Apérys Konstante – Wikipedia

Posted on January 7, 2021 by lordneo

Summe der Umkehrungen der positiven Würfel

In der Mathematik, an der Schnittstelle von Zahlentheorie und Sonderfunktionen, Apéry ist konstant ist die Summe der Kehrwerte der positiven Würfel. Das heißt, es ist als die Nummer definiert

ζ((3)=∑n=1∞1n3=limn→∞((113+123+⋯+1n3){ displaystyle { begin {align} zeta (3) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {3}}} \ & = lim _ {n to infty} left ({ frac {1} {1 ^ {3}}} + { frac {1} {2 ^ {3}}} + cdots + { frac {1} { n ^ {3}}} right) end {align}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da594fb4e76db37198726b4b047cf6c019d7d231" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle { begin {align} zeta (3) &amp; = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {3}}} \ &amp; = lim _ {n to infty} left ({ frac {1} {1 ^ {3}}} + { frac {1} {2 ^ {3}}} + cdots + { frac {1} { n ^ {3}}} right) end {align}}}" width="15772.4" height="5673">

wo $ζ$ ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Es hat einen ungefähren Wert von

ζ (3) = 1.20205 6903159594285399738161511449990764986292 \dots

(Reihenfolge A002117 in der OEIS).

Die Konstante ist nach Roger Apéry benannt. Es tritt natürlich bei einer Reihe physikalischer Probleme auf, einschließlich der Terme zweiter und dritter Ordnung des gyromagnetischen Verhältnisses des Elektrons unter Verwendung der Quantenelektrodynamik. Dies tritt auch bei der Analyse zufälliger minimaler Spannbäume und in Verbindung mit der Gammafunktion auf, wenn bestimmte Integrale mit Exponentialfunktionen in einem Quotienten gelöst werden, die gelegentlich in der Physik auftreten, beispielsweise bei der Bewertung des zweidimensionalen Falls des Debye-Modells und des Stefan –Boltzmann-Gesetz.

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Irrationale Zahl[edit]

$ζ (3)$ nannte sich Apéry ist konstant nach dem französischen Mathematiker Roger Apéry, der 1978 bewies, dass es sich um eine irrationale Zahl handelt. Dieses Ergebnis ist bekannt als Apérys Theorem. Der ursprüngliche Beweis ist komplex und schwer zu erfassen, und einfachere Beweise wurden später gefunden.^[5]

Beukers vereinfachter Irrationalitätsbeweis beinhaltet die Approximation des Integranden des bekannten Dreifachintegrals für $ζ (3)$ ,

ζ((3)=∫01∫01∫0111– –xyzdxdydz,{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1-xyz} } , dx , dy , dz,} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a607882ccd7a36174a9b003942cda353dff4dd6e" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1-xyz} } , dx , dy , dz,}" width="15639.1" height="2659.1">

durch die Legendre-Polynome. Insbesondere der Artikel von van der Poorten dokumentiert diesen Ansatz, indem er dies feststellt

ich3: =– –12∫01∫01P.n((x)P.n((y)Log⁡((xy)1– –xydxdy=bnζ((3)– –einn,{ displaystyle I_ {3}: = – { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {P_ {n} (x ) P_ {n} (y) log (xy)} {1-xy}} , dx , dy = b_ {n} zeta (3) -a_ {n},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035b371725c6771c2b033643b440d861147ee29d" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle I_ {3}: = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {P_ {n} (x ) P_ {n} (y) log (xy)} {1-xy}} , dx , dy = b_ {n} zeta (3) -a_ {n},}" width="25338.1" height="2659.1">

|ich|≤ζ((3)((1– –2)4n{ displaystyle | I | leq zeta (3) (1 – { sqrt {2}}) ^ {4n}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715f01a480083f3cc5f5c2ed7c9188a5750e99de" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle | I | leq zeta (3) (1 - { sqrt {2}}) ^ {4n}}" width="8861.5" height="1367.4">$ ,

