Orr-Sommerfeld-Gleichung – Wikipedia

Posted on July 17, 2021 by lordneo

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Das Orr-Sommerfeld-Gleichung, in der Fluiddynamik, ist eine Eigenwertgleichung, die die linearen zweidimensionalen Störungsmodi einer viskosen Parallelströmung beschreibt. Die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen für eine parallele, laminare Strömung kann instabil werden, wenn bestimmte Strömungsbedingungen erfüllt sind und die Orr-Sommerfeld-Gleichung genau bestimmt, was die Bedingungen für hydrodynamische Stabilität sind.

Die Gleichung ist nach William McFadden Orr und Arnold Sommerfeld benannt, die sie Anfang des 20. Jahrhunderts herleiteten.

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Formulierung[edit]

Ein schematisches Diagramm des Grundzustands des Systems. Die untersuchte Strömung stellt eine kleine Störung außerhalb dieses Zustands dar. Während der Grundzustand parallel ist, hat die Störungsgeschwindigkeit Komponenten in beide Richtungen.

Die Gleichung wird abgeleitet, indem eine linearisierte Version der Navier-Stokes-Gleichung für das Störungsgeschwindigkeitsfeld gelöst wird

{displaystyle mathbf{u} =left(U(z)+u'(x,z,t),0,w'(x,z,t)right)}

{displaystyle (U(z),0,0)}

$(U(z),0,0)$ ist der ungestörte oder grundlegende Fluss. Die Störungsgeschwindigkeit hat die wellenförmige Lösung

{displaystyle mathbf {u} ‘propto exp(ialpha (x-ct))}

${mathbf{u}}'proptoexp(ialpha (x-ct))$ (realer Teil verstanden). Mit diesem Wissen und der Stromfunktionsdarstellung für die Strömung erhält man die folgende Dimensionsform der Orr-Sommerfeld-Gleichung:

{displaystyle {frac {mu}{ialpharho}}left({d^{2} over dz^{2}}-alpha^{2}right)^{2} varphi =(Uc)left({d^{2} over dz^{2}}-alpha^{2}right)varphi -U”varphi}

{displaystylemu}

$mu$ ist die dynamische Viskosität der Flüssigkeit,

{displaystyle rho}

$rho$ ist seine Dichte, und

{displaystylevarphi}

$varphi$ ist die Potential- oder Stromfunktion. Bei Nullviskosität (

{displaystyle mu =0}

$mu =0$ ) reduziert sich die Gleichung auf die Rayleigh-Gleichung. Die Gleichung kann in dimensionsloser Form geschrieben werden, indem Geschwindigkeiten gemäß einer Skala gemessen werden, die durch eine charakteristische Geschwindigkeit festgelegt wird

{displaystyle U_{0}}

$U_{0}$ , und durch Längenmessung nach Kanaltiefe

{displaystyle h}

$ha$ . Dann hat die Gleichung die Form

{displaystyle {1over ialpha,Re}left({d^{2} over dz^{2}}-alpha^{2}right)^{2}varphi =(Uc )left({d^{2} over dz^{2}}-alpha^{2}right)varphi -U”varphi }

{displaystyle Re={frac {rho U_{0}h}{mu}}}

ist die Reynolds-Zahl des Basisflusses. Die relevanten Randbedingungen sind die rutschfesten Randbedingungen an der Kanalober- und -unterseite

{displaystyle z=z_{1}}

$z=z_{1}$ und

{displaystyle z=z_{2}}

$z=z_{2}$ ,

{displaystyle alphavarphi ={dvarphiover dz}=0}

Oder:

{displaystyle alphavarphi ={dvarphiover dx}=0}

Der Eigenwertparameter des Problems ist

{displaystyle c}

$c$ und der Eigenvektor ist

{displaystylevarphi}

$varphi$ . Wenn der Imaginärteil der Wellengeschwindigkeit

{displaystyle c}

$c$ positiv ist, dann ist die Basisströmung instabil, und die kleine Störung, die in das System eingeführt wird, wird mit der Zeit verstärkt.

