Rankine-Hugoniot-Bedingungen – Wikipedia

Das Rankine-Hugoniot-Bedingungen, auch bezeichnet als Rankine-Hugoniot-Sprungbedingungen oder Rankine-Hugoniot-Beziehungenbeschreiben die Beziehung zwischen den Zuständen auf beiden Seiten einer Stoßwelle oder einer Verbrennungswelle (Verpuffung oder Detonation) in einer eindimensionalen Strömung in Flüssigkeiten oder einer eindimensionalen Verformung in Festkörpern. Sie sind nach der Arbeit des schottischen Ingenieurs und Physikers William John Macquorn Rankine benannt^[1] und der französische Ingenieur Pierre Henri Hugoniot.^[2][3]

In einem Koordinatensystem, das sich mit der Diskontinuität bewegt, können die Rankine-Hugoniot-Bedingungen ausgedrückt werden als:^[4]

ρ1u1=ρ2u2≡mErhaltung der Masseρ1u12+p1=ρ2u22+p2Impulserhaltungh1+12u12=h2+12u22Energieeinsparung{ displaystyle { begin {align} rho _ {1} , u_ {1} & = rho _ {2} , u_ {2} equiv m && { text {Erhaltung der Masse}} \ rho _ {1} , u_ {1} ^ {2} + p_ {1} & = rho _ {2} , u_ {2} ^ {2} + p_ {2} && { text {Erhaltung von Impuls}} \ h_ {1} + { frac {1} {2}} u_ {1} ^ {2} & = h_ {2} + { frac {1} {2}} u_ {2} ^ {2} && { text {Energieeinsparung}} end {align}}}

wo m ist der Massenstrom pro Flächeneinheit, ρ₁ und ρ₂ sind die Massendichte des Fluids stromaufwärts und stromabwärts der Welle, u₁ und u₂ sind die Fluidgeschwindigkeit stromaufwärts und stromabwärts der Welle, p₁ und p₂ sind die Drücke in den beiden Regionen, und h₁ und h₂ sind die Spezifisch (mit dem Sinn von pro Masseneinheit) Enthalpien in beiden Regionen. Wenn zusätzlich der Fluss reaktiv ist, verlangen die Artenschutzgleichungen dies

ωich,1=ωich,2=0,ich=1,2,3,...N.,Artenschutz{ displaystyle omega _ {i, 1} = omega _ {i, 2} = 0, quad i = 1,2,3, … N, qquad { text {Artenschutz}}}

sowohl stromaufwärts als auch stromabwärts der Diskontinuität zu verschwinden. Hier,

ω{ displaystyle omega}

ist die Massenproduktionsrate der ichth Arten von insgesamt N. Arten, die an der Reaktion beteiligt sind. Die Kombination von Massen- und Impulserhaltung gibt uns

p2– –p11/.ρ2– –1/.ρ1=– –m2{ displaystyle { frac {p_ {2} -p_ {1}} {1 / rho _ {2} -1 / rho _ {1}}} = – m ^ {2}}

Dies definiert eine gerade Linie, die als Rayleigh-Linie bekannt ist und nach Lord Rayleigh benannt ist und eine negative Steigung aufweist (seitdem

m2{ displaystyle m ^ {2}}

ist immer positiv) in der

p– –ρ– –1{ displaystyle p- rho ^ {- 1}}

Flugzeug. Verwendung der Rankine-Hugoniot-Gleichungen zur Erhaltung von Masse und Impuls zur Eliminierung u₁ und u₂kann die Gleichung zur Energieeinsparung als Hugoniot-Gleichung ausgedrückt werden:

h2– –h1=12((1ρ2+1ρ1)((p2– –p1).{ displaystyle h_ {2} -h_ {1} = { frac {1} {2}} , left ({ frac {1} { rho _ {2}}} + { frac {1} { rho _ {1}}} right) , (p_ {2} -p_ {1}).}

Die Umkehrung der Dichte kann auch als spezifisches Volumen ausgedrückt werden.

