Einfach und doppelt sogar – Wikipedia

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In der Mathematik wird eine gerade ganze Zahl, dh eine durch 2 teilbare Zahl, aufgerufen gleichmäßig gleichmäßig oder doppelt sogar wenn es ein Vielfaches von 4 ist, und seltsamerweise gerade oder einzeln sogar wenn es das nicht ist. (Die ersteren Namen sind traditionelle Namen, die vom Altgriechischen abgeleitet sind; die letzteren sind in den letzten Jahrzehnten üblich geworden.

Diese Namen spiegeln ein Grundkonzept der Zahlentheorie wider, die 2-Bestellung einer ganzen Zahl: Wie oft kann die ganze Zahl durch 2 geteilt werden? Dies entspricht der Multiplizität von 2 in der Primfaktorisierung. Eine einfach gerade Zahl kann nur einmal durch 2 geteilt werden; es ist gerade, aber sein Quotient um 2 ist ungerade. Eine doppelt gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die mehr als einmal durch 2 teilbar ist. es ist gerade und sein Quotient um 2 ist auch gerade.

Die getrennte Betrachtung von ungeraden und geraden geraden Zahlen ist in vielen Teilen der Mathematik nützlich, insbesondere in der Zahlentheorie, der Kombinatorik und der Codierungstheorie (siehe gerade Codes).

Definitionen[edit]

Die altgriechischen Begriffe “gerade mal gerade” und “gerade mal ungerade” wurden von Euklid und späteren Schriftstellern wie Nikomachos in verschiedenen ungleichen Definitionen definiert.[1] Heute gibt es eine Standardentwicklung der Konzepte. Die 2-Ordnung oder 2-Adic-Ordnung ist einfach ein Sonderfall der p-adische Ordnung bei einer allgemeinen Primzahl p;; sehen p-adische Zahl für mehr auf diesem breiten Gebiet der Mathematik. Viele der folgenden Definitionen verallgemeinern sich direkt auf andere Primzahlen.

Für eine ganze Zahl n, die 2-Ordnung von n (auch genannt Bewertung) ist die größte natürliche Zahl ν, so dass 2νteilt n. Diese Definition gilt für positive und negative Zahlen n, obwohl einige Autoren es auf positiv beschränken n;; und man kann die 2-Ordnung von 0 als unendlich definieren (siehe auch Parität von Null).[2] Die 2-Ordnung von n ist geschrieben ν2((n) oder ord2((n). Es ist nicht mit dem Modulo 2 der multiplikativen Ordnung zu verwechseln.

Die 2-Ordnung bietet eine einheitliche Beschreibung verschiedener Klassen von ganzen Zahlen, die durch Gleichmäßigkeit definiert sind:

  • Ungerade Zahlen sind diejenigen mit ν2((n) = 0, dh ganze Zahlen der Form 2m + 1.
  • Gerade Zahlen sind solche mit ν2((n)> 0, dh ganze Zahlen der Form 2m. Bestimmtes:
    • Einfach gerade Zahlen sind solche mit ν2((n) = 1, dh ganze Zahlen der Form 4m + 2.
    • Doppelt gerade Zahlen sind solche mit ν2((n)> 1, dh ganze Zahlen der Form 4m.
      • In dieser Terminologie kann eine doppelt gerade Zahl durch 8 teilbar sein oder nicht, so dass es in der reinen Mathematik keine bestimmte Terminologie für “dreifach gerade” Zahlen gibt, obwohl sie in Unterrichtsmaterialien für Kinder verwendet wird, einschließlich höherer Vielfacher wie “vierfach gerade”. “”[3]

Man kann die 2-Ordnung auch auf die rationalen Zahlen erweitern, indem man ν definiert2((q) um die eindeutige ganze Zahl ν zu sein, wobei

q=2νeinb{ displaystyle q = 2 ^ { nu} { frac {a} {b}}}

und ein und b sind beide ungerade. Zum Beispiel haben Halbzahlen eine negative 2-Ordnung, nämlich -1. Schließlich durch Definieren der 2-adischen Norm,

|n|2=2– –ν2((n),{ displaystyle | n | _ {2} = 2 ^ {- nu _ {2} (n)},}

man ist auf dem besten Weg, die 2-adischen Zahlen zu konstruieren.

Anwendungen[edit]

Sicherere Outs in Darts[edit]

Das Ziel des Dartspiels ist es, eine Punktzahl von 0 zu erreichen, sodass der Spieler mit der kleineren Punktzahl in einer besseren Position ist, um zu gewinnen. Zu Beginn einer Etappe hat “kleiner” die übliche Bedeutung des absoluten Werts. Die grundlegende Strategie besteht darin, auf hochwertige Bereiche auf der Dartscheibe zu zielen und so viele Punkte wie möglich zu erzielen. Am Ende einer Etappe wird die 2-Adic-Norm zum relevanten Maß, da man sich verdoppeln muss, um zu gewinnen. Bei jeder ungeraden Punktzahl, egal wie klein der absolute Wert ist, sind mindestens zwei Pfeile erforderlich, um zu gewinnen. Jede gerade Punktzahl zwischen 2 und 40 kann mit einem einzelnen Pfeil erreicht werden, und 40 ist aufgrund der fehlenden Auswirkungen eine viel wünschenswertere Punktzahl als 2.

