Poincaré-Gruppe – Wikipedia

Das Poincaré-Gruppe, benannt nach Henri Poincaré (1906),^[1] wurde zuerst von Hermann Minkowski (1908) als die Gruppe der Minkowski-Raumzeitisometrien definiert.^[2][3] Es ist eine zehndimensionale nicht-abelsche Lie-Gruppe, die als Modell für unser Verständnis der grundlegendsten Grundlagen der Physik von Bedeutung ist. Zum Beispiel hat Sheldon Lee Glashow in einer Art und Weise, genau zu definieren, was ein subatomares Teilchen ist, zum Ausdruck gebracht, dass “Teilchen zumindest durch irreduzible Darstellungen der Poincaré-Gruppe beschrieben werden”.^[4]

Überblick[edit]

Eine Minkowski-Raumzeitisometrie hat die Eigenschaft, dass das Intervall zwischen Ereignissen unveränderlich bleibt. Wenn zum Beispiel alles um zwei Stunden verschoben würde, einschließlich der beiden Ereignisse und des Weges, den Sie gegangen sind, um von einem zum anderen zu gelangen, wäre das Zeitintervall zwischen den Ereignissen, die von einer von Ihnen mitgeführten Stoppuhr aufgezeichnet wurden, dasselbe. Oder wenn alles fünf Kilometer nach Westen verschoben oder um 60 Grad nach rechts gedreht würde, würde sich auch das Intervall nicht ändern. Es stellt sich heraus, dass die richtige Länge eines Objekts von einer solchen Verschiebung ebenfalls nicht betroffen ist. Eine Zeit- oder Raumumkehr (eine Reflexion) ist ebenfalls eine Isometrie dieser Gruppe.

Im Minkowski-Raum (dh ohne Berücksichtigung der Auswirkungen der Schwerkraft) gibt es zehn Freiheitsgrade der Isometrien, die als zeitliche oder räumliche Translation angesehen werden können (vier Grad, einer pro Dimension). Reflexion durch eine Ebene (drei Grad, die Orientierungsfreiheit dieser Ebene); oder ein “Boost” in einer der drei Raumrichtungen (drei Grad). Die Zusammensetzung von Transformationen ist die Operation der Poincaré-Gruppe, wobei geeignete Rotationen als Zusammensetzung einer geraden Anzahl von Reflexionen erzeugt werden.

In der klassischen Physik ist die galiläische Gruppe eine vergleichbare Zehn-Parameter-Gruppe, die auf die absolute Zeit und den absoluten Raum einwirkt. Anstelle von Boosts werden Scherabbildungen verwendet, um sich gemeinsam bewegende Referenzrahmen in Beziehung zu setzen.

Poincaré-Symmetrie[edit]

Poincaré-Symmetrie ist die volle Symmetrie der speziellen Relativitätstheorie. Es enthält:

Die letzten beiden Symmetrien, J. und K.bilden zusammen die Lorentz-Gruppe (siehe auch Lorentz-Invarianz); Das semi-direkte Produkt der Übersetzungsgruppe und der Lorentz-Gruppe ergibt dann die Poincaré-Gruppe. Objekte, die unter dieser Gruppe unveränderlich sind, sollen dann besitzen Poincaré-Invarianz oder relativistische Invarianz.

Poincaré-Gruppe[edit]

Die Poincaré-Gruppe ist die Gruppe der Minkowski-Raumzeitisometrien. Es ist eine zehndimensionale nicht kompakte Lie-Gruppe. Die abelsche Gruppe von Übersetzungen ist eine normale Untergruppe, während die Lorentz-Gruppe auch eine Untergruppe ist, der Stabilisator des Ursprungs. Die Poincaré-Gruppe selbst ist die minimale Untergruppe der affinen Gruppe, die alle Übersetzungen und Lorentz-Transformationen umfasst. Genauer gesagt ist es ein halbdirektes Produkt der Übersetzungen und der Lorentz-Gruppe.

${ displaystyle mathbf {R} ^ {1,3} rtimes mathrm {O} (1,3) ,,}$

mit Gruppenmultiplikation

${ displaystyle ( alpha, f) cdot ( beta, g) = ( alpha + f cdot beta, ; f cdot g)}$

.^[5]

Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, besteht darin, dass die Poincaré-Gruppe eine Gruppenerweiterung der Lorentz-Gruppe durch eine Vektordarstellung davon ist; es wird manchmal informell als das bezeichnet inhomogene Lorentz-Gruppe. Dies kann wiederum auch als Gruppenkontraktion der De-Sitter-Gruppe SO (4,1) ~ Sp (2,2) erhalten werden, wenn der De-Sitter-Radius gegen unendlich geht.