v=1/.ρ{ displaystyle v = 1 / rho}

. Zusammen mit diesen muss man die Beziehung zwischen der vor- und nachgelagerten Zustandsgleichung spezifizieren

f((p1,ρ1,T.1,Y.ich,1)=f((p2,ρ2,T.2,Y.ich,2){ displaystyle f (p_ {1}, rho _ {1}, T_ {1}, Y_ {i, 1}) = f (p_ {2}, rho _ {2}, T_ {2}, Y_ {i, 2})}

wo

Y.ich{ displaystyle Y_ {i}}

ist der Massenanteil der Art. Schließlich die kalorische Zustandsgleichung

h=h((p,ρ,Y.ich){ displaystyle h = h (p, rho, Y_ {i})}

wird als bekannt angenommen, dh

h((p1,ρ1,Y.ich,1)=h((p2,ρ2,Y.ich,2).{ displaystyle h (p_ {1}, rho _ {1}, Y_ {i, 1}) = h (p_ {2}, rho _ {2}, Y_ {i, 2}).}

Vereinfachte Beziehungen zwischen Rankine und Hugoniot^[5][edit]

Die folgenden Annahmen werden getroffen, um die Rankine-Hugoniot-Gleichungen zu vereinfachen. Es wird angenommen, dass das Gemisch dem idealen Gasgesetz entspricht, so dass die Beziehung zwischen der stromabwärtigen und der stromaufwärtigen Zustandsgleichung wie folgt geschrieben werden kann

p2ρ2T.2=p1ρ1T.1=R.W.¯{ displaystyle { frac {p_ {2}} { rho _ {2} T_ {2}}} = { frac {p_ {1}} { rho _ {1} T_ {1}}} = { frac {R} { overline {W}}}}

wo

R.{ displaystyle R}

ist die universelle Gaskonstante und das mittlere Molekulargewicht

W.¯{ displaystyle { overline {W}}}

wird als konstant angenommen (andernfalls

W.¯{ displaystyle { overline {W}}}

würde vom Massenanteil aller Arten abhängen). Nimmt man an, dass die spezifische Wärme bei konstantem Druck liegt

cp{ displaystyle c_ {p}}

Ist auch über die Welle konstant, kann die Änderung der Enthalpien (kalorische Zustandsgleichung) einfach als geschrieben werden

h2– –h1=– –q+cp((T.2– –T.1){ displaystyle h_ {2} -h_ {1} = – q + c_ {p} (T_ {2} -T_ {1})}

wobei der erste Term im obigen Ausdruck die Wärmemenge darstellt, die pro Masseneinheit des stromaufwärtigen Gemisches von der Welle freigesetzt wird, und der zweite Term die fühlbare Erwärmung darstellt. Wenn man die Temperatur unter Verwendung der Zustandsgleichung eliminiert und die obige Änderung der Enthalpien durch den obigen Ausdruck in die Hugoniot-Gleichung ersetzt, erhält man eine Hugoniot-Gleichung, die nur in Form von Druck und Dichte ausgedrückt wird.

((γγ– –1)((p2ρ2– –p1ρ1)– –12((1ρ2+1ρ1)((p2– –p1)=q,{ displaystyle left ({ frac { gamma} { gamma -1}} right) left ({ frac {p_ {2}} { rho _ {2}}} – { frac {p_ {1}} { rho _ {1}}} right) – { frac {1} {2}} left ({ frac {1} { rho _ {2}}} + { frac { 1} { rho _ {1}}} right) (p_ {2} -p_ {1}) = q,}

wo

γ{ displaystyle gamma}

ist das spezifische Wärmeverhältnis. Hugoniot-Kurve ohne Wärmeabgabe (

q=0{ displaystyle q = 0}

) wird oft als Shock Hugoniot bezeichnet. Zusammen mit der Rayleigh-Liniengleichung bestimmt die obige Gleichung den Zustand des Systems vollständig. Diese beiden Gleichungen können kompakt geschrieben werden, indem die folgenden nichtdimensionalen Skalen eingeführt werden:

p~=p2p1,v~=ρ1ρ2,α=qρ1p1,μ=m2p1ρ1.{ displaystyle { tilde {p}} = { frac {p_ {2}} {p_ {1}}}, quad { tilde {v}} = { frac { rho _ {1}} { rho _ {2}}}, quad alpha = { frac {q rho _ {1}} {p_ {1}}}, quad mu = { frac {m ^ {2}} { p_ {1} rho _ {1}}}.}

