Kruskal-Szekeres-Koordinaten – Wikipedia

Posted on December 31, 2020 by lordneo

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Kruskal-Szekeres-Diagramm, dargestellt für 2GM= 1. Die Quadranten sind das Innere des Schwarzen Lochs (II), das Innere des Weißen Lochs (IV) und die beiden äußeren Bereiche (I und III). Die gepunkteten 45 ° -Linien, die diese vier Regionen trennen, sind die Ereignishorizonte. Die dunkleren Hyperbeln, die den oberen und unteren Rand des Diagramms begrenzten, sind die physikalischen Singularitäten. Die blasseren Hyperbeln repräsentieren Konturen des Schwarzschilds r koordinieren, und die geraden Linien durch den Ursprung repräsentieren Konturen des Schwarzschilds t Koordinate.

Im Allgemeinen Relativitätstheorie Kruskal-Szekeres-Koordinaten, benannt nach Martin Kruskal und George Szekeres, sind ein Koordinatensystem für die Schwarzschild-Geometrie für ein Schwarzes Loch. Diese Koordinaten haben den Vorteil, dass sie die gesamte Raumzeitvielfalt der maximal erweiterten Schwarzschild-Lösung abdecken und sich überall außerhalb der physikalischen Singularität gut benehmen.

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Table of Contents

Definition[edit]

Kruskal-Szekeres-Diagramm. Jedes Bild der Animation zeigt eine blaue Hyperbel als die Oberfläche, auf der die Schwarzschild-Radialkoordinate konstant ist (und mit einem kleineren Wert in jedem aufeinanderfolgenden Bild, bis sie an den Singularitäten endet).

Aus den Schwarzschild-Koordinaten werden Kruskal-Szekeres-Koordinaten auf einer Schwarzlochgeometrie definiert

{ displaystyle (t, r, theta, phi)}

$(t, r, theta, phi)$ , Durch Ersetzen t und r durch eine neue zeitliche Koordinate T. und eine neue raumartige Koordinate

{ displaystyle X}

$X.$ ::

{ displaystyle T = left ({ frac {r} {2GM}} – 1 right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} sinh left ({ frac {t} {4GM} }Recht)}

{ displaystyle X = left ({ frac {r} {2GM}} – 1 right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} cosh left ({ frac {t} {4GM}) }Recht)}

für den Außenbereich

{ displaystyle r> 2GM}

${ displaystyle r> 2GM}”/> außerhalb des Ereignishorizonts und: <dl> <dd><span class=$

{ displaystyle T = left (1 – { frac {r} {2GM}} right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} cosh left ({ frac {t} {4GM}) }Recht)}

$T = left (1 - frac {r} {2GM} right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} cosh left ( frac {t} {4GM} right)$

{ displaystyle X = left (1 – { frac {r} {2GM}} right) ^ {1/2} e ^ {r / 4GM} sinh left ({ frac {t} {4GM}) }Recht)}

für den Innenbereich

{ displaystyle 0

$0 <r<2GM$ . Hier

{ displaystyle GM}

$GM$ ist die Gravitationskonstante multipliziert mit dem Schwarzschild-Massenparameter, und in diesem Artikel werden Einheiten verwendet, bei denen

{ displaystyle c}

$c$ = 1.

Daraus folgt, dass bei der Vereinigung des Außenbereichs, des Ereignishorizonts und des Innenbereichs die Schwarzschild-Radialkoordinate

{ displaystyle r}

$r$ (Nicht zu verwechseln mit dem Schwarzschild-Radius

{ displaystyle r_ {s} = 2GM}

${ displaystyle r_ {s} = 2GM}$ ) wird anhand der Kruskal-Szekeres-Koordinaten als (eindeutige) Lösung der Gleichung bestimmt:

{ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} = left (1 – { frac {r} {2GM}} right) e ^ {r / 2GM} , T ^ {2} -X ^ {2} <1}

Mit der Lambert W-Funktion wird die Lösung wie folgt geschrieben:

{ displaystyle r = 2GM left (1 + W_ {0} left ({ frac {X ^ {2} -T ^ {2}} {e}} right) right)}

Außerdem sieht man sofort, dass in der Region außerhalb des Schwarzen Lochs

{ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2}<0, X>0}

${ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2}<0, X>0}”/> <dl> <dd><span class=$

{ displaystyle t = 4GM mathop { mathrm {arctanh}} (T / X)}

${ displaystyle t = 4GM mathop { mathrm {arctanh}} (T / X)}$

während in der Region innerhalb des Schwarzen Lochs

{ displaystyle 0<1, T>0}

${ displaystyle 0<1, T>0}”/> <dl> <dd><span class=$

{ displaystyle t = 4GM mathop { mathrm {arctanh}} (X / T)}

${ displaystyle t = 4GM mathop { mathrm {arctanh}} (X / T)}$

In diesen neuen Koordinaten ist die Metrik des Schwarzschild-Schwarzlochverteilers gegeben durch

{ displaystyle g = { frac {32G ^ {3} M ^ {3}} {r}} e ^ {- r / 2GM} (- dT ^ {2} + dX ^ {2}) + r ^ { 2} g _ { Omega},}

geschrieben unter Verwendung der (- + + +) Metrik-Signaturkonvention und wobei die Winkelkomponente der Metrik (die Riemannsche Metrik der 2-Kugel) ist:

{ displaystyle g _ { Omega} { stackrel { mathrm {def}} {=}} d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}}

Das Ausdrücken der Metrik in dieser Form zeigt deutlich, dass radiale Null-Geodäten dh mit Konstanten

{ displaystyle Omega = ( theta, phi)}

${ displaystyle Omega = ( theta, phi)}$ sind parallel zu einer der Linien

{ displaystyle T = pm X}

${ displaystyle T = pm X}$ . In den Schwarzschild-Koordinaten der Schwarzschild-Radius

{ displaystyle r_ {s} = 2GM}

${ displaystyle r_ {s} = 2GM}$ ist die radiale Koordinate des Ereignishorizonts

{ displaystyle r = r_ {s} = 2GM}

${ displaystyle r = r_ {s} = 2GM}$ . In den Kruskal-Szekeres-Koordinaten ist der Ereignishorizont gegeben durch

{ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} = 0}

${ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} = 0}$ . Beachten Sie, dass die Metrik am Ereignishorizont perfekt definiert und nicht singulär ist. Die Krümmungssingularität befindet sich bei

{ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} = 1}

$T ^ 2 - X ^ 2 = 1$ .

Die maximal verlängerte Schwarzschild-Lösung[edit]

Die Transformation zwischen Schwarzschild-Koordinaten und Kruskal-Szekeres-Koordinaten ist definiert für r > 2GMund −∞ t <∞, das ist der Bereich, für den die Schwarzschild-Koordinaten sinnvoll sind. In dieser Region jedoch r ist eine analytische Funktion von T. und X. und kann als analytische Funktion zumindest auf die erste Singularität erweitert werden, die bei auftritt

{ displaystyle T ^ {2} -X ^ {2} = 1}

$T ^ 2 - X ^ 2 = 1$ . Somit ist die obige Metrik eine Lösung von Einsteins Gleichungen in dieser Region. Die zulässigen Werte sind

{ displaystyle – infty

{ displaystyle – infty

Beachten Sie, dass diese Erweiterung davon ausgeht, dass die Lösung überall analytisch ist.

In der maximal erweiterten Lösung gibt es tatsächlich zwei Singularitäten bei r = 0, eins für positiv T. und eine für negativ T.. Das negative T. Singularität ist das zeitumgekehrte Schwarze Loch, das manchmal als a bezeichnet wird “weißes Loch”. Partikel können aus einem weißen Loch entweichen, aber niemals zurückkehren.