Seine einheitlichen irreduziblen Darstellungen mit positiver Energie werden durch Masse (nichtnegative Zahl) und Spin (ganze oder halbe ganze Zahl) indiziert und mit Teilchen in der Quantenmechanik assoziiert (siehe Wigner-Klassifikation).

In Übereinstimmung mit dem Erlangen-Programm wird die Geometrie des Minkowski-Raums von der Poincaré-Gruppe definiert: Der Minkowski-Raum wird als homogener Raum für die Gruppe betrachtet.

In der Quantenfeldtheorie die universelle Abdeckung der Poincaré-Gruppe

${ displaystyle mathbf {R} ^ {1,3} rtimes mathrm {SL} (2, mathbf {C}),}$

die mit der doppelten Abdeckung identifiziert werden kann

${ displaystyle mathbf {R} ^ {1,3} rtimes mathrm {Spin} (1,3),}$

ist wichtiger, weil Darstellungen von

sind nicht in der Lage, Felder mit Spin 1/2, dh Fermionen, zu beschreiben. Hier

ist die Gruppe der komplexen

Matrizen mit Einheitsdeterminante, isomorph zur Lorentz-Signatur-Spingruppe

.

Poincaré-Algebra[edit]

Das Poincaré-Algebra ist die Lie-Algebra der Poincaré-Gruppe. Es ist eine Lie-Algebra-Erweiterung der Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe. Genauer gesagt, die richtige (det Λ = 1), orthochron (Λ⁰₀ ≥ 1) Teil der Lorentz-Untergruppe (ihre Identitätskomponente), DAMIT⁺(1, 3)ist mit der Identität verbunden und wird somit durch die Potenzierung bereitgestellt exp (ia_μP.^μ) exp (iω_μνM.^μν/ 2) dieser Lie-Algebra. In Komponentenform ist die Poincaré-Algebra durch die Kommutierungsrelationen gegeben:^[6][7]

wo P. ist der Generator von Übersetzungen, M. ist der Generator von Lorentz-Transformationen, und η ist die (+, -, -, -) Minkowski-Metrik (siehe Vorzeichenkonvention).

Die untere Kommutierungsrelation ist die (“homogene”) Lorentz-Gruppe, bestehend aus Rotationen, J._ich = ϵ_imnM.^mn/ 2und steigert, K._ich = M._ich0. In dieser Notation ist die gesamte Poincaré-Algebra in nichtkovarianter (aber praktischer) Sprache als ausgedrückt

${ displaystyle [J_{m},P_{n}]= i epsilon _ {mnk} P_ {k} ~,}$

${ displaystyle [J_{i},P_{0}]= 0 ~,}$

${ displaystyle [K_{i},P_{k}]= i eta _ {ik} P_ {0} ~,}$

${ displaystyle [K_{i},P_{0}]= -iP_ {i} ~,}$

${ displaystyle [J_{m},J_{n}]= i epsilon _ {mnk} J_ {k} ~,}$

${ displaystyle [J_{m},K_{n}]= i epsilon _ {mnk} K_ {k} ~,}$

${ displaystyle [K_{m},K_{n}]= -i epsilon _ {mnk} J_ {k} ~,}$

wobei der untere Kommutator von zwei Boosts oft als “Wigner-Rotation” bezeichnet wird. Die Vereinfachung [J_m + i K_m , J_n − i K_n] = 0 erlaubt die Reduktion der Lorentz-Subalgebra auf su(2) ⊕ su(2) und effiziente Behandlung der damit verbundenen Darstellungen. In Bezug auf die physikalischen Parameter haben wir

${ displaystyle left[{mathcal {H}},p_{i}right]= 0}$

${ displaystyle left[{mathcal {H}},L_{i}right]= 0}$

${ displaystyle left[{mathcal {H}},K_{i}right]= i hbar cp_ {i}}$

${ displaystyle left[p_{i},p_{j}right]= 0}$

${ displaystyle left[p_{i},L_{j}right]= i hbar epsilon _ {ijk} p_ {k}}$

${ displaystyle left[p_{i},K_{j}right]= { frac {i hbar} {c}} { mathcal {H}} delta _ {ij}}$