Lösungen[edit]

Für alle bis auf die einfachsten Geschwindigkeitsprofile

{displaystyle U}

$U$ , sind numerische oder asymptotische Methoden erforderlich, um Lösungen zu berechnen. Einige typische Strömungsprofile werden unten diskutiert. Im Allgemeinen ist das Spektrum der Gleichung für eine begrenzte Strömung diskret und unendlich, während für unbeschränkte Strömungen (z. B. Grenzschichtströmung) das Spektrum sowohl kontinuierliche als auch diskrete Anteile enthält.^[1]

Das Spektrum des Orr-Sommerfeld-Operators für Poiseuille-Strömung bei Kritikalität.

Dispersionskurven der Poiseuille-Strömung für verschiedene Reynolds-Zahlen.

Für eine ebene Poiseuille-Strömung wurde gezeigt, dass die Strömung instabil ist (dh ein oder mehrere Eigenwerte

{displaystyle c}

$c$ hat einen positiven Imaginärteil) für manche

{displaystylealpha}

$Alpha$ wann

{displaystyle Re>Re_{c}=5772.22}

$Re>Re_{c}=5772.22″/></span> und der neutral stabile Modus bei <span class=$

{displaystyle Re=Re_{c}}

$Re=Re_{c}$ haben

{displaystyle alpha_{c}=1.02056}

$alpha_{c}=1.02056$ ,

{displaystyle c_{r}=0,264002}

$c_{r}=0,264002$ .^[2] Um die Stabilitätseigenschaften des Systems zu sehen, ist es üblich, eine Dispersionskurve zu zeichnen, d. h. eine Auftragung der Wachstumsrate

{displaystyle {text{Im}}(alpha {c})}

${text{Im}}(alpha{c})$ als Funktion der Wellenzahl

{displaystylealpha}

$Alpha$ .

Die erste Abbildung zeigt das Spektrum der Orr-Sommerfeld-Gleichung bei den oben aufgeführten kritischen Werten. Dies ist ein Diagramm der Eigenwerte (in der Form

{displaystyle lambda =-ialpha {c}}

$lambda =-ialpha{c}$ ) in der komplexen Ebene. Der Eigenwert ganz rechts ist der instabilste. Bei den kritischen Werten von Reynoldszahl und Wellenzahl ist der ganz rechts liegende Eigenwert genau null. Bei höheren (niedrigeren) Werten der Reynolds-Zahl verschiebt sich der am weitesten rechts liegende Eigenwert in die positive (negative) Hälfte der komplexen Ebene. Ein vollständigeres Bild der Stabilitätseigenschaften wird dann durch eine Auftragung gegeben, die die funktionale Abhängigkeit dieses Eigenwertes zeigt; dies ist in der zweiten Abbildung dargestellt.

Andererseits zeigt das Spektrum der Eigenwerte für Couette-Strömung Stabilität bei allen Reynolds-Zahlen.^[3] In Experimenten wurde jedoch festgestellt, dass die Couette-Strömung instabil bis klein ist, aber endlich, Störungen, für die die lineare Theorie und die Orr-Sommerfeld-Gleichung nicht gelten. Es wurde argumentiert, dass die Nicht-Normalität des Eigenwertproblems im Zusammenhang mit Couette- (und tatsächlich Poiseuille-)Fluss diese beobachtete Instabilität erklären könnte.^[4] Das heißt, die Eigenfunktionen des Orr-Sommerfeld-Operators sind vollständig, aber nicht orthogonal. Dann enthält die Störungsenergie Beiträge aus allen Eigenfunktionen der Orr-Sommerfeld-Gleichung. Selbst wenn die mit jedem separat betrachteten Eigenwert verbundene Energie exponentiell mit der Zeit abfällt (wie von der Orr-Sommerfeld-Analyse für die Couette-Strömung vorhergesagt), können die Kreuzterme, die sich aus der Nicht-Orthogonalität der Eigenwerte ergeben, vorübergehend zunehmen. Somit steigt die Gesamtenergie vorübergehend (bevor sie asymptotisch gegen Null tendiert). Das Argument ist, dass, wenn das Ausmaß dieses vorübergehenden Wachstums ausreichend groß ist, es die laminare Strömung destabilisiert, jedoch wurde dieses Argument nicht allgemein akzeptiert.^[5]

