Volterra-Integralgleichung – Wikipedia

In der Mathematik ist die Volterra-Integralgleichungen sind eine spezielle Art von Integralgleichungen.^[1] Sie sind in zwei Gruppen unterteilt, die als erste und zweite Art bezeichnet werden.

Eine lineare Volterra-Gleichung der ersten Art ist

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Umwandlung der Volterra-Gleichung der ersten Art in die zweite Art[edit]

Eine lineare Volterra-Gleichung der ersten Art kann immer auf eine lineare Volterra-Gleichung der zweiten Art reduziert werden, vorausgesetzt, dass

${ displaystyle K (t, t) neq 0}$

. Wenn wir die Ableitung der Volterra-Gleichung der ersten Art nehmen, erhalten wir:

Numerische Lösung nach Trapezregel[edit]

Eine Standardmethode zur Berechnung der numerischen Lösung einer linearen Volterra-Gleichung der zweiten Art ist die Trapezregel, die für gleich beabstandete Teilintervalle gilt

${ displaystyle Delta x}$

ist gegeben durch:

$${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) dx ungefähr { Delta x über {2}} left[f(x_{0})+2sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})right]}}$$

Unter der Annahme eines gleichen Abstands für die Teilintervalle kann die integrale Komponente der Volterra-Gleichung angenähert werden durch:

$${ displaystyle int _ {a} ^ {t} K (t, s) x (s) ds ungefähr { Delta s über {2}} left[K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1})+cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_{n})right]}}$$

Definieren

${ displaystyle x_ {i} = x (s_ {i})}$

,

${ displaystyle f_ {i} = f (t_ {i})}$

, und

${ displaystyle K_ {ij} = K (t_ {i}, s_ {j})}$

haben wir das System der linearen Gleichungen:

$${ displaystyle { begin {align} x_ {0} & = f_ {0} \ x_ {1} & = f_ {1} + { Delta s over {2}} left (K_ {10} x_ {0} + K_ {11} x_ {1} rechts) \ x_ {2} & = f_ {2} + { Delta s über {2}} links (K_ {20} x_ {0} + 2K_ {21} x_ {1} + K_ {22} x_ {2} rechts) \ & vdots \ x_ {n} & = f_ {n} + { Delta s über {2}} links (K_ {n0} x_ {0} + 2K_ {n1} x_ {1} + cdots + 2K_ {n, n-1} x_ {n-1} + K_ {nn} x_ {n} rechts) end {ausgerichtet}}}$$

Dies entspricht der Matrixgleichung:

$${ displaystyle x = f + Mx impliziert x = (IM) ^ {- 1} f}$$

Bei gut erzogenen Kerneln funktioniert die Trapezregel in der Regel gut.

Anwendung: Ruinentheorie[edit]

Ein Bereich, in dem Volterra-Integralgleichungen auftreten, ist die Ruinentheorie, die Untersuchung des Insolvenzrisikos in der Versicherungsmathematik. Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit des Ruins zu quantifizieren

${ displaystyle psi (u) = mathbb {P} [tau (u)$

, wo

${ displaystyle u}$

ist der anfängliche Überschuss und

${ displaystyle tau (u)}$

ist die Zeit des Ruins. Im klassischen Modell der Ruinentheorie die Nettobarposition

${ displaystyle X_ {t}}$

ist eine Funktion des anfänglichen Überschusses an Prämieneinnahmen, die zum Satz verdient werden

${ displaystyle c}$

und ausgehende Ansprüche

${ displaystyle xi}$

::

$${ displaystyle X_ {t} = u + ct- sum _ {i = 1} ^ {N_ {t}} xi _ {i}, quad t geq 0}$$

wo

${ displaystyle N_ {t}}$

ist ein Poisson-Verfahren für die Anzahl der Ansprüche mit Intensität

${ displaystyle lambda}$

. Unter diesen Umständen kann die Ruinwahrscheinlichkeit durch eine Volterra-Integralgleichung der Form dargestellt werden^[3]::

$${ displaystyle psi (u) = { lambda over {c}} int _ {u} ^ { infty} S (x) dx + { lambda over {c}} int _ {0} ^ {u} psi (ux) S (x) dx}$$

wo

${ displaystyle S ( cdot)}$

ist die Überlebensfunktion der Schadenverteilung.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

1. ^ Polyanin, Andrei D.; Manzhirov, Alexander V. (2008). Handbuch der Integralgleichungen (2. Aufl.). Boca Raton, FL: Chapman und Hall / CRC. ISBN 978-1584885078.
2. ^ Brunner, Hermann (2017). Volterra-Integralgleichungen: Eine Einführung in Theorie und Anwendungen. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge, Großbritannien: Cambridge University Press. ISBN 978-1107098725.
3. ^ “Vorlesungsunterlagen zur Risikotheorie” (PDF). Fakultät für Mathematik, Statistik und Versicherungsmathematik. Universität von Kent. 20. Februar 2010. S. 17–22.

Weiterführende Literatur[edit]

• Traian Lalescu, Einführung à la théorie des équations intégrales. Avec une préface de É. Picard, Paris: A. Hermann et Fils, 1912. VII + 152 pp.
• “Volterra-Gleichung”, Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. “Volterra Integralgleichung der ersten Art”. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. “Volterra-Integralgleichung der zweiten Art”. MathWorld.
• Integralgleichungen: Genaue Lösungen bei EqWorld: Die Welt der mathematischen Gleichungen
• Drücken Sie, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). “Abschnitt 19.2. Volterra-Gleichungen”. Numerische Rezepte: Die Kunst des wissenschaftlichen Rechnens (3. Aufl.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

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