Kovariante Ableitung – Wikipedia

Spezifikation von Derivaten entlang Tangentenvektoren einer Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist die kovariantes Derivat ist eine Möglichkeit, eine Ableitung entlang der Tangentenvektoren einer Mannigfaltigkeit zu spezifizieren. Alternativ ist die kovariante Ableitung eine Möglichkeit, eine Verbindung auf einem Verteiler mittels eines Differentialoperators einzuführen und damit zu arbeiten, was dem Ansatz einer Hauptverbindung auf dem Rahmenbündel gegenübersteht – siehe affine Verbindung. Im speziellen Fall eines Verteilers, der isometrisch in einen höherdimensionalen euklidischen Raum eingebettet ist, kann die kovariante Ableitung als orthogonale Projektion der euklidischen Richtungsableitung auf den Tangentenraum des Verteilers angesehen werden. In diesem Fall wird das euklidische Derivat in zwei Teile geteilt, die extrinsische Normalkomponente (abhängig von der Einbettung) und die intrinsische kovariante Derivatkomponente.

Der Name ist durch die Bedeutung von Koordinatenänderungen in der Physik motiviert: Die kovariante Ableitung transformiert sich kovariant unter einer allgemeinen Koordinatentransformation, dh linear über die Jacobi-Matrix der Transformation.^[1]

Dieser Artikel enthält eine Einführung in die kovariante Ableitung eines Vektorfelds in Bezug auf ein Vektorfeld, sowohl in einer koordinatenfreien Sprache als auch unter Verwendung eines lokalen Koordinatensystems und der traditionellen Indexnotation. Die kovariante Ableitung eines Tensorfeldes wird als Erweiterung desselben Konzepts dargestellt. Das kovariante Derivat verallgemeinert sich direkt auf einen Differenzierungsbegriff, der mit einer Verbindung auf einem Vektorbündel verbunden ist, das auch als a bekannt ist Koszul-Verbindung.

Geschichte[edit]

Historisch gesehen wurde das kovariante Derivat um die Wende des 20. Jahrhunderts von Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita in die Theorie der Riemannschen und Pseudo-Riemannschen Geometrie eingeführt.^[2] Ricci und Levi-Civita (nach den Vorstellungen von Elwin Bruno Christoffel) stellten fest, dass die zur Definition der Krümmung verwendeten Christoffel-Symbole auch einen Differenzierungsbegriff liefern könnten, der die klassische Richtungsableitung von Vektorfeldern auf einer Mannigfaltigkeit verallgemeinert.^[3][4] Dieses neue Derivat – die Levi-Civita-Verbindung – war kovariant in dem Sinne, dass es Riemanns Anforderung entsprach, dass Objekte in der Geometrie unabhängig von ihrer Beschreibung in einem bestimmten Koordinatensystem sein sollten.

Es wurde bald von anderen Mathematikern bemerkt, darunter Hermann Weyl, Jan Arnoldus Schouten und Élie Cartan.^[5] dass eine kovariante Ableitung ohne das Vorhandensein einer Metrik abstrakt definiert werden könnte. Das entscheidende Merkmal war nicht eine besondere Abhängigkeit von der Metrik, sondern dass die Christoffel-Symbole ein bestimmtes genaues Transformationsgesetz zweiter Ordnung erfüllten. Dieses Transformationsgesetz könnte als Ausgangspunkt für die kovariante Definition der Ableitung dienen. Somit hat sich die Theorie der kovarianten Differenzierung vom streng riemannschen Kontext abgewandt, um ein breiteres Spektrum möglicher Geometrien einzubeziehen.

In den 1940er Jahren begannen Praktiker der Differentialgeometrie, andere Begriffe der kovarianten Differenzierung in allgemeine Vektorbündel einzuführen, die im Gegensatz zu den für Geometer interessanten klassischen Bündeln nicht Teil der Tensoranalyse der Mannigfaltigkeit waren. Im Großen und Ganzen mussten diese verallgemeinerten kovarianten Derivate spezifiziert werden Ad hoc durch eine Version des Verbindungskonzepts. 1950 vereinheitlichte Jean-Louis Koszul diese neuen Ideen der kovarianten Differenzierung in einem Vektorbündel mittels einer heutigen Koszul-Verbindung oder einer Verbindung auf einem Vektorbündel.^[6] Mit Ideen aus der Lie-Algebra-Kohomologie hat Koszul viele der analytischen Merkmale der kovarianten Differenzierung erfolgreich in algebraische umgewandelt. Insbesondere beseitigten Koszul-Verbindungen die Notwendigkeit umständlicher Manipulationen von Christoffel-Symbolen (und anderen analogen nicht-tensoriellen Objekten) in der Differentialgeometrie. So verdrängten sie schnell den klassischen Begriff des kovarianten Derivats in vielen Behandlungen des Subjekts nach 1950.

Motivation[edit]

Das kovariantes Derivat ist eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung aus der Vektorrechnung. Wie bei der Richtungsableitung ist die kovariante Ableitung eine Regel,

${ displaystyle nabla _ { mathbf {u}} { mathbf {v}}}$

, die als Eingaben verwendet: (1) einen Vektor, u, an einem Punkt definiert P.und (2) ein Vektorfeld, v, definiert in einer Nachbarschaft von P..^[7] Die Ausgabe ist der Vektor

${ displaystyle nabla _ { mathbf {u}} { mathbf {v}} (P)}$

, auch an der Stelle P.. Der Hauptunterschied zur üblichen Richtungsableitung besteht darin, dass

${ displaystyle nabla _ { mathbf {u}} { mathbf {v}}}$

muss in einem gewissen genauen Sinne sein unabhängig der Art und Weise, wie es in einem Koordinatensystem ausgedrückt wird.

