Ideale Theorie – Wikipedia

Posted on November 28, 2020 by lordneo

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Theorie der Ideale in kommutativen Ringen in der Mathematik

In Mathematik, ideale Theorie ist die Theorie der Ideale in kommutativen Ringen; und ist der Vorläufername für das zeitgenössische Thema der kommutativen Algebra. Der Name entstand aus den zentralen Überlegungen wie dem Lasker-Noether-Theorem in der algebraischen Geometrie und der idealen Klassengruppe in der algebraischen Zahlentheorie der kommutativen Algebra des ersten Viertels des 20. Jahrhunderts. Es wurde im einflussreichen van der Waerden-Text zur abstrakten Algebra um 1930 verwendet.

Die fragliche ideale Theorie basierte auf der Eliminationstheorie, aber in Übereinstimmung mit David Hilberts Geschmack entfernte sie sich von algorithmischen Methoden. Die Gröbner-Basistheorie hat nun den Trend zur Computeralgebra umgekehrt.

Die Bedeutung der Idee eines Moduls, allgemeiner als ein Ideal, führte wahrscheinlich zu der Wahrnehmung, dass ideale Theorie war eine zu enge Beschreibung. Auch die Bewertungstheorie war eine wichtige technische Erweiterung und wurde von Helmut Hasse und Oscar Zariski verwendet. Bourbaki verwendet kommutative Algebra;; manchmal lokale Algebra wird auf die Theorie der lokalen Ringe angewendet. Douglas Northcotts Cambridge Tract von 1953 Ideale Theorie (neu aufgelegt 2004 unter dem gleichen Titel) war einer der letzten Auftritte des Namens.

Table of Contents

Topologie bestimmt durch ein Ideal[edit]

Lassen R. sei ein Ring und M. ein R.-Modul. Dann jedes Ideal

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

${ mathfrak {a}}$ von R. bestimmt eine Topologie auf M. nannte die

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

${ mathfrak {a}}$ -adische Topologie, so dass eine Teilmenge U. von M. ist genau dann geöffnet, wenn für jeden x im U. Es gibt eine positive ganze Zahl n so dass

{ displaystyle x + { mathfrak {a}} ^ {n} M subset U.}

In dieser Hinsicht

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

${ mathfrak {a}}$ -adische Topologie,

{ displaystyle {x + { mathfrak {a}} ^ {n} M } _ {n}}

${ displaystyle {x + { mathfrak {a}} ^ {n} M } _ {n}}$ ist eine Basis von Nachbarschaften von

{ displaystyle x}

$x$ und macht die Moduloperationen kontinuierlich; speziell,

{ displaystyle M}

$M.$ ist eine möglicherweise nicht-hausdorff topologische Gruppe. Ebenfalls, M. ist genau dann ein topologischer Raum nach Hausdorff

{ textstyle bigcap _ {n> 0} { mathfrak {a}} ^ {n} M = 0.}

${ textstyle bigcap _ {n> 0} { mathfrak {a}} ^ {n} M = 0.}”/> Darüber hinaus, wenn <span class=$

{ displaystyle M}

$M.$ ist Hausdorff, die Topologie ist die gleiche wie die metrische Raumtopologie, die durch Definieren der Distanzfunktion gegeben wird:

{ displaystyle d (x, y) = 2 ^ {- n}}

${ displaystyle d (x, y) = 2 ^ {- n}}$ zum

{ displaystyle x neq y}

$x neq y$ , wo

{ displaystyle n}

$n$ ist eine ganze Zahl, so dass

{ displaystyle xy in { mathfrak {a}} ^ {n} M – { mathfrak {a}} ^ {n + 1} M}

${ displaystyle xy in { mathfrak {a}} ^ {n} M - { mathfrak {a}} ^ {n + 1} M}$ .