Die Rayleigh-Liniengleichung und die Hugoniot-Gleichung vereinfachen sich dann zu

p~– –1v~– –1=– –μp~=[2α+(γ+1)/(γ−1)]– –v~[(γ+1)/(γ−1)]v~– –1.{ displaystyle { begin {align} { frac {{ tilde {p}} – 1} {{ tilde {v}} – 1}} & = – mu \ { tilde {p}} & = { frac {[2alpha +(gamma +1)/(gamma -1)]- { tilde {v}}} {[(gamma +1)/(gamma -1)]{ tilde {v}} – 1}}. end {align}}}

In Anbetracht der vorgelagerten Bedingungen ist der Schnittpunkt der beiden obigen Gleichungen in der

p~– –v~{ displaystyle { tilde {p}} – { tilde {v}}}

Ebene bestimmen die nachgeschalteten Bedingungen. Wenn keine Wärmefreisetzung auftritt, beispielsweise Stoßwellen ohne chemische Reaktion, dann

α=0{ displaystyle alpha = 0}

. Die Hugoniot-Kurven sind asymptotisch zu den Linien

v~=((γ– –1)/.((γ+1){ displaystyle { tilde {v}} = ( gamma -1) / ( gamma +1)}

und

p~=– –((γ– –1)/.((γ+1){ displaystyle { tilde {p}} = – ( gamma -1) / ( gamma +1)}

Das heißt, der Drucksprung über die Welle kann beliebige Werte annehmen

0≤p~<∞{ displaystyle 0 leq { tilde {p}} < infty}

Das spezifische Volumenverhältnis ist jedoch auf das Intervall beschränkt

((γ– –1)/.((γ+1)≤v~≤2α+((γ+1)/.((γ– –1){ displaystyle ( gamma -1) / ( gamma +1) leq { tilde {v}} leq 2 alpha + ( gamma +1) / ( gamma -1)}

(Die Obergrenze wird für den Fall abgeleitet

p~→0{ displaystyle { tilde {p}} rightarrow 0}

weil der Druck keine negativen Werte annehmen kann). In der Chapman-Jouguet-Bedingung tangiert die Rayleigh-Linie die Hugoniot-Kurve.

Wenn

γ=1.4{ displaystyle gamma = 1.4}

(zweiatomiges Gas ohne Schwingungsmodusanregung) ist das Intervall

1/.6≤v~≤2α+6{ displaystyle 1/6 leq { tilde {v}} leq 2 alpha +6}

Mit anderen Worten, die Stoßwelle kann die Dichte höchstens um den Faktor 6 erhöhen. Für einatomiges Gas

γ=5/.3{ displaystyle gamma = 5/3}

daher ist das Dichteverhältnis durch das Intervall begrenzt

1/.4≤v~≤2α+4{ displaystyle 1/4 leq { tilde {v}} leq 2 alpha +4}

. Für zweiatomige Gase mit angeregtem Schwingungsmodus haben wir

γ=9/.7{ displaystyle gamma = 9/7}

was zu dem Intervall führt

1/.8≤v~≤2α+8{ displaystyle 1/8 leq { tilde {v}} leq 2 alpha +8}

. In der Realität ist das spezifische Wärmeverhältnis in der Stoßwelle aufgrund molekularer Dissoziation und Ionisation nicht konstant, aber selbst in diesen Fällen überschreitet das Dichteverhältnis im Allgemeinen den Faktor nicht