Ein Vektor kann sein beschrieben als Liste von Zahlen in Bezug auf eine Basis, aber als geometrisches Objekt behält ein Vektor seine eigene Identität, unabhängig davon, wie man ihn auf einer Basis beschreibt. Diese Persistenz der Identität spiegelt sich in der Tatsache wider, dass sich die Komponenten des Vektors gemäß einer Änderung der Basisformel transformieren, wenn ein Vektor auf einer Basis geschrieben und dann die Basis geändert wird. Ein solches Transformationsgesetz ist als kovariante Transformation bekannt. Die kovariante Ableitung muss sich bei einer Änderung der Koordinaten auf dieselbe Weise transformieren wie eine Basis: Die kovariante Ableitung muss sich durch eine kovariante Transformation ändern (daher der Name).

Im Fall des euklidischen Raums neigt man dazu, die Ableitung eines Vektorfeldes als Differenz zwischen zwei Vektoren an zwei nahe gelegenen Punkten zu definieren. In einem solchen System übersetzt man einen der Vektoren in den Ursprung des anderen und hält ihn parallel. Bei einem kartesischen (festen orthonormalen) Koordinatensystem bedeutet “parallel halten”, dass die Komponenten konstant gehalten werden. Der euklidische Raum liefert das einfachste Beispiel: eine kovariante Ableitung, die erhalten wird, indem die gewöhnliche Richtungsableitung der Komponenten in Richtung des Verschiebungsvektors zwischen den beiden nahe gelegenen Punkten genommen wird.

Im allgemeinen Fall muss jedoch die Änderung des Koordinatensystems berücksichtigt werden. Wenn beispielsweise dieselbe kovariante Ableitung in Polarkoordinaten in einer zweidimensionalen euklidischen Ebene geschrieben wird, enthält sie zusätzliche Begriffe, die beschreiben, wie sich das Koordinatengitter selbst “dreht”. In anderen Fällen beschreiben die zusätzlichen Begriffe, wie sich das Koordinatengitter ausdehnt, zusammenzieht, verdreht, verwebt usw. In diesem Fall funktioniert “parallel halten” nicht belaufen sich darauf, die Komponenten während der Übersetzung konstant zu halten.

Betrachten Sie das Beispiel einer Bewegung entlang einer Kurve γ(t) in der euklidischen Ebene. In Polarkoordinaten kann γ in Bezug auf seine Radial- und Winkelkoordinaten durch geschrieben werden γ(t) = (r(t), θ(t)). Ein Vektor zu einer bestimmten Zeit t^[8] (zum Beispiel die Beschleunigung der Kurve) wird ausgedrückt als

${ displaystyle ( mathbf {e} _ {r}, mathbf {e} _ { theta})}$

, wo

${ displaystyle mathbf {e} _ {r}}$

und

${ displaystyle mathbf {e} _ { theta}}$

sind Einheitstangensvektoren für die Polarkoordinaten, die als Grundlage für die Zerlegung eines Vektors in radiale und tangentiale Komponenten dienen. Zu einem etwas späteren Zeitpunkt erscheint die neue Basis in Polarkoordinaten in Bezug auf den ersten Satz leicht gedreht. Die kovariante Ableitung der Basisvektoren (die Christoffel-Symbole) dient dazu, diese Änderung auszudrücken.

In einem gekrümmten Raum wie der Erdoberfläche (als Kugel betrachtet) ist die Translation nicht genau definiert und ihr analoger paralleler Transport hängt von dem Pfad ab, auf dem der Vektor verschoben wird.

Ein Vektor e auf einem Globus am Äquator am Punkt Q ist nach Norden gerichtet. Angenommen, wir transportieren den Vektor zuerst parallel entlang des Äquators bis zum Punkt P und ziehen ihn dann (parallel zu sich selbst) entlang eines Meridians zum Pol N und (wobei wir die Richtung dort beibehalten) anschließend entlang eines anderen Meridians zurück nach Q. Dann wir bemerken, dass der parallel transportierte Vektor entlang eines geschlossenen Stromkreises nicht als der gleiche Vektor zurückkehrt; stattdessen hat es eine andere Ausrichtung. Dies würde im euklidischen Raum nicht passieren und wird durch die Krümmung der Oberfläche des Globus. Der gleiche Effekt kann festgestellt werden, wenn wir den Vektor entlang einer unendlich kleinen geschlossenen Fläche ziehen, anschließend entlang zweier Richtungen und dann zurück. Die infinitesimale Änderung des Vektors ist ein Maß für die Krümmung.

[edit]

• Die Definition der kovarianten Ableitung verwendet die Metrik im Raum nicht. Für jede Metrik gibt es jedoch eine eindeutige torsionsfreie kovariante Ableitung, die als Levi-Civita-Verbindung bezeichnet wird, sodass die kovariante Ableitung der Metrik Null ist.
• Die Eigenschaften eines Derivats implizieren dies
  ${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u}}$

  hängt von einer beliebig kleinen Nachbarschaft eines Punktes ab p auf die gleiche Weise wie z. B. die Ableitung einer Skalarfunktion entlang einer Kurve an einem bestimmten Punkt p hängt von einer beliebig kleinen Nachbarschaft ab p.