Ein häufiger Fehler beim Zielen auf den Doppelring besteht darin, stattdessen einen Einzelring zu treffen und versehentlich die Punktzahl zu halbieren. Bei einer Punktzahl von 22 – einer einfach geraden Zahl – hat man einen Spielschuss für Doppel 11. Wenn man Einzel 11 trifft, ist die neue Punktzahl 11, was ungerade ist, und es werden mindestens zwei weitere Pfeile benötigt, um sich zu erholen. Im Gegensatz dazu kann man beim Schießen für Doppel 12 den gleichen Fehler machen, aber immer noch 3 Spielschüsse hintereinander haben: D12, D6 und D3. Im Allgemeinen mit einer Punktzahl von n <42, hat man ν2((n) solche Spielaufnahmen. Deshalb 32 = 25 ist so eine wünschenswerte Punktzahl: Sie teilt sich fünfmal.[4][5]

Irrationalität der Quadratwurzel von 2[edit]

Der klassische Beweis, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist, beruht auf unendlicher Abstammung. Normalerweise wird der Abstiegsteil des Beweises abstrahiert, indem die Existenz irreduzibler Darstellungen rationaler Zahlen angenommen (oder bewiesen) wird. Ein alternativer Ansatz besteht darin, die Existenz des ν auszunutzen2 Operator.

Nehmen Sie im Widerspruch an, dass

2=einb,{ displaystyle { sqrt {2}} = { frac {a} {b}},}

wo ein und b sind natürliche Zahlen ungleich Null. Quadrieren Sie beide Seiten der Gleichheit und wenden Sie den Bewertungsoperator ν mit zwei Ordnungen an2 zu 2b2 = ein2::

ν2((2b2)=ν2((ein2){ displaystyle nu _ {2} left (2b ^ {2} right) = nu _ {2} left (a ^ {2} right)}

ν2((b2)+1=ν2((ein2){ displaystyle nu _ {2} left (b ^ {2} right) + 1 = nu _ {2} left (a ^ {2} right)}

2ν2((b)+1=2ν2((ein){ displaystyle 2 nu _ {2} (b) + 1 = 2 nu _ {2} (a)}

ν2((ein)– –ν2((b)=12{ displaystyle nu _ {2} (a) – nu _ {2} (b) = { frac {1} {2}}}

Da Bewertungen 2 Ordnung ganze Zahlen sind, kann die Differenz nicht gleich der rationalen sein

12{ textstyle { frac {1} {2}}}

. Im Widerspruch also √2 ist nicht rational.

Genauer gesagt, seit der Bewertung von 2b2 ist ungerade, während die Bewertung von ein2 ist gerade, sie müssen verschiedene ganze Zahlen sein, damit

|2b2– –ein2|≥1{ displaystyle left | 2b ^ {2} -a ^ {2} right | geq 1}

. Eine einfache Berechnung ergibt dann eine Untergrenze von

13b2{ textstyle { frac {1} {3b ^ {2}}}}

für den Unterschied

|2– –ein/.b|{ displaystyle left | { sqrt {2}} – a / b right |}

Dies ergibt einen direkten Beweis für Irrationalität, der sich nicht auf das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte stützt.[6]

Geometrische Topologie[edit]

In der geometrischen Topologie hängen viele Eigenschaften von Verteilern nur von ihrer Abmessung mod 4 oder mod 8 ab; so studiert man oft Mannigfaltigkeiten von einfach gleichmäßiger und doppelt gleichmäßiger Dimension (4k+2 und 4k) als Klassen. Zum Beispiel haben doppelt gleichdimensionale Verteiler a symmetrisch nicht entartete bilineare Form in ihrer Kohomologiegruppe mittlerer Dimension, die somit eine ganzzahlige Signatur aufweist. Umgekehrt haben einfach gleichmäßig dimensionierte Verteiler a schief-symmetrische nicht entartete bilineare Form in ihrer mittleren Dimension; Wenn man eine quadratische Verfeinerung davon zu einer quadratischen Form definiert (wie bei einer gerahmten Mannigfaltigkeit), erhält man die Arf-Invariante als Mod 2-Invariante. Im Gegensatz dazu haben ungerade dimensionale Mannigfaltigkeiten diese Invarianten nicht, obwohl man in der Theorie der algebraischen Chirurgie kompliziertere Invarianten definieren kann. Diese 4-fache und 8-fache Periodizität in der Struktur von Mannigfaltigkeiten hängt mit der 4-fachen Periodizität der L-Theorie und der 8-fachen Periodizität der realen topologischen K-Theorie zusammen, die als Bott-Periodizität bekannt ist.