11– –13{ displaystyle 11-13}

.^[6]

Ableitung aus Euler-Gleichungen[edit]

Betrachten Sie Gas in einem eindimensionalen Behälter (z. B. einem langen, dünnen Rohr). Angenommen, die Flüssigkeit ist nichtviskos (dh sie zeigt keine Viskositätseffekte wie beispielsweise Reibung mit den Rohrwänden). Nehmen wir außerdem an, dass keine Wärmeübertragung durch Wärmeleitung oder Strahlung stattfindet und dass die Gravitationsbeschleunigung vernachlässigt werden kann. Ein solches System kann durch das folgende System von Erhaltungsgesetzen beschrieben werden, das als 1D-Euler-Gleichungen bekannt ist und in Erhaltungsform lautet:

((1)∂ρ∂t=– –∂∂x((ρu){ displaystyle (; 1) quad quad { frac { partiell rho} { partiell t}} ; ; = – { frac { partiell} { partiell x}} left ( rho u right)}

((2)∂∂t((ρu)=– –∂∂x((ρu2+p){ displaystyle (; 2) quad quad { frac { partiell} { partiell t}} ( rho u) , = – { frac { partiell} { partiell x}} left ( rho u ^ {2} + p right)}

((3)∂∂t((E.t)=– –∂∂x[u(Et+p)],{ displaystyle (; 3) quad quad { frac { partiell} { partiell t}} links (E ^ {t} rechts) = – { frac { partiell} { partiell x} }links[uleft(E^{t}+pright)right],}

wo

ρ,{ displaystyle rho, ,}

Flüssigkeitsmassendichte,

u,{ displaystyle u, ,}

Flüssigkeitsgeschwindigkeit,

e,{ displaystyle e, ,}

spezifische innere Energie der Flüssigkeit,

p,{ displaystyle p, ,}

Flüssigkeitsdruck und

E.t=ρe+ρ12u2,{ displaystyle E ^ {t} = rho e + rho { frac {1} {2}} u ^ {2}, ,}

ist die Gesamtenergiedichte der Flüssigkeit, [J/m³]während e ist seine spezifische innere Energie

Nehmen wir weiter an, dass das Gas kalorisch ideal ist und daher eine polytrope Zustandsgleichung der einfachen Form vorliegt

((4)p=((γ– –1)ρe,{ displaystyle (; 4) quad quad p = left ( gamma -1 right) rho e,}

ist gültig, wo

γ{ displaystyle gamma}

ist das konstante Verhältnis der spezifischen Wärme

cp/.cv{ displaystyle c_ {p} / c_ {v}}

. Diese Menge erscheint auch als polytropischer Exponent des polytropischen Prozesses beschrieben durch

((5)pργ=Konstante.{ displaystyle (; 5) quad quad { frac {p} { rho ^ { gamma}}} = { text {Konstante}}.}

Eine ausführliche Liste komprimierbarer Strömungsgleichungen usw. finden Sie im NACA-Bericht 1135 (1953).^[7]

Hinweis: Für ein kalorisch ideales Gas

γ{ displaystyle gamma ,}

ist eine Konstante und für ein thermisch ideales Gas

γ{ displaystyle gamma ,}

ist eine Funktion der Temperatur. Im letzteren Fall kann sich die Abhängigkeit des Drucks von der Massendichte und der inneren Energie von der in Gleichung (4) angegebenen unterscheiden.

Die Sprungbedingung[edit]

Bevor Sie fortfahren, müssen Sie das Konzept von a einführen Sprungbedingung – ein Zustand, der bei einer Diskontinuität oder abrupten Änderung gilt.