• Die Informationen zur Nachbarschaft eines Punktes p in der kovarianten Ableitung kann verwendet werden, um den parallelen Transport eines Vektors zu definieren. Auch die Krümmung, Torsion und Geodäten können nur in Bezug auf die kovariante Ableitung oder eine andere verwandte Variation der Idee einer linearen Verbindung definiert werden.

Informelle Definition durch Einbettung in den euklidischen Raum[edit]

Angenommen, eine offene Teilmenge

${ displaystyle U}$

einer Riemannschen Mannigfaltigkeit

${ displaystyle M}$

eingebettet in den euklidischen Raum

${ displaystyle ( mathbb {R} ^ {n}, langle cdot, cdot rangle)}$

über eine zweimal kontinuierlich differenzierbare (C.²) Kartierung

${ displaystyle { vec { Psi}}: mathbb {R} ^ {d} supset U rightarrow mathbb {R} ^ {n}}$

so dass der Tangentenraum bei

${ displaystyle { vec { Psi}} (p) in M}$

wird von den Vektoren überspannt

${ displaystyle left lbrace left. { frac { partielle { vec { Psi}}} { partielle x ^ {i}}} rechts | _ {p}: i in lbrace 1, dots, d rbrace right rbrace }}$

und das Skalarprodukt

${ displaystyle left langle -, – right rangle}$

auf

${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$

ist kompatibel mit der Metrik on M.::

${ displaystyle g_ {ij} = left langle { frac { partiell { vec { Psi}}} { partiell x ^ {i}}}, { frac { partiell { vec { Psi }}} { teilweise x ^ {j}}} rechts rangle.}$

(Da die Mannigfaltigkeitsmetrik immer als regelmäßig angenommen wird, impliziert die Kompatibilitätsbedingung eine lineare Unabhängigkeit der partiellen abgeleiteten Tangentenvektoren.)

Für ein Tangentenvektorfeld

${ displaystyle { vec {V}} = v ^ {j} { frac { partiell { vec { Psi}}} { partiell x ^ {j}}} ,}$

, hat man

${ displaystyle { frac { partiell { vec {V}}} { partiell x ^ {i}}} = { frac { partiell} { partiell x ^ {i}}} left (v ^ {j} { frac { partielle { vec { Psi}}} { partielle x ^ {j}}} rechts) = { frac { partielle v ^ {j}} { partielle x ^ { i}}} { frac { partiell { vec { Psi}} { partiell x ^ {j}}} + v ^ {j} { frac { partiell ^ {2} { vec { Psi}}} { partielle x ^ {i} , partielle x ^ {j}}}}$

.

Der letzte Begriff ist nicht tangential zu M., kann aber als lineare Kombination der Tangentenraum-Basisvektoren ausgedrückt werden, wobei die Christoffel-Symbole als lineare Faktoren plus ein zum Tangentenraum orthogonaler Vektor verwendet werden:

${ displaystyle { frac { partiell ^ {2} { vec { Psi}}} { partiell x ^ {i} , partiell x ^ {j}}} = { Gamma ^ {k}} _ {ij} { frac { teilweise { vec { Psi}}} { teilweise x ^ {k}}} + { vec {n}}}$

.

Im Fall der Levi-Civita-Verbindung das kovariante Derivat

${ displaystyle nabla _ { mathbf {e} _ {i}} { vec {V}}}$

, auch geschrieben

${ displaystyle nabla _ {i} { vec {V}}}$

ist definiert als die orthogonale Projektion der üblichen Ableitung auf den Tangentenraum:

${ displaystyle nabla _ { mathbf {e} _ {i}} { vec {V}}: = { frac { partielle { vec {V}}} { partielle x ^ {i}}} – { vec {n}} = left ({ frac { partielle v ^ {k}} { partielle x ^ {i}}} + v ^ {j} { Gamma ^ {k}} _ { ij} right) { frac { teilweise { vec { Psi}}} { teilweise x ^ {k}}}.}$

Um die Beziehung zwischen Christoffel-Symbolen für die Levi-Civita-Verbindung und der Metrik zu erhalten, müssen wir zunächst Folgendes beachten, da

${ displaystyle { vec {n}}}$

in der vorherigen Gleichung ist orthogonal zum Tangentenraum:

${ displaystyle left langle { frac { teilweise ^ {2} { vec { Psi}}} { teilweise x ^ {i} , teilweise x ^ {j}}}, { frac { teilweise { vec { Psi}}} { teilweise x ^ {l}}} rechts rangle = links langle { Gamma ^ {k}} _ {ij} { frac { teilweise { vec { Psi}}} { partielle x ^ {k}}} + { vec {n}}, { frac { partielle { vec { Psi}}} { partielle x ^ {l}} } right rangle = { Gamma ^ {k}} _ {ij} left langle { frac { partielle { vec { Psi}}} { partielle x ^ {k}}}, { frac { partielle { vec { Psi}}} { partielle x ^ {l}}} right rangle = { Gamma ^ {k}} _ {ij} , g_ {kl}}$

.