P.n((z){ displaystyle P_ {n} (z)}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf7412371edf4987653da2ae8388906ee1a0d4d" aria-hidden="true" alt="P_ {n} (z)" width="2414.6" height="1223.9">$ sind die Legendre-Polynome und die Teilsequenzen

bn,2lcm⁡((1,2,…,n)⋅einn∈Z.{ displaystyle b_ {n}, 2 operatorname {lcm} (1,2, ldots, n) cdot a_ {n} in mathbb {Z}}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0c796db517b989a6ea1fa055397aa5120283d1" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle b_ {n}, 2 operatorname {lcm} (1,2, ldots, n) cdot a_ {n} in mathbb {Z}}" width="12345.7" height="1223.9">$ sind ganze oder fast ganze Zahlen.

Es ist immer noch nicht bekannt, ob Apérys Konstante transzendent ist.

Seriendarstellungen[edit]

Klassik[edit]

Neben der Grundreihe:

ζ((3)=∑k=1∞1k3,{ displaystyle zeta (3) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3}}},} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dece34933346dc25ec6d9b68ce93f2b2c82859a8" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3}}},}" width="6310.1" height="2946.1">

Leonhard Euler gab die Serienrepräsentation:

ζ((3)=π27((1– –4∑k=1∞ζ((2k)22k((2k+1)((2k+2)){ displaystyle zeta (3) = { frac { pi ^ {2}} {7}} left (1-4 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { zeta ( 2k)} {2 ^ {2k} (2k + 1) (2k + 2)}} right)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2175db573c41d97794a93018bee4e7ec440fb118" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac { pi ^ {2}} {7}} left (1-4 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { zeta ( 2k)} {2 ^ {2k} (2k + 1) (2k + 2)}} right)}" width="18958.9" height="3233.2">

1772, die später mehrmals wiederentdeckt wurde.

Andere klassische Seriendarstellungen umfassen:

ζ((3)=87∑k=0∞1((2k+1)3ζ((3)=43∑k=0∞((– –1)k((k+1)3{ displaystyle { begin {align} zeta (3) & = { frac {8} {7}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + 1 ) ^ {3}}} \ zeta (3) & = { frac {4} {3}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k }} {(k + 1) ^ {3}}} end {align}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b3f227c66d88fb380cca241fcb9f4555f9d23a" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle { begin {align} zeta (3) &amp; = { frac {8} {7}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + 1 ) ^ {3}}} \ zeta (3) &amp; = { frac {4} {3}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k }} {(k + 1) ^ {3}}} end {align}}}" width="10385.3" height="6103.5">

Schnelle Konvergenz[edit]

Seit dem 19. Jahrhundert haben eine Reihe von Mathematikern Konvergenzbeschleunigungsreihen zur Berechnung von Dezimalstellen von gefunden $ζ (3)$ . Seit den 1990er Jahren konzentriert sich diese Suche auf rechnerisch effiziente Reihen mit schnellen Konvergenzraten (siehe Abschnitt “Bekannte Ziffern”).

Die folgende Seriendarstellung wurde 1890 von AA Markov gefunden, 1953 von Hjortnaes wiederentdeckt und 1979 erneut entdeckt und von Apéry weithin beworben:

ζ((3)=52∑k=1∞((– –1)k– –1k!2((2k)!k3{ displaystyle zeta (3) = { frac {5} {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k-1} { frac {k! ^ { 2}} {(2k)! K ^ {3}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c5a0006b733efc0d94f81db5f6a4cccb642377" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac {5} {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k-1} { frac {k! ^ { 2}} {(2k)! K ^ {3}}}}" width="12402.8" height="2946.1">

Die folgende Seriendarstellung ergibt (asymptotisch) 1,43 neue korrekte Dezimalstellen pro Term:

ζ((3)=14∑k=1∞((– –1)k– –1((k– –1)!3((56k2– –32k+5)((2k– –1)2((3k)!{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {4}} sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k-1} { frac {(k-1 )! ^ {3} (56k ^ {2} -32k + 5)} {(2k-1) ^ {2} (3k)!}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91341ca5a070f4199374d0d4e0ac84ae85ab7a2" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {4}} sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k-1} { frac {(k-1 )! ^ {3} (56k ^ {2} -32k + 5)} {(2k-1) ^ {2} (3k)!}}}" width="20328.5" height="3017.9">

Die folgende Seriendarstellung ergibt (asymptotisch) 3,01 neue korrekte Dezimalstellen pro Term:

ζ((3)=164∑k=0∞((– –1)kk!10((205k2+250k+77)((2k+1)!5{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {64}} sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {k! ^ {10} (205k ^ {2} + 250k + 77)} {(2k + 1)! ^ {5}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e1acbf7538672ac9087e9378241cf3d2cfdb37" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {64}} sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {k! ^ {10} (205k ^ {2} + 250k + 77)} {(2k + 1)! ^ {5}}}}" width="19277.6" height="3089.6">

Die folgende Seriendarstellung ergibt (asymptotisch) 5,04 neue korrekte Dezimalstellen pro Term:^[12]

ζ((3)=124∑k=0∞((– –1)k((2k+1)!3((2k)!3k!3((126392k5+412708k4+531578k3+336367k2+104000k+12463)((3k+2)!((4k+3)!3{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {24}} sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {(2k + 1)! ^ {3} (2k)! ^ {3} k! ^ {3} (126392k ^ {5} + 412708k ^ {4} + 531578k ^ {3} + 336367k ^ {2} + 104000k + 12463)} {( 3k + 2)! (4k + 3)! ^ {3}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca73c4f245e08c314702c421198e4ca1de6b7175" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {24}} sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {(2k + 1)! ^ {3} (2k)! ^ {3} k! ^ {3} (126392k ^ {5} + 412708k ^ {4} + 531578k ^ {3} + 336367k ^ {2} + 104000k + 12463)} {( 3k + 2)! (4k + 3)! ^ {3}}}}" width="45822.5" height="3089.6">

Es wurde verwendet, um die Apéry-Konstante mit mehreren Millionen korrekten Dezimalstellen zu berechnen.^[13]

Die folgende Seriendarstellung ergibt (asymptotisch) 3,92 neue korrekte Dezimalstellen pro Term:

ζ((3)=12∑k=0∞((– –1)k((2k)!3((k+1)!6((40885k5+124346k4+150160k3+89888k2+26629k+3116)((k+1)2((3k+3)!4{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} (2k)! ^ {3} (k + 1)! ^ {6} (40885k ^ {5} + 124346k ^ {4} + 150160k ^ {3} + 89888k ^ {2} + 26629k + 3116)} {(k + 1) ^ {2} (3k + 3)! ^ {4}}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a870ea0e790bd2a66cf5a3868fbb20426c33e818" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} (2k)! ^ {3} (k + 1)! ^ {6} (40885k ^ {5} + 124346k ^ {4} + 150160k ^ {3} + 89888k ^ {2} + 26629k + 3116)} {(k + 1) ^ {2} (3k + 3)! ^ {4}}}}" width="41898.9" height="3089.6">

Ziffer für Ziffer[edit]

Im Jahr 1998 gab Broadhurst eine serielle Darstellung, mit der beliebige Binärziffern berechnet werden können und somit die Konstante in nahezu linearer Zeit und im logarithmischen Raum erhalten werden kann.

Andere[edit]

Die folgende Seriendarstellung wurde von Ramanujan gefunden:^[16]

ζ((3)=7180π3– –2∑k=1∞1k3((e2πk– –1){ displaystyle zeta (3) = { frac {7} {180}} pi ^ {3} -2 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ { 3} (e ^ {2 pi k} -1)}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b786732ab9ec65d7792e594026e43d1cb659188c" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac {7} {180}} pi ^ {3} -2 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ { 3} (e ^ {2 pi k} -1)}}}" width="15008.7" height="2946.1">

Die folgende Seriendarstellung wurde 1998 von Simon Plouffe gefunden:

ζ((3)=14∑k=1∞1k3sinh⁡((πk)– –112∑k=1∞1k3((e2πk– –1)– –72∑k=1∞1k3((e2πk+1).{ displaystyle zeta (3) = 14 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} sinh ( pi k)}} – { frac {11 } {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} (e ^ {2 pi k} -1)}} – { frac {7 } {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} (e ^ {2 pi k} +1)}}.} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a635829fa91f7836543b702107efae1cf6e90288" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = 14 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} sinh ( pi k)}} - { frac {11 } {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} (e ^ {2 pi k} -1)}} - { frac {7 } {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} (e ^ {2 pi k} +1)}}.}" width="30592.6" height="2946.1">

Srivastava (2000) sammelte viele Serien, die zur Apéry-Konstante konvergieren.

Integrale Darstellungen[edit]

Es gibt zahlreiche integrale Darstellungen für Apérys Konstante. Einige von ihnen sind einfach, andere komplizierter.

Einfache Formeln[edit]

Zum Beispiel folgt dieser aus der Summationsdarstellung für Apérys Konstante:

ζ((3)=∫01∫01∫0111– –xyzdxdydz{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1-xyz}} , dx , dy , dz} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c28b1b5b7d0b05949ddeb61792dcc249cd9cc1" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1-xyz}} , dx , dy , dz}" width="14693.9" height="2659.1">

Die nächsten beiden folgen direkt aus den bekannten Integralformeln für die Riemannsche Zeta-Funktion:

ζ((3)=12∫0∞x2ex– –1dx{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2}} {e ^ {x} -1}} , dx} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89f6b787f601afe234766580d7f88d6fe688f4b" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2}} {e ^ {x} -1}} , dx}" width="10464.7" height="2659.1">

und

ζ((3)=23∫0∞x2ex+1dx{ displaystyle zeta (3) = { frac {2} {3}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2}} {e ^ {x} +1}} , dx} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912d40617379abaab8ebb6f2cd811a4104abafdf" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac {2} {3}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2}} {e ^ {x} +1}} , dx}" width="10464.7" height="2659.1">

Dieser folgt aus einer Taylor-Erweiterung von $χ 3 ((e ix)$ Über $x = \pm π /. 2$ , wo $χ ν ((z)$ ist die Legendre Chi Funktion:

ζ((3)=47∫0π2xLog⁡((sek⁡x+bräunen⁡x)dx{ displaystyle zeta (3) = { frac {4} {7}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} x log {( sec {x} + tan {x})} , dx} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ceab417f272ce1a19a291d0199e583dd56c3513" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac {4} {7}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} x log {( sec {x} + tan {x})} , dx}" width="15787.3" height="2802.6">

Beachten Sie die Ähnlichkeit mit

G=12∫0π2Log⁡((sek⁡x+bräunen⁡x)dx{ displaystyle G = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} log {( sec {x} + tan {x})} , dx} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19ade34a781627fb153c3ff2a192ac488b6e926" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle G = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} log {( sec {x} + tan {x})} , dx}" width="14083.7" height="2802.6">

wo $G$ ist die katalanische Konstante.

Kompliziertere Formeln[edit]

Andere Formeln umfassen:

ζ((3)=π∫0∞cos⁡((2Arctan⁡x)((x2+1)((cosh⁡12πx)2dx{ displaystyle zeta (3) = pi ! ! int _ {0} ^ { infty} ! { frac { cos (2 arctan {x})} { left (x ^ { 2} +1 rechts) links ( cosh { frac {1} {2}} pi x rechts) ^ {2}}} , dx} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1208097da126d40d8b2f63d3d6e6031a9391f8b" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = pi ! ! int _ {0} ^ { infty} ! { frac { cos (2 arctan {x})} { left (x ^ { 2} +1 rechts) links ( cosh { frac {1} {2}} pi x rechts) ^ {2}}} , dx}" width="15972" height="3304.9">

und,

ζ((3)=– –12∫01∫01Log⁡((xy)1– –xydxdy=– –∫01∫01Log⁡((1– –xy)xydxdy{ displaystyle zeta (3) = – { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac { log (xy)} {, 1-xy ,}} , dx , dy = – int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac { log (1-xy)} {, xy ,}} , dx , dy} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0767675b933a2fa22b5ec454eb7bfcf7bc6b0e4b" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac { log (xy)} {, 1-xy ,}} , dx , dy = - int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac { log (1-xy)} {, xy ,}} , dx , dy}" width="26830.5" height="2659.1">