Gegeben ein Submodul N. von M., das

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

${ mathfrak {a}}$ -Schließung von N. im M. entspricht

{ textstyle bigcap _ {n> 0} (N + { mathfrak {a}} ^ {n} M)}

${ textstyle bigcap _ {n> 0} (N + { mathfrak {a}} ^ {n} M)}”/>, wie leicht gezeigt. Jetzt, a prioriauf einem Submodul N. von M.gibt es zwei natürliche <span class=$

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

${ mathfrak {a}}$ -Topologien: Die Subraumtopologie, die durch die

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

${ mathfrak {a}}$ -adische Topologie auf M. und das

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

${ mathfrak {a}}$ -adische Topologie auf N.. Wann jedoch

{ displaystyle R}

$R.$ ist Noetherian und

{ displaystyle M}

$M.$ ist endlich, diese beiden Topologien fallen als Folge des Artin-Rees-Lemmas zusammen.

Wann

{ displaystyle M}

$M.$ ist Hausdorff,

{ displaystyle M}

$M.$ kann als metrischer Raum ausgefüllt werden; Der resultierende Raum wird mit bezeichnet

{ displaystyle { widehat {M}}}

$widehat {M}$ und hat die Modulstruktur, die durch Erweitern der Moduloperationen durch Kontinuität erhalten wird. Es ist auch dasselbe wie (oder kanonisch isomorph zu):

{ displaystyle { widehat {M}} = varprojlim M / { mathfrak {a}} ^ {n} M}

Dabei ist die rechte Seite die Fertigstellung des Moduls

{ displaystyle M}

$M.$ in Gedenken an

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

${ mathfrak {a}}$ .

Beispiel: Lassen

{ displaystyle R = k[x_{1},dots ,x_{n}]}}

$R = k[x_{1},dots ,x_{n}]$ sei ein Polynomring über einem Feld und

{ displaystyle { mathfrak {a}} = (x_ {1}, dots, x_ {n})}

${ displaystyle { mathfrak {a}} = (x_ {1}, dots, x_ {n})}$ das maximale Ideal. Dann

{ displaystyle { widehat {R}} = k[![x_{1},dots ,x_{n}]!]}

${ displaystyle { widehat {R}} = k[![x_{1},dots ,x_{n}]!]}$ ist ein formaler Potenzreihenring.

R. wird in Bezug auf einen Zariski-Ring genannt

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

${ mathfrak {a}}$ wenn jedes Ideal in R. ist

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

${ mathfrak {a}}$ -geschlossen. Es gibt eine Charakterisierung:

R. ist ein Zariski Ring in Bezug auf

{ displaystyle { mathfrak {a}}}

Insbesondere ist ein lokaler Noether-Ring ein Zariski-Ring in Bezug auf das maximale Ideal.

System von Parametern[edit]

EIN System von Parametern für einen lokalen Noether-Ring der Krull-Dimension d mit maximalem Ideal m ist eine Reihe von Elementen x₁, …, x_d das eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

m ist eine minimale Primzahl über (x₁, …, x_d).
Das Radikal von (x₁, …, x_d) ist m.
Etwas Kraft von m ist enthalten in (x₁, …, x_d).
(x₁, …, x_d) ist m-primär.

Jeder lokale Noether-Ring lässt ein Parametersystem zu.

Es ist nicht für weniger als möglich d Elemente, um ein Ideal zu erzeugen, dessen Radikal ist m denn dann ist die Dimension von R. wäre weniger als d.

Wenn M. ist ein k-dimensionales Modul über einen lokalen Ring x₁, …, x_k ist ein System von Parametern zum M. wenn die Länge von M. / ((x₁, …, x_k)M. ist endlich.

Reduktionstheorie[edit]

Die Reduktionstheorie geht auf das einflussreiche Papier von Northcott und Rees aus dem Jahr 1954 zurück, das die Grundbegriffe einführte. In der algebraischen Geometrie gehört die Theorie zu den wesentlichen Werkzeugen, um detaillierte Informationen über das Verhalten von Explosionen zu extrahieren.