${ displaystyle left[L_{i},L_{j}right]= i hbar epsilon _ {ijk} L_ {k}}$

${ displaystyle left[L_{i},K_{j}right]= i hbar epsilon _ {ijk} K_ {k}}$

${ displaystyle left[K_{i},K_{j}right]= -i hbar epsilon _ {ijk} L_ {k}}$

Die Casimir-Invarianten dieser Algebra sind P._μP.^μ und W._μW.^μ wo W._μ ist der Pauli-Lubanski-Pseudovektor; Sie dienen als Bezeichnungen für die Darstellungen der Gruppe.

Die Poincaré-Gruppe ist die vollständige Symmetriegruppe jeder relativistischen Feldtheorie. Infolgedessen fallen alle Elementarteilchen in Darstellungen dieser Gruppe. Diese werden in der Regel von der Vier-Momentum Quadrat jedes Teilchens (dh seine Masse im Quadrat) und die intrinsischen Quantenzahlen J.^PC, wo J. ist die Spinquantenzahl, P. ist die Parität und C. ist die Ladungskonjugationsquantenzahl. In der Praxis werden Ladungskonjugation und Parität von vielen Quantenfeldtheorien verletzt; wo dies geschieht, P. und C. verfallen. Da die CPT-Symmetrie in der Quantenfeldtheorie unveränderlich ist, kann aus den angegebenen eine Zeitumkehrquantenzahl konstruiert werden.

Als topologischer Raum besteht die Gruppe aus vier miteinander verbundenen Komponenten: der Komponente der Identität; die zeitumgekehrte Komponente; die räumliche Inversionskomponente; und die Komponente, die sowohl zeitumgekehrt als auch räumlich invertiert ist.

Andere Abmessungen[edit]

Die obigen Definitionen können auf einfache Weise auf beliebige Dimensionen verallgemeinert werden. Das d-dimensionale Poincaré-Gruppe wird analog durch das semi-direkte Produkt definiert

${ displaystyle mathrm {IO} (1, d-1): = mathbf {R} ^ {1, d-1} rtimes mathrm {O} (1, d-1)}$

mit der analogen Multiplikation

${ displaystyle ( alpha, f) cdot ( beta, g) = ( alpha + f cdot beta, ; f cdot g)}$

.^[5]

Die Lie-Algebra behält ihre Form mit Indizes µ und ν Nehmen Sie jetzt Werte zwischen 0 und d – 1. Die alternative Darstellung in Bezug auf J._ich und K._ich hat kein Analogon in höheren Dimensionen.

Super-Poincaré-Algebra[edit]

Eine verwandte Beobachtung ist, dass die Darstellungen der Lorentz-Gruppe ein Paar inäquivalenter zweidimensionaler komplexer Spinordarstellungen enthalten

und

dessen Tensorprodukt

ist die nebenstehende Darstellung. Man kann dieses letzte Bit mit dem vierdimensionalen Minkowski-Raum selbst identifizieren (im Gegensatz zur Identifizierung mit einem Spin-1-Teilchen, wie dies normalerweise für ein Paar Fermionen geschehen würde, z. B. ein Pion, das aus einem Quark-Anti-Quark-Paar besteht ). Dies deutet stark darauf hin, dass es möglich sein könnte, die Poincaré-Algebra auch auf Spinoren auszudehnen. Dies führt direkt zum Begriff der Super-Poincaré-Algebra. Der mathematische Reiz dieser Idee besteht darin, dass man mit den grundlegenden Darstellungen anstelle der angrenzenden Darstellungen arbeitet. Der physikalische Reiz dieser Idee besteht darin, dass die grundlegenden Darstellungen Fermionen entsprechen, die in der Natur gesehen werden. Bisher kann jedoch die implizite Supersymmetrie einer Symmetrie zwischen räumlicher und fermionischer Richtung in der Natur nicht experimentell gesehen werden. Das experimentelle Problem kann grob als die Frage ausgedrückt werden: Wenn wir in der adjungierten Repräsentation (Minkowski-Raumzeit) leben, wo versteckt sich dann die fundamentale Repräsentation?

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]