Wenn man diese beiden Formeln mischt, kann man erhalten:

ζ((3)=∫01Log⁡((x)Log⁡((1– –x)xdx{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, x ,}} , dx} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a067c9996aa5051ae46a3f78c5e043c63a35221e" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, x ,}} , dx}" width="13208" height="2659.1">

Durch Symmetrie

ζ((3)=∫01Log⁡((x)Log⁡((1– –x)1– –xdx{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, 1-x ,}} , dx} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575599b46ff55bb01fc0a285f669aab213e1e33c" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, 1-x ,}} , dx}" width="13208" height="2659.1">

Beide zusammenfassen,

ζ((3)=12∫01Log⁡((x)Log⁡((1– –x)x((1– –x)dx{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, x (1-x) ,}} , dx}

$<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c5afd9d79a82b24fd105d9a6fe0faefd969151" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, x (1-x) ,}} , dx}" width="14235.2" height="2802.6">$ .

Ebenfalls,

ζ((3)=8π27∫01x((x4– –4x2+1)Log⁡Log⁡1x((1+x2)4dx=8π27∫1∞x((x4– –4x2+1)Log⁡Log⁡x((1+x2)4dx{ displaystyle { begin {align} zeta (3) & = { frac {8 pi ^ {2}} {7}} ! ! int _ {0} ^ {1} ! { frac {x left (x ^ {4} -4x ^ {2} +1 right) log log { frac {1} {x}}} {, (1 + x ^ {2}) ^ {4} ,}} , dx \ & = { frac {8 pi ^ {2}} {7}} ! ! Int _ {1} ^ { infty} ! { Frac {x left (x ^ {4} -4x ^ {2} +1 right) log log {x}} {, (1 + x ^ {2}) ^ {4} ,}} , dx end {align}}} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1ac9cf5d62e3760d6f9b23e1446d7d90ad29da" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle { begin {align} zeta (3) &amp; = { frac {8 pi ^ {2}} {7}} ! ! int _ {0} ^ {1} ! { frac {x left (x ^ {4} -4x ^ {2} +1 right) log log { frac {1} {x}}} {, (1 + x ^ {2}) ^ {4} ,}} , dx \ &amp; = { frac {8 pi ^ {2}} {7}} ! ! Int _ {1} ^ { infty} ! { Frac {x left (x ^ {4} -4x ^ {2} +1 right) log log {x}} {, (1 + x ^ {2}) ^ {4} ,}} , dx end {align}}}" width="19409.2" height="6103.5">

Eine Verbindung zu den Ableitungen der Gammafunktion

ζ((3)=– –12Γ‴((1)+32Γ‘((1)Γ″((1)– –((Γ‘((1))3=– –12ψ((2)((1){ displaystyle zeta (3) = – { tfrac {1} {2}} Gamma ” ‘(1) + { tfrac {3} {2}} Gamma’ (1) Gamma ” ( 1) – { big (} Gamma ‘(1) { big)} ^ {3} = – { tfrac {1} {2}} , psi ^ {(2)} (1)} <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939d5b15b718faf94063c8276ea00a836b166b46" aria-hidden="true" alt="{ displaystyle zeta (3) = - { tfrac {1} {2}} Gamma '' '(1) + { tfrac {3} {2}} Gamma' (1) Gamma '' ( 1) - { big (} Gamma '(1) { big)} ^ {3} = - { tfrac {1} {2}} , psi ^ {(2)} (1)}" width="24420.7" height="1654.5">

ist auch sehr nützlich für die Ableitung verschiedener Integraldarstellungen über die bekannten Integralformeln für die Gamma- und Polygammafunktionen.