Gegebene Ideale J. ⊂ ich in einem Ring R., das Ideal J. soll ein sein die Ermäßigung von ich wenn es eine ganze Zahl gibt m > 0 so dass

{ displaystyle JI ^ {m} = I ^ {m + 1}}

${ displaystyle JI ^ {m} = I ^ {m + 1}}$ .^[1] Für solche Ideale gilt unmittelbar nach der Definition Folgendes:

Für jeden k, ${ displaystyle J ^ {k} I ^ {m} = J ^ {k-1} I ^ {m + 1} = cdots = I ^ {m + k}}$
J. und ich haben die gleichen radikalen und die gleichen minimalen Hauptideale über sich^[2] (Das Gegenteil ist falsch).

Wenn R. ist also ein noetherischer Ring J. ist eine Reduzierung von ich genau dann, wenn die Rees-Algebra R.[It] ist endlich vorbei R.[Jt].^[3] (Dies ist der Grund für die Beziehung zu einer Explosion.)

Ein eng verwandter Begriff ist der von analytische Verbreitung. Per Definition ist die Faserkegelring eines noetherischen lokalen Rings (R.,

{ displaystyle { mathfrak {m}}}

${ mathfrak {m}}$ ) entlang eines Ideals ich ist

{ displaystyle { mathcal {F}} _ {I} (R) = R.[It] otimes _ {R} kappa ({ mathfrak {m}}) simeq bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} I ^ {n} / { mathfrak {m}} I ^ {n} }}

Die Krull-Dimension von

{ displaystyle { mathcal {F}} _ {I} (R)}

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {I} (R)}$ heißt das analytische Verbreitung von ich. Angesichts einer Reduzierung

{ displaystyle J subset I}

${ displaystyle J subset I}$ , die Mindestanzahl von Generatoren von J. ist zumindest die analytische Verbreitung von ich.^[4] Auch gilt eine teilweise Umkehrung für unendliche Felder: if

{ displaystyle R / { mathfrak {m}}}

${ displaystyle R / { mathfrak {m}}}$ ist unendlich und wenn die ganze Zahl

{ displaystyle ell}

$ell$ ist die analytische Verbreitung von ich, dann jede Reduktion von ich enthält eine Reduzierung generiert von

{ displaystyle ell}

$ell$ Elemente.^[5]

Lokale Kohomologie in der Idealtheorie[edit]

Diese Abteilung braucht Erweiterung. Sie können helfen, indem Sie es hinzufügen. (Dezember 2019)

Lokale Kohomologie kann manchmal verwendet werden, um Informationen über ein Ideal zu erhalten. In diesem Abschnitt wird eine gewisse Vertrautheit mit der Garbentheorie und der Schematheorie vorausgesetzt.

Lassen

{ displaystyle M}

$M.$ sei ein Modul über einem Ring

{ displaystyle R}

$R.$ und

{ displaystyle I}

$ich$ ein Ideal. Dann

{ displaystyle M}

$M.$ bestimmt die Garbe

{ displaystyle { widetilde {M}}}

${ widetilde {M}}$ auf

{ displaystyle Y = operatorname {Spec} (R) -V (I)}

${ displaystyle Y = operatorname {Spec} (R) -V (I)}$ (die Einschränkung auf Y. der Garbe verbunden mit M.). Wenn man die Definition abwickelt, sieht man:

{ displaystyle Gamma _ {I} (M): = Gamma (Y, { widetilde {M}}) = varinjlim operatorname {Hom} (I ^ {n}, M)}

Hier,

{ displaystyle Gamma _ {I} (M)}

${ displaystyle Gamma _ {I} (M)}$ heißt das ideale Transformation von

{ displaystyle M}

$M.$ in Gedenken an

{ displaystyle I}

$ich$ .^[6]

Verweise[edit]

Atiyah, Michael Francis; Macdonald, IG (1969), Einführung in die kommutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Eisenbud, David, Kommutative Algebra mit Blick auf die algebraische Geometrie, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integrierter Verschluss von Idealen, Ringen und Modulen, Lecture Note Series der London Mathematical Society, 336, Cambridge, Großbritannien: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4, HERR 2266432

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