Die maximal erweiterte Schwarzschild-Geometrie kann in 4 Bereiche unterteilt werden, von denen jeder durch einen geeigneten Satz von Schwarzschild-Koordinaten abgedeckt werden kann. Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten decken dagegen die gesamte Raumzeit-Mannigfaltigkeit ab. Die vier Regionen sind durch Ereignishorizonte getrennt.

Die oben angegebene Transformation zwischen Schwarzschild- und Kruskal-Szekeres-Koordinaten gilt nur in den Regionen I und II. Eine ähnliche Transformation kann in den beiden anderen Regionen niedergeschrieben werden.

Die Schwarzschild-Zeitkoordinate t ist gegeben durch

{ displaystyle tanh left ({ frac {t} {4GM}} right) = { begin {case} T / X & { mbox {(in I und III)}} \ X / T & { mbox {(in II und IV)}} end {case}}}

In jeder Region läuft es von −∞ bis + ∞ mit den Unendlichkeiten am Ereignishorizont.

Basierend auf den Anforderungen, dass der Quantenprozess der Hawking-Strahlung einheitlich ist, schlug Hooft nicht vor^[1] dass die Regionen I und III sowie II und IV nur mathematische Artefakte sind, die aus der Auswahl von Zweigen für Wurzeln anstelle von Paralleluniversen stammen, und dass die Äquivalenzbeziehung

{ displaystyle (T, X, Omega) sim (-T, -X, – Omega)}

sollte auferlegt werden. Wenn wir uns Regionen III und IV mit sphärischen Koordinaten vorstellen, aber mit einer negativen Wahl für die zu berechnende Quadratwurzel

{ displaystyle r}

$r$ dann verwenden wir nur entsprechend entgegengesetzte Punkte auf der Kugel, um denselben Punkt im Raum zu bezeichnen, also z

{ displaystyle (t ^ {(I)}, r ^ {(I)}, Omega ^ {(I)}) = (t, r, Omega) sim (t ^ {(III)}, r ^ {(III)}, Omega ^ {(III)}) = (t, -r, – Omega)}

und

{ displaystyle r ^ {(I)} Omega ^ {(I)} = r ^ {(III)} Omega ^ {(III)} = r Omega}

${ displaystyle r ^ {(I)} Omega ^ {(I)} = r ^ {(III)} Omega ^ {(III)} = r Omega}$ . Da dies eine kostenlose Aktion der Gruppe ist

{ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}

$mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}$ Unter Beibehaltung der Metrik ergibt sich eine gut definierte Lorentzsche Mannigfaltigkeit. Es identifiziert das Limit

{ displaystyle t ^ {(II)} = – infty}

${ displaystyle t ^ {(II)} = - infty}$ des inneren Bereichs II entsprechend dem Koordinatenliniensegment

{ displaystyle T = -X, T> 0, X <0}

${ displaystyle T = -X, T> 0, X.<0}$ mit dem Limit

{ displaystyle t ^ {(I)} = – infty}

${ displaystyle t ^ {(I)} = - infty}$ des Außenbereichs I entsprechend

{ displaystyle T = -X, T.<0,X>0}

${ displaystyle T = -X, T.<0,X>0}”/>. Die Identifizierung bedeutet, dass während jedes Paar <span class=$

{ displaystyle (T, X) sim (-T, -X) neq (0,0)}

${ displaystyle (T, X) sim (-T, -X) neq (0,0)}$ entsprechen einer räumlichen Richtung auf einer Kugel, dem Punkt

{ displaystyle (T, X) = (0,0)}

${ displaystyle (T, X) = (0,0)}$ entspricht einer Linie, dh einem Punkt auf der Projektionsebene

{ displaystyle mathbf {RP} ^ {2} = S ^ {2} / pm}

${ displaystyle mathbf {RP} ^ {2} = S ^ {2} / pm}$ stattdessen und die Topologie der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit ist nicht mehr

{ displaystyle mathbb {R} ^ {4} – mathrm {line} = mathbb {R} ^ {2} times S ^ {2}}

${ displaystyle mathbb {R} ^ {4} - mathrm {line} = mathbb {R} ^ {2} times S ^ {2}}$ .