Bekannte Ziffern[edit]

Die Anzahl der bekannten Ziffern der Apéry-Konstante $ζ (3)$ hat in den letzten Jahrzehnten dramatisch zugenommen. Dies ist sowohl auf die zunehmende Leistung von Computern als auch auf algorithmische Verbesserungen zurückzuführen.

Anzahl der bekannten Dezimalstellen der Apéry-Konstante $ζ (3)$
Datum	Dezimalziffern	Berechnung durchgeführt von
1735	16	Leonhard Euler
Unbekannt	16	Adrien-Marie Legendre
1887	32	Thomas Joannes Stieltjes
1996	520000	Greg J. Fee und Simon Plouffe
1997	1000000	Bruno Haible und Thomas Papanikolaou
Mai 1997	10536006	Patrick Demichel
Februar 1998	14000074	Sebastian Wedeniwski
März 1998	32000213	Sebastian Wedeniwski
Juli 1998	64000091	Sebastian Wedeniwski
Dezember 1998	128000026	Sebastian Wedeniwski
September 2001	200001000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februar 2002	600001000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februar 2003	1000000000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
April 2006	10000000000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
21. Januar 2009	15510000000	Alexander J. Yee und Raymond Chan
15. Februar 2009	31026000000	Alexander J. Yee und Raymond Chan
17. September 2010	100000001000	Alexander J. Yee
23. September 2013	200000001000	Robert J. Setti
7. August 2015	250000000000	Ron Watkins
21. Dezember 2015	400000000000	Dipanjan Nag
13. August 2017	500000000000	Ron Watkins
26. Mai 2019	1000000000000	Ian Cutress^[26]
26. Juli 2020	1200000000100	Seungmin Kim^[27]^[28]

Gegenseitig[edit]

Der Kehrwert von $ζ (3)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei zufällig ausgewählte positive ganze Zahlen relativ prim sind (in dem Sinne, dass as $N.$ geht ins Unendliche, die Wahrscheinlichkeit, dass drei positive ganze Zahlen kleiner als sind $N.$ einheitlich zufällig gewählt wird relativ primär nähert sich dieser Wert).

Erweiterung auf $ζ (2 n + 1)$ [edit]

Viele Leute haben versucht, Apérys Beweis dafür zu erweitern $ζ (3)$ ist irrational zu anderen Werten der Zeta-Funktion mit ungeraden Argumenten. Unendlich viele Zahlen $ζ (2 n + 1)$ muss irrational sein und mindestens eine der Zahlen $ζ (5)$ , $ζ (7)$ , $ζ (9)$ , und $ζ (11)$ muss irrational sein.

Siehe auch[edit]

^ Beukers (1979); Zudilin (2002).
^ Wedeniwski (1998); Wedeniwski (2001). In seiner Botschaft an Simon Plouffe stellt Sebastian Wedeniwski fest, dass er diese Formel von Amdeberhan & Zeilberger (1997) abgeleitet hat. Das Entdeckungsjahr (1998) wird in erwähnt Simon Plouffe’s Tabelle der Aufzeichnungen (8. April 2001).
^ Wedeniwski (1998); Wedeniwski (2001).
^ Berndt (1989, Kapitel 14, Formeln 25.1 und 25.3).
^ Mit y-cruncher gesetzte Rekordeabgerufen 8. Juni 2019
^ Mit y-cruncher gesetzte Rekorde, archiviert von das Original am 10.08.2020abgerufen 10. August 2020
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Verweise[edit]

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Weiterführende Literatur[edit]

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Externe Links[edit]

Dieser Artikel enthält Material von Apéry ist konstant auf PlanetMath, das unter der Creative Commons Attribution / Share-Alike-Lizenz lizenziert ist.

Apérys Konstante – Wikipedia

Irrationale Zahl[edit]