Wenn ein kompakt ausgerichteter glatter Schleuderverteiler Abmessungen hat n 4 mod 8, oder ν2((n) = 2 genau dann ist seine Signatur ein ganzzahliges Vielfaches von 16.[7]

Andere Auftritte[edit]

Eine einfach gerade Zahl kann keine mächtige Zahl sein. Es kann nicht als Differenz zweier Quadrate dargestellt werden. Eine einfach gerade Zahl kann jedoch als Differenz zweier pronischer Zahlen oder zweier mächtiger Zahlen dargestellt werden.[8]

In der Gruppentheorie ist es relativ einfach[9] um zu zeigen, dass die Ordnung einer nichtabelschen endlichen einfachen Gruppe keine einfach gerade Zahl sein kann. Tatsächlich kann es nach dem Feit-Thompson-Theorem auch nicht ungerade sein, so dass jede solche Gruppe eine doppelt gerade Ordnung hat.

Lamberts fortgesetzter Bruchteil für die Tangentenfunktion ergibt den folgenden fortgesetzten Bruchteil, der die positiven einfach geraden Zahlen beinhaltet:[10]

tanh⁡12=e– –1e+1=0+12+16+110+114+1⋱{ displaystyle tanh { frac {1} {2}} = { frac {e-1} {e + 1}} = 0 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {6 + { cfrac {1} {10 + { cfrac {1} {14 + { cfrac {1} { ddots}}}}}}}}}

Dieser Ausdruck führt zu ähnlichen Darstellungen von e.[11]

In der organischen Chemie sagt die Hückelsche Regel, auch als 4n + 2-Regel bekannt, voraus, dass ein cyclisches π-Bindungssystem mit einer einfach geraden Anzahl von p-Elektronen aromatisch sein wird.[12]

Verwandte Klassifikationen[edit]

Obwohl die 2-Ordnung erkennen kann, wenn eine ganze Zahl zu 0 (Mod 4) oder 2 (Mod 4) kongruent ist, kann sie den Unterschied zwischen 1 (Mod 4) oder 3 (Mod 4) nicht erkennen. Diese Unterscheidung hat einige interessante Konsequenzen, wie zum Beispiel den Satz von Fermat über Summen zweier Quadrate.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ Euklid; Johan Ludvig Heiberg (1908). Die dreizehn Bücher der Euklidischen Elemente. Die Universitätspresse. pp. 281–284.CS1-Wartung: mehrere Namen: Autorenliste (Link)
  2. ^ Lengyel, Tamas (1994). “Charakterisierung der 2-adischen Ordnung des Logarithmus” (PDF). Die Fibonacci Quarterly. 32: 397–401.
  3. ^ url =https://www.parleybot.com/p/double-triple-quadruple-even-number.html | Online-Rechner mit mehreren Ereignissen
  4. ^ Nunes, Terezinha und Peter Bryant (1996). Kinder, die Mathematik machen. Blackwell. pp. 98–99. ISBN 0-631-18472-4.
  5. ^ Everson, Fred (2006). Leitfaden für Barspieler zum Gewinnen von Pfeilen. Trafford. p. 39. ISBN 1-55369-321-3.
  6. ^ Benson, Donald C. (2000). Die Stunde des Beweises: Mathematische Offenbarungen. Oxford UP. S. 46–47. ISBN 0-19-513919-4.
  7. ^ Ochanine, Serge, “Signature modulo 16, Invarianten von Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle”, Mém. Soc. Mathematik. Frankreich 1980/81, Nr. 5, 142 S. MR1809832
  8. ^ * * McDaniel, Wayne L. (1982). “Darstellungen jeder ganzen Zahl als Differenz mächtiger Zahlen”. Fibonacci Quarterly. 20: 85–87.
  9. ^ Siehe zum Beispiel: Bourbaki (1989). Elemente der Mathematik: Algebra I: Kapitel 1-3 (Softcover-Nachdruck der englischen Übersetzung von 1974). Springer. S. 154–155. ISBN 3-540-64243-9.
  10. ^ Hairer, Ernst und Gerhard Wanner (1996). Analyse nach seiner Geschichte. Springer. pp. 69–78. ISBN 0-387-94551-2.
  11. ^ Lang, Serge (1995). Einführung in diophantinische Approximationen. Springer. S. 69–73. ISBN 0-387-94456-7.
  12. ^ Ouellette, Robert J. und J. David Rawn (1996). Organische Chemie. Prentice Hall. p. 473. ISBN 0-02-390171-3.

Externe Links[edit]