Stellen Sie sich eine 1D-Situation vor, in der die skalar konservierte physikalische Größe springt

w{ displaystyle w}

, die dem integralen Naturschutzgesetz unterliegt

((6)ddt∫x1x2wdx=– –f((w)|x1x2{ displaystyle (; 6) quad quad { frac {d} {dt}} int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} w , dx = – left.f left (w rechts) rechts | _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}}}

für jeden

x1{ displaystyle x_ {1}}

,

x2{ displaystyle x_ {2}}

,

x1<x2{ displaystyle x_ {1}

und daher durch partielle Differentialgleichung

((6‘)∂w∂t+∂∂xf((w)=0{ displaystyle (; 6 ‘) quad quad { frac { partielles w} { partielles t}} + { frac { partielles} { partielles x}} f left (w right) = 0}

für reibungslose Lösungen.^[8]

Lassen Sie die Lösung einen Sprung (oder Schock) bei zeigen

dx1/.dt=0{ displaystyle dx_ {1} / dt = 0}

und dx2/.dt=0{ displaystyle dx_ {2} / dt = 0}

.

Nun lass

((9)us((w1– –w2)=f((w1)– –f((w2),{ displaystyle (; 9) quad quad u_ {s} left (w_ {1} -w_ {2} right) = f left (w_ {1} right) -f left (w_ { 2} right),}

wo wir definiert haben

((10)us=f((w1)– –f((w2)w1– –w2.{ displaystyle (10) quad quad u_ {s} = { frac {f left (w_ {1} right) -f left (w_ {2} right)} {w_ {1} -w_ {2}}}.}

Gleichung (9) repräsentiert die Sprungbedingung für das Erhaltungsgesetz (6). Eine Schocksituation entsteht in einem System, in dem es Eigenschaften überschneiden, und unter diesen Bedingungen besteht eine Anforderung für eine eindeutige einwertige Lösung darin, dass die Lösung die Anforderungen erfüllt Zulässigkeitsbedingung oder Entropiebedingung. Für physikalisch reale Anwendungen bedeutet dies, dass die Lösung die Anforderungen erfüllen sollte Laxer Entropiezustand

((11)f‘((w1)>us>f‘((w2),{ displaystyle (11) quad quad f ^ { prime} left (w_ {1} right)> u_ {s}> f ^ { prime} left (w_ {2} right),}

f‘((w1){ displaystyle f ^ { prime} left (w_ {1} right)}

und f‘((w2){ displaystyle f ^ { prime} left (w_ {2} right)}

vertreten charakteristische Geschwindigkeiten bei vor- und nachgelagerten Bedingungen.

Schockzustand[edit]

Im Fall des hyperbolischen Erhaltungsgesetzes (6) haben wir gesehen, dass die Stoßgeschwindigkeit durch einfache Division erhalten werden kann. Für die 1D-Euler-Gleichungen (1), (2) und (3) haben wir jedoch die Vektorzustandsvariable

[ρρuE]T.{ displaystyle { begin {bmatrix} rho & rho u & E end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}}

und die Sprungbedingungen werden

((12)us((ρ2– –ρ1)=ρ2u2– –ρ1u1{ displaystyle (12) quad quad quad quad ; u_ {s} left ( rho _ {2} – rho _ {1} right) = rho _ {2} u_ {2} – rho _ {1} u_ {1}}

((13)us((ρ2u2– –ρ1u1)=((ρ2u22+p2)– –((ρ1u12+p1){ displaystyle (13) quad quad ; u_ {s} left ( rho _ {2} u_ {2} – rho _ {1} u_ {1} right) = left ( rho _ {2} u_ {2} ^ {2} + p_ {2} rechts) – links ( rho _ {1} u_ {1} ^ {2} + p_ {1} rechts)}

((14)us((E.2– –E.1)=[ρ2u2(e2+12u22+p2ρ2)]– –[ρ1u1(e1+12u12+p1ρ1)].{ displaystyle (14) quad quad u_ {s} left (E_ {2} -E_ {1} right) = left[rho _{2}u_{2}left(e_{2}+{frac {1}{2}}u_{2}^{2}+{frac {p_{2}}{rho _{2}}}right)right]-links[rho _{1}u_{1}left(e_{1}+{frac {1}{2}}u_{1}^{2}+{frac {p_{1}}{rho _{1}}}right)right].}