Zweitens ist die partielle Ableitung einer Komponente der Metrik:

${ displaystyle { frac { partiell g_ {ab}} { partiell x ^ {c}}} = { frac { partiell} { partiell x ^ {c}}} left langle { frac { partielle { vec { Psi}}} { partielle x ^ {a}}}, { frac { partielle { vec { Psi}}} { partielle x ^ {b}}} rechts rangle = left langle { frac { partiell ^ {2} { vec { Psi}}} { partiell x ^ {c} , partiell x ^ {a}}}, { frac { partiell { vec { Psi}}} { partiell x ^ {b}}} rechts rangle + left langle { frac { partiell { vec { Psi}}} { partiell x ^ { a}}}, { frac { partiell ^ {2} { vec { Psi}}} { partiell x ^ {c} , partiell x ^ {b}}} rechts rangle}$

impliziert für eine Basis

${ displaystyle x ^ {i}, x ^ {j}, x ^ {k}}$

unter Verwendung der Symmetrie des Skalarprodukts und Vertauschen der Reihenfolge der partiellen Differenzierungen:

${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac { partielle g_ {jk}} { partielle x ^ {i}}} \ { frac { partielle g_ {ki}} { partielle x ^ {j }}} \ { frac { teilweise g_ {ij}} { teilweise x ^ {k}}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 end {pmatrix }} { begin {pmatrix} left langle { frac { partiell { vec { Psi}}} { partiell x ^ {i}}}, { frac { partiell ^ {2} { vec { Psi}}} { partielle x ^ {j} , partielle x ^ {k}}} rechts rangle \ links langle { frac { partielle { vec { Psi}} } { partielle x ^ {j}}}, { frac { partielle ^ {2} { vec { Psi}}} { partielle x ^ {k} , partielle x ^ {i}}} right rangle \ left langle { frac { partiell { vec { Psi}}} { partiell x ^ {k}}}, { frac { partiell ^ {2} { vec { Psi}}} { partielle x ^ {i} , partielle x ^ {j}}} rechts rangle end {pmatrix}}}$

Hinzufügen der ersten Zeile zur zweiten und Subtrahieren der dritten Zeile:

${ displaystyle { frac { partielles g_ {jk}} { partielles x ^ {i}}} + { frac { partielles g_ {ki}} { partielles x ^ {j}}} – { frac { partielle g_ {ij}} { partielle x ^ {k}}} = 2 left langle { frac { partielle { vec { Psi}}} { partielle x ^ {k}}}, { frac { partiell ^ {2} { vec { Psi}}} { partiell x ^ {i} , partiell x ^ {j}}} rechts rangle}$

und liefert die Christoffel-Symbole für die Levi-Civita-Verbindung in Bezug auf die Metrik:

${ displaystyle g_ {kl} { Gamma ^ {k}} _ {ij} = { frac {1} {2}} left ({ frac { partielle g_ {jl}} { partielle x ^ { i}}} + { frac { partielles g_ {li}} { partielles x ^ {j}}} – { frac { partielles g_ {ij}} { partielles x ^ {l}}} rechts ).}$

Zeichnen Sie für ein sehr einfaches Beispiel, das die Essenz der obigen Beschreibung erfasst, einen Kreis auf ein flaches Blatt Papier. Fahren Sie mit konstanter Geschwindigkeit um den Kreis. Die Ableitung Ihrer Geschwindigkeit, Ihres Beschleunigungsvektors, zeigt immer radial nach innen. Rollen Sie dieses Blatt Papier in einen Zylinder. Jetzt hat die (euklidische) Ableitung Ihrer Geschwindigkeit eine Komponente, die manchmal nach innen zur Achse des Zylinders zeigt, je nachdem, ob Sie sich in der Nähe einer Sonnenwende oder einer Tagundnachtgleiche befinden. (Am Punkt des Kreises, wenn Sie sich parallel zur Achse bewegen, gibt es keine Beschleunigung nach innen. Umgekehrt ist an einem Punkt (1/4 eines Kreises später), an dem die Geschwindigkeit entlang der Biegung des Zylinders liegt, die Beschleunigung nach innen maximal .) Dies ist die (euklidische) Normalkomponente. Die kovariante Ableitungskomponente ist die Komponente parallel zur Zylinderoberfläche und entspricht der, bevor Sie das Blatt in einen Zylinder gerollt haben.

Formale Definition[edit]

Eine kovariante Ableitung ist eine (Koszul-) Verbindung zwischen dem Tangentenbündel und anderen Tensorbündeln: Sie unterscheidet Vektorfelder analog zum üblichen Funktionsdifferential. Die Definition erstreckt sich auf einzigartige Weise auf eine Differenzierung der Dualen von Vektorfeldern (dh Covektorfeldern) und auf beliebige Tensorfelder, die die Kompatibilität mit dem Tensorprodukt und den Spurenoperationen (Tensorkontraktion) gewährleistet.