Eine nichtlineare Theorie, die den Übergang erklärt,^[6]^[7] wurde auch vorgeschlagen. Obwohl diese Theorie lineares transientes Wachstum beinhaltet, liegt der Fokus auf nichtlinearen 3D-Prozessen, von denen stark vermutet wird, dass sie dem Übergang zu Turbulenz in Scherströmungen unterliegen. Die Theorie hat zur Konstruktion sogenannter vollständiger 3D-Steady-States, Wanderwellen und zeitperiodischer Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen geführt, die viele der Schlüsselmerkmale von Übergangs- und kohärenten Strukturen erfassen, die im wandnahen Bereich turbulenter Scherung beobachtet werden fließt.^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13] Obwohl “Lösung” in der Regel die Existenz eines analytischen Ergebnisses impliziert, ist es in der Strömungsmechanik gängige Praxis, numerische Ergebnisse als “Lösungen” – unabhängig davon, ob die Näherungslösungen die Navier-Stokes-Gleichungen mathematisch befriedigend erfüllen oder nicht. Es wird postuliert, dass der Übergang zur Turbulenz den dynamischen Zustand des Fluids beinhaltet, der sich von einer Lösung zur nächsten entwickelt. Die Theorie basiert somit auf der tatsächlichen Existenz solcher Lösungen (von denen viele noch in einem physikalischen Versuchsaufbau beobachtet werden müssen). Diese Lockerung der Forderung nach exakten Lösungen erlaubt ein hohes Maß an Flexibilität, da exakte Lösungen (im Gegensatz zu numerischen Lösungen) auf Kosten von Strenge und (möglicherweise) Korrektheit extrem schwer zu erhalten sind. Obwohl nicht so rigoros wie frühere Übergangsansätze, hat es eine immense Popularität gewonnen.

Eine Erweiterung der Orr-Sommerfeld-Gleichung auf die Strömung in porösen Medien wurde kürzlich vorgeschlagen.^[14]

Mathematische Methoden für Strömungen an freier Oberfläche[edit]

Für Couette-Strömung ist es möglich, mathematische Fortschritte bei der Lösung der Orr-Sommerfeld-Gleichung zu erzielen. In diesem Abschnitt wird diese Methode für den Fall der Freiflächenströmung demonstriert, dh wenn der obere Kanaldeckel durch eine freie Fläche ersetzt wird. Beachten Sie zunächst, dass die oberen Randbedingungen geändert werden müssen, um die freie Fläche zu berücksichtigen. In dimensionsloser Form lauten diese Bedingungen nun now

{displaystyle varphi ={dvarphi over dz}=0,}

$varphi ={dvarphiover dz}=0,$ beim

{displaystyle z=0}

$z=0$ ,

{displaystyle {frac {d^{2}varphi }{dz^{2}}}+alpha^{2}varphi =0}

${frac {d^{2}varphi }{dz^{2}}}}+alpha^{2}varphi =0$ ,

{displaystyle Omega equiv {frac {d^{3}varphi }{dz^{3}}}+ialpha Releft[left(c-Uleft(z_{2}=1right)right){frac {dvarphi }{dz}}+varphi right]-ialpha Releft({frac {1}{Fr}}+{frac {alpha ^{2}}{Wir}}right){frac {varphi }{cUleft(z_ {2}=1rechts)}}=0,}

$Omega equiv {frac {d^{3}varphi }{dz^{3}}}+ialpha Releft[left(c-Uleft(z_{2}=1right)right){frac {dvarphi }{dz}}+varphi right]-ialpha Releft({frac {1}{Fr}}+{frac {alpha ^{2}}{Wir}}right){frac {varphi }{cUleft(z_ {2}=1rechts)}}=0,$ beim

{displaystyle ,z=1}

$,z=1$ .

