Malliavin-Kalkül – Wikipedia

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandten Bereichen, Malliavin-Kalkül ist eine Reihe mathematischer Techniken und Ideen, die das mathematische Feld der Variationsrechnung von deterministischen Funktionen auf stochastische Prozesse erweitern. Insbesondere ermöglicht es die Berechnung von Ableitungen von Zufallsvariablen. Malliavin-Kalkül wird auch als bezeichnet stochastische Variationsrechnung. P. Malliavin initiierte zuerst die Berechnung des unendlichen dimensionalen Raums. Dann vervollständigten die bedeutenden Mitwirkenden wie S. Kusuoka, D. Stroock, Bismut, S. Watanabe, I. Shigekawa usw. schließlich die Grundlagen.

Der Malliavin-Kalkül ist nach Paul Malliavin benannt, dessen Ideen zu einem Beweis führten, dass Hörmanders Zustand die Existenz und Glätte einer Dichte für die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung impliziert; Hörmanders ursprünglicher Beweis basierte auf der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Kalkül wurde auch auf stochastische partielle Differentialgleichungen angewendet.

Der Kalkül ermöglicht die Integration von Teilen mit Zufallsvariablen; Diese Operation wird in der mathematischen Finanzwelt verwendet, um die Sensitivitäten von Finanzderivaten zu berechnen. Der Kalkül findet beispielsweise Anwendungen in der stochastischen Filterung.

Überblick und Geschichte[edit]

Malliavin führte den Malliavin-Kalkül ein, um einen stochastischen Beweis dafür zu liefern, dass Hörmanders Zustand die Existenz einer Dichte für die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung impliziert; Hörmanders ursprünglicher Beweis basierte auf der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Sein Kalkül ermöglichte es Malliavin, Regelmäßigkeitsgrenzen für die Dichte der Lösung zu beweisen. Der Kalkül wurde auf stochastische partielle Differentialgleichungen angewendet.

Invarianzprinzip[edit]

Das übliche Invarianzprinzip für die Lebesgue-Integration über die gesamte reelle Linie ist das für jede reelle Zahl ε und jede integrierbare Funktion fgilt das Folgende

∫– –∞∞f(x)dλ(x)=∫– –∞∞f(x+ε)dλ(x){ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , d lambda (x) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x + varepsilon) , d lambda (x)}

und daher

∫– –∞∞f‘(x)dλ(x)=0.{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f ‘(x) , d lambda (x) = 0.}

Dies kann verwendet werden, um die Integration nach Teileformel seit der Einstellung abzuleiten f = gh, es impliziert

0=∫– –∞∞f‘dλ=∫– –∞∞(Gh)‘dλ=∫– –∞∞Gh‘dλ+∫– –∞∞G‘hdλ.{ displaystyle 0 = int _ {- infty} ^ { infty} f ‘, d lambda = int _ {- infty} ^ { infty} (gh)’ , d lambda = int _ {- infty} ^ { infty} gh ‘, d lambda + int _ {- infty} ^ { infty} g’h , d lambda.}

Eine ähnliche Idee kann in der stochastischen Analyse für die Differenzierung entlang einer Cameron-Martin-Girsanov-Richtung angewendet werden. In der Tat, lassen Sie

hs{ displaystyle h_ {s}}

sei ein quadratisch integrierbarer vorhersagbarer Prozess und eine Menge

E.(F.(X.+εφ))=E.[F(X)exp⁡(ε∫01hsdXs−12ε2∫01hs2ds)].{ displaystyle E (F (X + varepsilon varphi)) = E left[F(X)exp left(varepsilon int _{0}^{1}h_{s},dX_{s}-{frac {1}{2}}varepsilon ^{2}int _{0}^{1}h_{s}^{2},dsright)right].}

Wenn man auf beiden Seiten in Bezug auf & epsi; differenziert und bei & epsi; = 0 bewertet, erhält man die folgende Integration nach Teilformel:

E.(⟨D.F.(X.),φ⟩)=E.[F(X)∫01hsdXs].{ displaystyle E ( langle DF (X), varphi rangle) = E { Bigl [}F(X)int _{0}^{1}h_{s},dX_{s}{Bigr ]}.}

Hier ist die linke Seite die Malliavin-Ableitung der Zufallsvariablen

F.{ displaystyle F}

in die Richtung

φ{ displaystyle varphi}

und das auf der rechten Seite erscheinende Integral sollte als Itô-Integral interpretiert werden. Dieser Ausdruck bleibt auch (per Definition) wahr, wenn

h{ displaystyle h}

wird nicht angepasst, vorausgesetzt, die rechte Seite wird als Skorokhod-Integral interpretiert.^{[citation needed]}

Clark-Ocone-Formel[edit]

Eines der nützlichsten Ergebnisse der Malliavin-Rechnung ist das Clark-Ocone-Theorem, mit dem der Prozess im Martingal-Repräsentationssatz explizit identifiziert werden kann. Eine vereinfachte Version dieses Satzes lautet wie folgt:

Zum

F.::C.[0,1]→R.{ displaystyle F: C.[0,1] to mathbb {R}}

befriedigend

E.(F.(X.)2)<∞{ displaystyle E (F (X) ^ {2}) < infty}

Das ist Lipschitz und so F. hat einen starken abgeleiteten Kernel in dem Sinne, dass für

φ{ displaystyle varphi}

im C.[0,1]

F.(X.)=E.(F.(X.))+∫01H.tdX.t,{ Anzeigestil F (X) = E (F (X)) + int _ {0} ^ {1} H_ {t} , dX_ {t},}

wo H. ist die vorhersehbare Projektion von F.‘((x, (t, 1]), die als Ableitung der Funktion angesehen werden kann F. in Bezug auf eine geeignete parallele Verschiebung des Prozesses X. über den Teil (t, 1]seiner Domäne.

Dies kann präziser ausgedrückt werden durch

F.(X.)=E.(F.(X.))+∫01E.(D.tF.|F.t)dX.t.{ Anzeigestil F (X) = E (F (X)) + int _ {0} ^ {1} E (D_ {t} F | { mathcal {F}} _ {t}) , dX_ { t}.}

Ein Großteil der Arbeit in der formalen Entwicklung des Malliavin-Kalküls besteht darin, dieses Ergebnis auf die größtmögliche Klasse von Funktionalen auszudehnen F. durch Ersetzen des oben verwendeten Derivatkerns durch das bezeichnete “Malliavin-Derivat”

D.t{ displaystyle D_ {t}}

in der obigen Aussage des Ergebnisses.^{[citation needed]}

Skorokhod Integral[edit]

Der Skorokhod-Integraloperator, der herkömmlicherweise mit δ bezeichnet wird, ist als der Adjunkt der Malliavin-Ableitung definiert, also für u in der Domäne des Operators, die eine Teilmenge von ist

L2([0,∞)×Ω){displaystyle L^{2}([0,infty )times Omega )}

,
for F in the domain of the Malliavin derivative, we require

E(⟨DF,u⟩)=E(Fδ(u)),{displaystyle E(langle DF,urangle )=E(Fdelta (u)),}

where the inner product is that on

L2[0,∞){displaystyle L^{2}[0,infty )}

viz

⟨f,g⟩=∫0∞f(s)g(s)ds.{displaystyle langle f,grangle =int _{0}^{infty }f(s)g(s),ds.}

The existence of this adjoint follows from the Riesz representation theorem for linear operators on Hilbert spaces.

It can be shown that if u is adapted then

δ(u)=∫0∞utdWt,{displaystyle delta (u)=int _{0}^{infty }u_{t},dW_{t},}

where the integral is to be understood in the Itô sense. Thus this provides a method of extending the Itô integral to non adapted integrands.

Applications[edit]

Der Kalkül ermöglicht die Integration von Teilen mit Zufallsvariablen; Diese Operation wird in der mathematischen Finanzwelt verwendet, um die Sensitivitäten von Finanzderivaten zu berechnen. Der Kalkül findet Anwendungen beispielsweise in der stochastischen Filterung.

Verweise[edit]

• Kusuoka, S. und Stroock, D. (1981) “Applications of Malliavin Calculus I”, Stochastische Analyse, Verfahren Taniguchi International Symposium Katata und Kyoto 1982, S. 271–306
• Kusuoka, S. und Stroock, D. (1985) “Applications of Malliavin Calculus II”, J. Fakultät Sci. Uni. Tokyo Sect. 1A Math.32, S. 1–76
• Kusuoka, S. und Stroock, D. (1987) “Applications of Malliavin Calculus III”, J. Fakultät Sci. Univ. Tokyo Sect. 1A Math.34, S. 391–442
• Malliavin, Paul und Thalmaier, Anton. Stochastische Variationsrechnung in der Finanzmathematik, Springer 2005, ISBN 3-540-43431-3
• Nualart, David (2006). Der Malliavin-Kalkül und verwandte Themen (Zweite Ausgabe). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.
• Bell, Denis. (2007) Der Malliavin-Kalkül, Dover. ISBN 0-486-44994-7; ebook
• Schiller, Alex (2009) Malliavin-Kalkül für Monte-Carlo-Simulation mit Finanzanwendungen. Diplomarbeit, Fakultät für Mathematik, Princeton University
• Øksendal, Bernt K. (1997) Eine Einführung in die Malliavin-Rechnung mit Anwendungen in der Wirtschaft. Lecture Notes, Fakultät für Mathematik, Universität Oslo (Zip-Datei mit Abschlussarbeit und Nachtrag)
• Di Nunno, Giulia, Øksendal, Bernt, Proske, Frank (2009) “Malliavin-Kalkül für Lévy-Prozesse mit Finanzanträgen”, Universitext, Springer. ISBN 978-3-540-78571-2

Externe Links[edit]