Funktionen[edit]

Gegeben einen Punkt p der Mannigfaltigkeit, eine echte Funktion f auf der Mannigfaltigkeit und ein Tangentenvektor v beim p, das kovariante Derivat von f beim p entlang v ist der Skalar bei pbezeichnet

${ displaystyle left ( nabla _ { mathbf {v}} f right) _ {p}}$

, das ist der Hauptteil der Wertänderung von f wenn das Argument von f wird durch den infinitesimalen Verschiebungsvektor geändert v. (Dies ist das Differential von f gegen den Vektor ausgewertet v.) Formal gibt es eine differenzierbare Kurve

${ displaystyle phi:[-1,1] bis M}$

so dass

${ displaystyle phi (0) = p}$

und

${ displaystyle phi ‘(0) = mathbf {v}}$

und das kovariante Derivat von f beim p ist definiert durch

${ displaystyle left ( nabla _ { mathbf {v}} f right) _ {p} = left (f circ phi right) ‘ left (0 right) = lim _ {t bis 0} { frac {f left[phi left(tright)right]-f left[pright]} {t}}.}$

Wann v ist ein Vektorfeld, die kovariante Ableitung

${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} f}$

ist die Funktion, die jedem Punkt zugeordnet ist p in der gemeinsamen Domäne von f und v der Skalar

${ displaystyle left ( nabla _ { mathbf {v}} f right) _ {p}}$

. Dies stimmt mit der üblichen Lie-Ableitung von überein f entlang des Vektorfeldes v.

Vektorfelder[edit]

EIN kovariantes Derivat

${ displaystyle nabla}$

an einem Punkt p weist in einem glatten Verteiler einen Tangentenvektor zu

${ displaystyle ( nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u}) _ {p}}$

zu jedem Paar

${ displaystyle ( mathbf {u}, mathbf {v})}$

, bestehend aus einem Tangentenvektor v beim p und Vektorfeld u definiert in einer Nachbarschaft von p, so dass die folgenden Eigenschaften gelten (für alle Vektoren v, x und y beim p, Vektorfelder u und w definiert in einer Nachbarschaft von p, skalare Werte G und h beim pund Skalarfunktion f definiert in einer Nachbarschaft von p):

1. 
   ${ displaystyle left ( nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u} right) _ {p}}$

   ist linear in

   ${ displaystyle mathbf {v}}$

   damit

   ${ displaystyle left ( nabla _ {g mathbf {x} + h mathbf {y}} mathbf {u} right) _ {p} = left ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u} right) _ {p} g + left ( nabla _ { mathbf {y}} mathbf {u} right) _ {p} h}$

   

2. 
   ${ displaystyle left ( nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u} right) _ {p}}$

   ist additiv in

   ${ displaystyle mathbf {u}}$

   damit:

   ${ displaystyle left ( nabla _ { mathbf {v}} left[mathbf {u} +mathbf {w} right] right) _ {p} = left ( nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u} right) _ {p} + left ( nabla _ { mathbf {v}} mathbf { w} right) _ {p}}$

   

3. 
   ${ displaystyle ( nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u}) _ {p}}$

   gehorcht der Produktregel; dh wo

   ${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} f}$

   ist oben definiert,

   ${ displaystyle left ( nabla _ { mathbf {v}} left[fmathbf {u} right] rechts) _ {p} = f (p) links ( nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u}) _ {p} + ( nabla _ { mathbf {v}} f rechts ) _ {p} mathbf {u} _ {p}}$

   .

Wenn u und v Sind dann beide Vektorfelder über eine gemeinsame Domäne definiert?

${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u}}$

bezeichnet das Vektorfeld, dessen Wert an jedem Punkt liegt p der Domäne ist der Tangentenvektor

${ displaystyle left ( nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u} right) _ {p}}$

. Beachten Sie, dass

${ displaystyle left ( nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u} right) _ {p}}$

hängt nicht nur vom Wert von ab u und v beim p sondern auch auf Werte von u in einer infinitesimalen Nachbarschaft von p wegen der letzten Eigenschaft die Produktregel.

Covector Felder[edit]

Gegeben ein Feld von Covektoren (oder Einform)

${ displaystyle alpha}$

definiert in einer Nachbarschaft von p, sein kovariantes Derivat

${ displaystyle ( nabla _ { mathbf {v}} alpha) _ {p}}$

wird so definiert, dass die resultierende Operation mit der Tensorkontraktion und der Produktregel kompatibel ist. Das ist,

${ displaystyle ( nabla _ { mathbf {v}} alpha) _ {p}}$

ist definiert als die eindeutige Einform bei p so dass die folgende Identität für alle Vektorfelder erfüllt ist u in einer Nachbarschaft von p

${ displaystyle left ( nabla _ { mathbf {v}} alpha right) _ {p} left ( mathbf {u} _ {p} right) = nabla _ { mathbf {v} }links[alpha left(mathbf {u} right)right]_ {p} – alpha _ {p} left[left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}right].}$

Die kovariante Ableitung eines Covektorfeldes entlang eines Vektorfeldes v ist wieder ein Covector-Feld.

Tensorfelder[edit]

Sobald die kovariante Ableitung für Felder von Vektoren und Covektoren definiert ist, kann sie für beliebige Tensorfelder definiert werden, indem für jedes Paar von Tensorfeldern die folgenden Identitäten auferlegt werden

${ displaystyle varphi}$

und

${ displaystyle psi ,}$

in einer Nachbarschaft des Punktes p::

${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} left ( varphi otimes psi right) _ {p} = left ( nabla _ { mathbf {v}} varphi right) _ { p} otimes psi (p) + varphi (p) otimes left ( nabla _ { mathbf {v}} psi right) _ {p},}$

und für

${ displaystyle varphi}$

und

${ displaystyle psi}$

von gleicher Wertigkeit

${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} ( varphi + psi) _ {p} = ( nabla _ { mathbf {v}} varphi) _ {p} + ( nabla _ { mathbf {v}} psi) _ {p}.}$

Die kovariante Ableitung eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes v ist wieder ein Tensorfeld des gleichen Typs.