Qualitative Merkmale des Kruskal-Szekeres-Diagramms[edit]

Kruskal-Szekeres-Koordinaten weisen eine Reihe nützlicher Merkmale auf, die sie hilfreich machen, um Intuitionen über die Schwarzschild-Raumzeit zu erstellen. Das Wichtigste unter diesen ist die Tatsache, dass alle radialen lichtähnlichen Geodäten (die Weltlinien der Lichtstrahlen, die sich in radialer Richtung bewegen) in einem Kruskal-Szekeres-Diagramm wie gerade Linien in einem 45-Grad-Winkel aussehen (dies kann abgeleitet werden von die oben angegebene metrische Gleichung, die garantiert, dass wenn

{ displaystyle dX = pm dT ,}

$dX = plusmn dT ,$ dann die richtige Zeit

{ displaystyle ds = 0}

$ds = 0$ ).^[2] Alle zeitlichen Weltlinien von Objekten, die langsamer als Licht sind, weisen an jedem Punkt eine Neigung auf, die näher an der vertikalen Zeitachse liegt (die T. Koordinate) als 45 Grad. Ein in einem Kruskal-Szekeres-Diagramm gezeichneter Lichtkegel sieht also in spezieller Relativitätstheorie genauso aus wie ein Lichtkegel in einem Minkowski-Diagramm.

Die Ereignishorizonte, die die inneren Bereiche des Schwarzen Lochs und des Weißen Lochs begrenzen, sind ebenfalls ein Paar gerader Linien bei 45 Grad, was die Tatsache widerspiegelt, dass ein Lichtstrahl in radialer Richtung am Horizont emittiert wird (im Fall des Schwarzen Lochs nach außen gerichtet, nach innen gerichtet) im Falle des Weißen Lochs) würde für immer am Horizont bleiben. Somit fallen die beiden Horizonte des Schwarzen Lochs mit den Grenzen des zukünftigen Lichtkegels eines Ereignisses in der Mitte des Diagramms zusammen (at T.=X.= 0), während die beiden Horizonte des Weißen Lochs mit den Grenzen des vergangenen Lichtkegels desselben Ereignisses zusammenfallen. Jedes Ereignis innerhalb der inneren Region des Schwarzen Lochs hat einen zukünftigen Lichtkegel, der in dieser Region verbleibt (so dass jede Weltlinie innerhalb des zukünftigen Lichtkegels des Ereignisses schließlich die Singularität des Schwarzen Lochs trifft, die als Hyperbel erscheint, die von den beiden Schwarzen Löchern begrenzt wird Horizonte), und jedes Ereignis innerhalb der inneren Region des Weißen Lochs wird einen vergangenen Lichtkegel haben, der in dieser Region verbleibt (so dass jede Weltlinie innerhalb dieses vergangenen Lichtkegels aus der Singularität des weißen Lochs stammen muss, einer Hyperbel, die von den beiden Weißen begrenzt wird Lochhorizonte). Beachten Sie, dass, obwohl der Horizont so aussieht, als wäre er ein sich nach außen ausdehnender Kegel, die Fläche dieser Oberfläche durch gegeben ist r ist nur

{ displaystyle 16 pi M ^ {2}}

$16 pi M ^ 2$ , eine Konstante. Das heißt, diese Koordinaten können täuschen, wenn keine Sorgfalt angewendet wird.