Die erste Bedingung der freien Oberfläche ist die Aussage über die Stetigkeit der Tangentialspannung, während die zweite Bedingung die Normalspannung auf die Oberflächenspannung bezieht. Hier

{displaystyle Fr={frac {U_{0}^{2}}{gh}},,, We={frac {rho u_{0}^{2}h}{sigma } }}

sind die Froude- und Weber-Zahlen.

Für Couette-Flow

{displaystyle Uleft(zright)=z}

$Ulinks(zrechts)=z$ , sind die vier linear unabhängigen Lösungen der dimensionslosen Orr-Sommerfeld-Gleichung^[15]

{displaystyle chi_{1}left(zright)=sinhleft(alpha zright),qquadchi_{2}left(zright)=cosh left( alpha zrechts)}

{displaystyle chi_{3}left(zright)={frac {1}{alpha}}int _{infty}^{z}sinh left[alpha left(z-xi right)right]Ailinks[e^{ipi /6}left(alpha Reright)^{1/3}left(xi -c-{frac {ialpha }{Re}}right)right]dxi ,}

{displaystyle chi_{4}left(zright)={frac {1}{alpha}}int _{infty}^{z}sinh left[alpha left(z-xi right)right]Ailinks[e^{5ipi /6}left(alpha Reright)^{1/3}left(xi -c-{frac {ialpha }{Re}}right)right]dxi ,}

{displaystyle Aileft(cdotright)}

$Aileft(cdotright)$ ist die Airy-Funktion erster Art. Substitution der Superpositionslösung

{displaystyle varphi =sum_{i=1}^{4}c_{i}chi_{i}left(zright)}

$varphi =sum_{{i=1}}^{4}c_{i}chi_{i}left(zright)$ in die vier Randbedingungen ergibt vier Gleichungen in den vier unbekannten Konstanten

{displaystyle c_{i}}

$c_{i}$ . Damit die Gleichungen eine nicht-triviale Lösung haben, ist die Determinantenbedingung

{displaystyle left|{begin{array}{cccc}chi _{1}left(0right)&chi_{2}left(0right)&chi_{3} left(0right)&chi_{4}left(0right)\chi_{1}’left(0right)&chi_{2}’left(0right )&chi _{3}’left(0right)&chi_{4}’left(0right)\Omega _{1}left(1right)&Omega_ {2}left(1right)&Omega_{3}left(1right)&Omega_{4}left(1right)\chi _{1}”left (1right)+alpha^{2}chi_{1}left(1right)&chi_{2}”left(1right)+alpha^{2}chi _{2}left(1right)&chi_{3}”left(1right)+alpha^{2}chi_{3}left(1right)&chi _{4}”left(1right)+alpha^{2}chi_{4}left(1right)end{array}}right|=0}

$left|{begin{array}{cccc}chi_{1}left(0right)&chi_{2}left(0right)&chi_{3}left(0 right)&chi _{4}left(0right)\chi _{1}'left(0right)&chi _{2}'left(0right)& chi _{3}'left(0right)&chi_{4}'left(0right)\Omega _{1}left(1right)&Omega_{2} left(1right)&Omega_{3}left(1right)&Omega_{4}left(1right)\chi _{1}''left(1 rechts)+alpha^{2}chi_{1}left(1right)&chi_{2}''left(1right)+alpha^{2}chi_{2 }left(1right)&chi_{3}''left(1right)+alpha^{2}chi_{3}left(1right)&chi_{4 }''left(1right)+alpha^{2}chi_{4}left(1right)end{array}}right|=0$

muss zufrieden sein. Dies ist eine einzelne Gleichung im Unbekannten c, die numerisch oder asymptotisch gelöst werden können. Es kann gezeigt werden, dass für einen Bereich von Wellenzahlen