Lassen Sie es explizit T. ein Tensorfeld vom Typ sein (p, q). Erwägen T. eine differenzierbare mehrlineare Karte von glatten Abschnitten sein α¹, α², …, α^q des Kotangensbündels T.^∗M. und von Abschnitten X.₁, X.₂, … X._p des Tangentenbündels TMgeschrieben T.(α¹, α², …, X.₁, X.₂, …) in R.. Das kovariante Derivat von T. entlang Y. ist durch die Formel gegeben

${ displaystyle { begin {align} ( nabla _ {Y} T) left ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, X_ {1}, X_ {2}, ldots rechts) = & Y links (T links ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, X_ {1}, X_ {2}, ldots rechts) rechts) \ & -T left ( nabla _ {Y} alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, X_ {1}, X_ {2}, ldots right) -T left ( alpha _ {1}, nabla _ {Y} alpha _ {2}, ldots, X_ {1}, X_ {2}, ldots right) – ldots \ & – T left ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, nabla _ {Y} X_ {1}, X_ {2}, ldots rechts) -T left ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, X_ {1}, nabla _ {Y} X_ {2}, ldots right) – ldots end {align}}}$

Koordinatenbeschreibung[edit]

Gegebene Koordinatenfunktionen

${ displaystyle x ^ {i}, i = 0,1,2, dots}$

,

Jeder Tangentenvektor kann durch seine Komponenten in der Basis beschrieben werden

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} = { partiell über partiell x ^ {i}}}$

.

Die kovariante Ableitung eines Basisvektors entlang eines Basisvektors ist wiederum ein Vektor und kann daher als lineare Kombination ausgedrückt werden

${ displaystyle Gamma ^ {k} mathbf {e} _ {k} ,}$

. Um die kovariante Ableitung anzugeben, reicht es aus, die kovariante Ableitung jedes Basisvektorfeldes anzugeben

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} ,}$

entlang

${ displaystyle mathbf {e} _ {j} ,}$

.

${ displaystyle nabla _ { mathbf {e} _ {j}} mathbf {e} _ {i} = { Gamma ^ {k}} _ {ij} mathbf {e} _ {k},}$

die Koeffizienten

${ displaystyle Gamma _ { ij} ^ {k}}$

sind die Komponenten der Verbindung in Bezug auf ein System lokaler Koordinaten. In der Theorie der Riemannschen und Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten werden die Komponenten der Levi-Civita-Verbindung in Bezug auf ein System lokaler Koordinaten als Christoffel-Symbole bezeichnet.

Wenn wir dann die Regeln in der Definition verwenden, finden wir das für allgemeine Vektorfelder

${ displaystyle mathbf {v} = v ^ {j} mathbf {e} _ {j}}$

und

${ displaystyle mathbf {u} = u ^ {i} mathbf {e} _ {i}}$

wir bekommen

${ displaystyle { begin {align} nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u} & = nabla _ {v ^ {j} mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} mathbf {e} _ {i} \ & = v ^ {j} nabla _ { mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} mathbf {e} _ {i} \ & = v ^ {j} u ^ {i} nabla _ { mathbf {e} _ {j}} mathbf {e} _ {i} + v ^ {j} mathbf {e} _ {i} nabla _ { mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ & = v ^ {j} u ^ {i} { Gamma ^ {k}} _ {ij} mathbf {e} _ { k} + v ^ {j} { partielle u ^ {i} über partielle x ^ {j}} mathbf {e} _ {i} end {align}}}$

damit

${ displaystyle nabla _ { mathbf {v}} mathbf {u} = left (v ^ {j} u ^ {i} { Gamma ^ {k}} _ {ij} + v ^ {j} { partielle u ^ {k} über partielle x ^ {j}} rechts) mathbf {e} _ {k}}$

Der erste Term in dieser Formel ist verantwortlich für das “Verdrehen” des Koordinatensystems in Bezug auf die kovariante Ableitung und der zweite für Änderungen von Komponenten des Vektorfeldes u. Speziell

${ displaystyle nabla _ { mathbf {e} _ {j}} mathbf {u} = nabla _ {j} mathbf {u} = left ({ frac { partielle u ^ {i}} { partielle x ^ {j}}} + u ^ {k} { Gamma ^ {i}} _ {kj} rechts) mathbf {e} _ {i}}$

Mit Worten: Die kovariante Ableitung ist die übliche Ableitung entlang der Koordinaten mit Korrekturtermen, die angeben, wie sich die Koordinaten ändern.

Für Covektoren haben wir ähnlich

${ displaystyle nabla _ { mathbf {e} _ {j}} { mathbf { theta}} = left ({ frac { partielle theta _ {i}} { partielle x ^ {j} }} – theta _ {k} { Gamma ^ {k}} _ {ij} right) { mathbf {e} ^ {*}} ^ {i}}$

wo

${ displaystyle { mathbf {e} ^ {*}} ^ {i} ( mathbf {e} _ {j}) = { delta ^ {i}} _ {j}}$

.