Die Gleichungen (12), (13) und (14) sind als die bekannt Rankine-Hugoniot-Bedingungen für die Euler-Gleichungen und werden abgeleitet, indem die Erhaltungssätze in integraler Form über ein Kontrollvolumen durchgesetzt werden, das den Schock enthält. Für diese Situation

us{ displaystyle u_ {s}}

kann nicht durch einfache Division erhalten werden. Dies kann jedoch gezeigt werden, indem das Problem in ein sich bewegendes Koordinatensystem umgewandelt wird (Einstellung)

us‘: =us– –u1{ displaystyle u_ {s} ‘: = u_ {s} -u_ {1}}

,

u1‘: =0{ displaystyle u ‘_ {1}: = 0}

,

u2‘: =u2– –u1{ displaystyle u ‘_ {2}: = u_ {2} -u_ {1}}

zu entfernen

u1{ displaystyle u_ {1}}

) und einige algebraische Manipulationen (die die Beseitigung von beinhalten

u2‘{ displaystyle u ‘_ {2}}

aus der transformierten Gleichung (13) unter Verwendung der transformierten Gleichung (12)), dass die Stoßgeschwindigkeit gegeben ist durch

((15)us=u1+c11+γ+12γ((p2p1– –1),{ displaystyle (15) quad quad u_ {s} = u_ {1} + c_ {1} { sqrt {1 + { frac { gamma +1} {2 gamma}} left ({ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} – 1 right)}},}

wo

c1=γp1/.ρ1{ displaystyle c_ {1} = { sqrt { gamma p_ {1} / rho _ {1}}}}

ist die Schallgeschwindigkeit in der Flüssigkeit bei vorgelagerten Bedingungen.^{[9][10][11][12][13][14]}

Schock Hugoniot und Rayleigh Linie in Festkörpern[edit]

Schock Hugoniot und Rayleigh Linie in der p– –v Flugzeug. Die Kurve repräsentiert ein Diagramm von Gleichung (24) mit p₁, v₁, c₀, und s bekannt. Wenn p₁ = 0Die Kurve schneidet die spezifische Volumenachse am Punkt v₁.

Hugoniot Elastizitätsgrenze in der p– –v Ebene für einen Stoß in einem elastisch-plastischen Material.

Für Schocks in Festkörpern kann ein Ausdruck in geschlossener Form wie Gleichung (15) nicht aus ersten Prinzipien abgeleitet werden. Stattdessen experimentelle Beobachtungen^[15] zeigen an, dass eine lineare Beziehung^[16] kann stattdessen verwendet werden (genannt der Schock Hugoniot in der u_s– –u_p Ebene), die die Form hat

us=c0+sup=c0+su2{ displaystyle u_ {s} = c_ {0} + s , u_ {p} = c_ {0} + s , u_ {2}}

wo c₀ ist die Schallgeschwindigkeit im Material (bei einachsiger Kompression), s ist ein Parameter (die Steigung des Schocks Hugoniot), der aus Anpassungen an experimentelle Daten erhalten wird, und u_p = u₂ ist die Partikelgeschwindigkeit innerhalb des komprimierten Bereichs hinter der Stoßfront.

Die obige Beziehung kann in Kombination mit den Hugoniot-Gleichungen zur Erhaltung von Masse und Impuls verwendet werden, um den Schock zu bestimmen, den Hugoniot in der p– –v Flugzeug, wo v ist das spezifische Volumen (pro Masseneinheit):^[17]

p2– –p1=c02ρ1ρ2((ρ2– –ρ1)[ρ2−s(ρ2−ρ1)]2=c02((v1– –v2)[v1−s(v1−v2)]2.{ displaystyle p_ {2} -p_ {1} = { frac {c_ {0} ^ {2} , rho _ {1} , rho _ {2} , left ( rho _ { 2} – rho _ {1} right)} { left[rho _{2}-sleft(rho _{2}-rho _{1}right)right]^ {2}}} = { frac {c_ {0} ^ {2} , left (v_ {1} -v_ {2} right)} { left[v_{1}-sleft(v_{1}-v_{2}right)right]^ {2}}} ,.}

Anstelle der obigen Gleichung können auch alternative Zustandsgleichungen wie die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung verwendet werden.

