（x_ {i}、x_ {j}）= {frac {partial ^{2} m_ {x}} {partial t_ {i} partial t_ {j}}}}}（1、ドット、1） 1、ドット、1）cdot {frac {partial m_ {x}} {partial t_ {j}}（1、dots、1）quad forall i、jin {1、dots、k}}$

一般的な離散分布のいくつかの確率 – 生成関数が表にリストされています。確率 – ここにリストされていない確率分布の生成関数は、確率関数のそれぞれの記事にあります。

特に、二項分布はベルヌーリ分布の確率生成関数のn-ファチン積に等しくなります。これは、二項分布はまさに独立したベルヌーイ分布の合計であるためです。同じことが幾何学的分布と負の二項分布にも当てはまります。

ランダム変数の確率 – 生成関数

${displaystyle x}$

確率関数

${displaystyle p}$

生成関数の特殊なケースです

${displaystyle a_ {i} = pleft（{i} right）}$

ために

${displaystyle iin mathbb {n} _ {0}}$

。
確率 – 生成関数に加えて、ゾウムシには他にも3つの生成関数があります。これらは、離散分布のためだけに定義されているだけではありません。
モーメント – 生成関数はとして定義されます

${displaystyle m_ {x} left（tright）：= operatorname {e}左（e^{tx}右）}$

。適用されます

${displaystyle m_ {x}左（e^{t}右）= m_ {x} left（tright）}}$

特性関数は、と定義されます

${displaystyle varphi _ {x} left（tright）：= operatorname {e} left（e^{itx}右）}$

。適用されます

${displaystyle m_ {x}左（e^{it}右）= varphi _ {x} left（tright）}$

。

また、モーメント生成関数の対数としての累積生成関数もあります。累積の概念はそれから派生しています。

• クラウスD.シュミット： 測定と確率。 Springer、Berlin Heidelberg 2009、ISBN 978-3-540-89729-3、S。370ff。
• Achim Klenke： 確率理論 。 3.エディション。 Springer-Verlag、Berlin Heidelberg 2013、ISBN 978-3-642-36017-6。
• ウルリッヒ・クレンゲル： 確率理論と統計の紹介 。勉強、専門的な実践、教育。 8.エディション。 Vieweg、Wiesbaden 2005、ISBN 3-8348-0063-5。
• ハンス・オットー・ジョージ： 安stic 。確率理論と統計の紹介。第4版。 Walter de Gruyter、ベルリン2009、ISBN 978-3-11-021526-7。
• クリスチャンヘッセ： 適用された確率理論 。第1版。 Vieweg、Wiesbaden 2003、ISBN 3-528-03183-2。

1. ↑ ehrhardはbehrends： 基本的なゼロ 。学習本 – 学生によって開発されました。 Springer Spectrum、Wiesbaden 2013、ISBN 978-3-8348-1939-0、 S. 108 、doi： 10,1007/978-3-8348-2331-1 。
2. ↑ Achim Klenke： 確率理論 。 3.エディション。 Springer-Verlag、Berlin Heidelberg 2013、ISBN 978-3-642-36017-6、 S. 79 、doi： 10,1007/978-3-642-36018-3 。
3. ↑ ハンス・オットー・ジョージ： 安stic 。確率理論と統計の紹介。第4版。 Walter de Gruyter、ベルリン2009、ISBN 978-3-11-021526-7、 S. 111 、doi： 10.1515/9783110215274 。
4. ↑ ^{a b} ハンス・オットー・ジョージ： 安stic 。確率理論と統計の紹介。第4版。 Walter de Gruyter、ベルリン2009、ISBN 978-3-11-021526-7、 S. 114 、doi： 10.1515/9783110215274 。
5. ↑ Achim Klenke： 確率理論 。 3.エディション。 Springer-Verlag、Berlin Heidelberg 2013、ISBN 978-3-642-36017-6、 S. 83 、doi： 10,1007/978-3-642-36018-3 。