Das kovariante Derivat eines Typs (r, s) Tensorfeld entlang

${ displaystyle e_ {c}}$

ist gegeben durch den Ausdruck:

${ displaystyle { begin {align} {( nabla _ {e_ {c}} T) ^ {a_ {1} ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} = {} & { frac { partielle} { partielle x ^ {c}}} {T ^ {a_ {1} ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} & + , { Gamma ^ {a_ {1}}} _ {dc} {T ^ {da_ {2} ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} + cdots + { Gamma ^ {a_ {r}}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} ldots a_ {r-1} d}} _ {b_ {1} ldots b_ {s}} \ & – , { Gamma ^ {d}} _ {b_ {1} c} {T ^ {a_ {1} ldots a_ {r}}} _ {db_ {2} ldots b_ {s} } – cdots – { Gamma ^ {d}} _ {b_ {s} c} {T ^ {a_ {1} ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} ldots b_ {s-1 } d}. end {align}}}$

Oder in Worten: Nehmen Sie die partielle Ableitung des Tensors und fügen Sie hinzu:

${ displaystyle + { Gamma ^ {a_ {i}}} _ {dc}}$

für jeden oberen Index

${ displaystyle a_ {i}}$

, und

${ displaystyle – { Gamma ^ {d}} _ {b_ {i} c}}$

für jeden niedrigeren Index

${ displaystyle b_ {i}}$

.

Wenn anstelle eines Tensors versucht wird, a zu unterscheiden Tensordichte (von Gewicht +1), dann fügen Sie auch einen Begriff hinzu

${ displaystyle – { Gamma ^ {d}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} ldots b_ {s}}.}$

Wenn es sich um eine Tensordichte des Gewichts handelt W., dann multiplizieren Sie diesen Begriff mit W.. Zum Beispiel,

${ displaystyle { sqrt {-g}}}$

ist eine skalare Dichte (mit einem Gewicht von +1), also erhalten wir:

${ displaystyle left ({ sqrt {-g}} right) _ {; c} = left ({ sqrt {-g}} right) _ {, c} – { sqrt {-g} } , { Gamma ^ {d}} _ {dc}}$

wo Semikolon “;” zeigt kovariante Differenzierung an und Komma “,” zeigt partielle Differenzierung an. Im Übrigen ist dieser bestimmte Ausdruck gleich Null, da die kovariante Ableitung einer Funktion ausschließlich der Metrik immer Null ist.

Beispiele[edit]

Für ein Skalarfeld

${ displaystyle displaystyle phi ,}$

, kovariante Differenzierung ist einfach partielle Differenzierung:

${ displaystyle displaystyle phi _ {; a} equiv partielle _ {a} phi}$

Für ein kontravariantes Vektorfeld

${ displaystyle lambda ^ {a} ,}$

, wir haben:

${ displaystyle { lambda ^ {a}} _ {; b} äquiv partiell _ {b} lambda ^ {a} + { Gamma ^ {a}} _ {bc} lambda ^ {c}}$

Für ein kovariantes Vektorfeld

${ displaystyle lambda _ {a} ,}$

, wir haben:

${ displaystyle lambda _ {a; c} äquiv partiell _ {c} lambda _ {a} – { Gamma ^ {b}} _ {ca} lambda _ {b}}$

Für ein Tensorfeld vom Typ (2,0)

${ displaystyle tau ^ {ab} ,}$

, wir haben:

${ displaystyle { tau ^ {ab}} _ {; c} äquiv partiell _ {c} tau ^ {ab} + { Gamma ^ {a}} _ {cd} tau ^ {db} + { Gamma ^ {b}} _ {cd} tau ^ {ad}}$

Für ein Tensorfeld vom Typ (0,2)

${ displaystyle tau _ {ab} ,}$

, wir haben:

${ displaystyle tau _ {ab; c} äquiv partiell _ {c} tau _ {ab} – { Gamma ^ {d}} _ {ca} tau _ {db} – { Gamma ^ { d}} _ {cb} tau _ {ad}}$

Für ein Tensorfeld vom Typ (1,1)

${ displaystyle { tau ^ {a}} _ {b} ,}$

, wir haben:

${ displaystyle { tau ^ {a}} _ {b; c} äquiv partiell _ {c} { tau ^ {a}} _ {b} + { Gamma ^ {a}} _ {cd} { tau ^ {d}} _ {b} – { Gamma ^ {d}} _ {cb} { tau ^ {a}} _ {d}}$

Die obige Notation ist im Sinne gemeint

${ displaystyle { tau ^ {ab}} _ {; c} equiv left ( nabla _ { mathbf {e} _ {c}} tau right) ^ {ab}}$

Kovariante Derivate pendeln nicht; dh

${ displaystyle lambda _ {a; bc} neq lambda _ {a; cb} ,}$

. Es kann gezeigt werden, dass:

${ displaystyle lambda _ {a; bc} – lambda _ {a; cb} = {R ^ {d}} _ {abc} lambda _ {d}}$

wo

${ displaystyle {R ^ {d}} _ {abc} ,}$

ist der Riemann-Tensor. Ähnlich,

${ displaystyle { lambda ^ {a}} _ {; bc} – { lambda ^ {a}} _ {; cb} = – {R ^ {a}} _ {dbc} lambda ^ {d}}$

und

${ displaystyle { tau ^ {ab}} _ {; cd} – { tau ^ {ab}} _ {; dc} = – {R ^ {a}} _ {ecd} tau ^ {eb} – {R ^ {b}} _ {ecd} tau ^ {ae}}$

Letzteres kann gezeigt werden, indem man (ohne Verlust der Allgemeinheit) das nimmt

${ displaystyle tau ^ {ab} = lambda ^ {a} mu ^ {b} ,}$

.