Es kann lehrreich sein zu überlegen, welche Kurven konstant sind Schwarzschild Die Koordinate würde wie in einem Kruskal-Szekeres-Diagramm dargestellt aussehen. Es stellt sich heraus, dass Kurven konstant sind r-Koordinaten in Schwarzschild-Koordinaten sehen immer wie Hyperbeln aus, die durch ein Paar von Ereignishorizonten bei 45 Grad begrenzt sind, während Linien konstant sind t-Koordinaten in Schwarzschild-Koordinaten sehen immer wie gerade Linien in verschiedenen Winkeln aus, die durch die Mitte des Diagramms verlaufen. Der Ereignishorizont des Schwarzen Lochs, der an die Außenregion grenzt, würde mit einem Schwarzschild zusammenfallen t-Koordinate von + ∞, während der an diese Region angrenzende Ereignishorizont des Weißen Lochs mit einem Schwarzschild zusammenfallen würde t-Koordinate von −∞, was die Tatsache widerspiegelt, dass in Schwarzschild-Koordinaten ein infallierendes Teilchen eine unendliche Koordinatenzeit benötigt, um den Horizont zu erreichen (dh der Abstand des Teilchens vom Horizont nähert sich Null als Schwarzschild t-Koordinate nähert sich der Unendlichkeit), und ein Teilchen, das sich vom Horizont wegbewegt, muss es in der Vergangenheit eine unendliche Koordinatenzeit überschritten haben. Dies ist nur ein Artefakt der Definition von Schwarzschild-Koordinaten. Ein frei fallendes Teilchen benötigt nur eine begrenzte Zeit (Zeit gemessen an seiner eigenen Uhr), um zwischen einem externen Beobachter und einem Ereignishorizont zu wechseln. Wenn die Weltlinie des Teilchens im Kruskal-Szekeres-Diagramm gezeichnet ist, ist dies ebenfalls nur der Fall Nehmen Sie eine endliche Koordinatenzeit in Kruskal-Szekeres-Koordinaten.

Das Schwarzschild-Koordinatensystem kann nur einen einzelnen Außenbereich und einen einzelnen Innenbereich abdecken, z. B. die Bereiche I und II im Kruskal-Szekeres-Diagramm. Das Kruskal-Szekeres-Koordinatensystem kann dagegen a abdecken “maximal verlängert” Raumzeit, die die von Schwarzschild-Koordinaten abgedeckte Region umfasst. Hier, “maximal verlängert” bezieht sich auf die Idee, dass die Raumzeit keine haben sollte “Kanten”: Jeder geodätische Pfad kann beliebig weit in beide Richtungen ausgedehnt werden, es sei denn, er stößt auf eine Gravitationssingularität. Technisch bedeutet dies, dass entweder eine maximal verlängerte Raumzeit ist “geodätisch vollständig” (Das heißt, jede Geodät kann auf beliebig große positive oder negative Werte ihres ‘affinen Parameters’ erweitert werden.)^[3] was im Fall einer zeitlichen Geodät nur der richtige Zeitpunkt sein könnte) oder wenn eine Geodät unvollständig ist, kann dies nur daran liegen, dass sie mit einer Singularität endet.^[4]^[5] Um diese Anforderung zu erfüllen, wurde festgestellt, dass zusätzlich zu dem inneren Bereich des Schwarzen Lochs (Bereich II), in den Partikel eintreten, wenn sie von außen durch den Ereignishorizont fallen (Bereich I), ein separates Inneres des Weißen Lochs vorhanden sein muss Region (Region IV), die es uns ermöglicht, die Flugbahnen von Partikeln zu erweitern, die ein externer Beobachter aufsteigen sieht Weg vom Ereignishorizont aus zusammen mit einem separaten Außenbereich (Bereich III), der es uns ermöglicht, einige mögliche Teilchenbahnen in den beiden Innenbereichen zu erweitern. Es gibt tatsächlich mehrere Möglichkeiten, die äußere Schwarzschild-Lösung in eine maximal verlängerte Raumzeit zu erweitern, aber die Kruskal-Szekeres-Erweiterung ist insofern einzigartig, als es sich um eine maximale, analytische, einfach verbundene Vakuumlösung handelt, bei der alle maximal erweiterten Geodäten entweder vollständig oder nicht vollständig sind Der Krümmungsskalar divergiert in endlicher affiner Zeit entlang dieser.^[6]