{displaystylealpha}

$Alpha$ und für hinreichend große Reynolds-Zahlen die Wachstumsrate

{displaystyle alpha c_{text{i}}}

$alphac_{{{text{i}}}}$ ist positiv.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

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^ Orszag, SA (1971). “Genaue Lösung der Orr-Sommerfeld-Stabilitätsgleichung”. J. Fluidmech. 50 (4): 689–703. Bibcode:1971JFM….50..689O. mach:10.1017/S0022112071002842.
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^ Waleffe, Fabian (1995). “Hydrodynamische Stabilität und Turbulenz: Jenseits von Transienten zu einem sich selbst erhaltenden Prozess”. Studium der Angewandten Mathematik. 95 (3): 319–343. mach:10.1002/sapm1995953319.
^ Waleffe, Fabian (1997). “Über einen selbsterhaltenden Prozess in Scherströmungen”. Physik der Flüssigkeiten. 9 (4): 883–900. Bibcode:1997PhFl….9..883W. mach:10.1063/1.869185.
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^ Waleffe, Fabian (2001). “Exakte kohärente Strukturen im Kanalfluss”. Zeitschrift für Strömungsmechanik. 435: 93–102. mach:10.1017/S0022112001004189.
^ Waleffe, Fabian (2003). “Homotopie exakt kohärenter Strukturen in ebenen Scherströmungen”. Physik der Flüssigkeiten. fünfzehn (6): 1517–1534. Bibcode:2003PhFl…15.1517W. mach:10.1063/1.1566753.
^ Faisst, Holger; Eckhardt, Bruno (2003). “Wanderwellen in der Rohrströmung”. Phys. Rev. Lett. 91 (22): 224502. ARXIV:nlin/0304029. Bibcode:2003PhRvL..91v4502F. mach:10.1103/PhysRevLett.91.224502. PMID 14683243. S2CID 37014454.
^ Wedin, H.; Kerswell, RR (2004). “Exakte kohärente Zustände in der Rohrströmung”. Zeitschrift für Strömungsmechanik. 508: 333–371. Bibcode:2004JFM…508..333W. CiteSeerX 10.1.1.139.8263. mach:10.1017/S0022112004009346.
^ Hof, B.; van Doorne, CWH; Westerweel, J.; Nieuwstadt, FTM; Faisst, H.; Eckhardt, B.; Wedin, H.; Kerswell, RR; Waleffe, F. (2004). “Experimentelle Beobachtung nichtlinearer Wanderwellen in turbulenter Rohrströmung”. Wissenschaft. 305 (5690): 1594–1598. Bibcode:2004Sc…305.1594H. mach:10.1126/science.1100393. PMID 15361619. S2CID 7211017.
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^ Miesen, R.; Boersma, BJ (1995). “Hydrodynamische Stabilität eines gescherten Flüssigkeitsfilms”. Zeitschrift für Strömungsmechanik. 301: 175–202. Bibcode:1995JFM…301..175M. mach:10.1017/S0022112095003855.

Weiterlesen[edit]

Orr, W.M’F. (1907). “Die Stabilität oder Instabilität der stetigen Bewegungen einer Flüssigkeit. Teil I”. Tagungsband der Royal Irish Academy. EIN. 27: 9–68.
Orr, W.M’F. (1907). “Die Stabilität oder Instabilität der stetigen Bewegungen einer Flüssigkeit. Teil II”. Tagungsband der Royal Irish Academy. EIN. 27: 69–138.
Sommerfeld, A. (1908). “Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen”. Tagungsband des 4. Internationalen Mathematikerkongresses. III. Rom. S. 116–124.

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