Notation[edit]

In Lehrbüchern zur Physik wird die kovariante Ableitung manchmal einfach anhand ihrer Komponenten in dieser Gleichung angegeben.

Oft wird eine Notation verwendet, bei der die kovariante Ableitung mit einem Semikolon angegeben wird, während eine normale partielle Ableitung durch ein Komma angezeigt wird. In dieser Notation schreiben wir dasselbe wie:

${ displaystyle nabla _ {e_ {j}} mathbf {v} { stackrel { mathrm {def}} {=}} {v ^ {s}} _ {; j} e_ {s} ; ; ; ; ; ; {v ^ {i}} _ {; j} = {v ^ {i}} _ {, j} + v ^ {k} { Gamma ^ {i}} _ {kj}}$

Dies zeigt einmal mehr, dass die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes nicht einfach durch Differenzieren zu den Koordinaten erhalten wird

${ displaystyle {v ^ {i}} _ {, j}}$

, hängt aber auch vom Vektor ab v selbst durch

${ displaystyle v ^ {k} { Gamma ^ {i}} _ {kj}}$

.

In einigen älteren Texten (insbesondere Adler, Bazin & Schiffer, Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie) wird die kovariante Ableitung durch ein Doppelrohr und die partielle Ableitung durch ein Einzelrohr bezeichnet:

${ displaystyle nabla _ {e_ {j}} mathbf {v} { stackrel { mathrm {def}} {=}} {v ^ {i}} _ {|| j} = {v ^ {i}} _ {| j} + v ^ {k} { Gamma ^ {i}} _ {kj}}$

Ableitung entlang einer Kurve[edit]

Da das kovariante Derivat

${ displaystyle nabla _ {X} T}$

eines Tensorfeldes

${ displaystyle T}$

an einem Punkt

${ displaystyle p}$

hängt nur vom Wert des Vektorfeldes ab

${ displaystyle X}$

beim

${ displaystyle p}$

man kann die kovariante Ableitung entlang einer glatten Kurve definieren

Beziehung zum Lie-Derivat[edit]

Eine kovariante Ableitung führt eine zusätzliche geometrische Struktur auf einer Mannigfaltigkeit ein, mit der Vektoren in benachbarten Tangentenräumen verglichen werden können: Es gibt keine kanonische Möglichkeit, Vektoren aus verschiedenen Tangentenräumen zu vergleichen, da es kein kanonisches Koordinatensystem gibt.

Es gibt jedoch eine andere Verallgemeinerung von Richtungsableitungen, die ist kanonisch: die Lie-Ableitung, die die Änderung eines Vektorfeldes entlang des Flusses eines anderen Vektorfeldes bewertet. Man muss also beide Vektorfelder in einer offenen Nachbarschaft kennen, nicht nur an einem einzigen Punkt. Die kovariante Ableitung führt andererseits ihre eigene Änderung für Vektoren in einer gegebenen Richtung ein und hängt nur von der Vektorrichtung an einem einzelnen Punkt ab und nicht von einem Vektorfeld in einer offenen Nachbarschaft eines Punktes. Mit anderen Worten ist die kovariante Ableitung linear (über) C.^∞(M.)) im Richtungsargument, während die Lie-Ableitung in keinem der Argumente linear ist.

Es ist zu beachten, dass das antisymmetrisierte kovariante Derivat ∇_uv – ∇_vuund das Lie-Derivat L._uv unterscheiden sich durch die Torsion der Verbindung, so dass, wenn eine Verbindung torsionsfrei ist, ihre Antisymmetrisierung ist das Lie-Derivat.

Siehe auch[edit]

1. ^ Einstein, Albert (1922). “Die Allgemeine Relativitätstheorie”. Die Bedeutung der Relativitätstheorie.
2. ^ Ricci, G.; Levi-Civita, T. (1901). “Méthodes de calcul différential absolu et leurs Anwendungen”. Mathematische Annalen. 54: 125–201. doi:10.1007 / bf01454201.
3. ^ Riemann, GFB (1866). “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen”. Gesammelte Mathematische Werke.;; Nachdruck, hrsg. Weber, H. (1953), New York: Dover.
4. ^ Christoffel, EB (1869). “Über die Transformation der homogenen Differentialaussichtsvollen Noten”. Zeitschrift für die reine und angewandte Mathematik. 70: 46–70.
5. ^ vgl. mit Cartan, É (1923). “Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée”. Annales, École Normale. 40: 325–412.
6. ^ Koszul, JL (1950). “Homologie und Kohomologie des Algebres de Lie”. Bulletin de la Société Mathématique. 78: 65–127.
7. ^ Das kovariante Derivat wird auch verschiedentlich mit bezeichnet
   ${ displaystyle partiell}$

   _vu, D._vuoder andere Notationen.

8. ^ In vielen Anwendungen ist es möglicherweise besser, nicht daran zu denken t entsprechend der Zeit, zumindest für Anwendungen in der allgemeinen Relativitätstheorie. Es wird einfach als abstrakter Parameter angesehen, der sich entlang des Pfades gleichmäßig und monoton ändert.

Verweise[edit]