Der Schock Hugoniot beschreibt den Ort aller möglichen thermodynamischen Zustände, in denen ein Material hinter einem Schock existieren kann, projiziert auf eine zweidimensionale Zustandszustandsebene. Es handelt sich also um eine Reihe von Gleichgewichtszuständen, die nicht spezifisch den Weg darstellen, über den ein Material transformiert wird.

Schwache Stöße sind isentrop und das Isentrop stellt den Weg dar, über den das Material durch eine Kompressionswelle mit konvergierenden Eigenschaften vom Anfangs- in den Endzustand belastet wird. Bei schwachen Schocks fällt der Hugoniot daher direkt auf das Isentrop und kann direkt als äquivalenter Pfad verwendet werden. Im Falle eines starken Schocks können wir diese Vereinfachung nicht mehr direkt vornehmen. Für technische Berechnungen wird jedoch angenommen, dass das Isentrop nahe genug am Hugoniot liegt, dass dieselbe Annahme getroffen werden kann.

Wenn der Hugoniot ungefähr der Ladepfad zwischen Zuständen für ein ist “Äquivalent” Kompressionswelle, dann können die Sprungbedingungen für den Stoßbelastungspfad bestimmt werden, indem eine gerade Linie zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand gezogen wird. Diese Linie wird Rayleigh-Linie genannt und hat die folgende Gleichung:

p2– –p1=us2((ρ1– –ρ12ρ2){ displaystyle p_ {2} -p_ {1} = u_ {s} ^ {2} left ( rho _ {1} – { frac { rho _ {1} ^ {2}} { rho _ {2}}} right) ,}

Hugoniot Elastizitätsgrenze[edit]

Die meisten festen Materialien unterliegen plastischen Verformungen, wenn sie starken Stößen ausgesetzt werden. Der Punkt auf dem Schock Hugoniot, an dem ein Material von einem rein elastischen Zustand in einen elastisch-plastischen Zustand übergeht, wird als Hugoniot-Elastizitätsgrenze (HEL) bezeichnet, und der Druck, bei dem dieser Übergang stattfindet, wird bezeichnet p_HEL. Werte von p_HEL kann von 0,2 GPa bis 20 GPa reichen. Oberhalb der HEL verliert das Material einen großen Teil seiner Scherfestigkeit und verhält sich wie eine Flüssigkeit.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

1. ^ Rankine, WJM (1870). “Zur thermodynamischen Theorie der Wellen endlicher Längsstörungen”. Philosophische Transaktionen der Royal Society of London. 160: 277–288. doi:10.1098 / rstl.1870.0015.
2. ^ Hugoniot, H. (1887). “Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (première partie) [Memoir on the propagation of movements in bodies, especially perfect gases (first part)]”. Journal de l’École Polytechnique (auf Französisch). 57: 3–97. Siehe auch: Hugoniot, H. (1889) “Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (deuxième partie)” [Memoir on the propagation of movements in bodies, especially perfect gases (second part)], Journal de l’École Polytechniquevol. 58, Seiten 1–125.
3. ^ Salas, MD (2006). “Die kuriosen Ereignisse, die zur Theorie der Stoßwellen führen, eingeladener Vortrag, 17. Schockinteraktionssymposium, Rom, 4. bis 8. September” (PDF).
4. ^ Williams, FA (2018). Verbrennungstheorie. CRC Drücken Sie.
5. ^ Williams, FA (2018). Verbrennungstheorie. CRC Drücken Sie.
6. ^ Zel’Dovich, YB & Raizer, YP (2012). Physik von Stoßwellen und hydrodynamischen Hochtemperaturphänomenen. Courier Corporation.
7. ^ Ames Research Staff (1953), “Gleichungen, Tabellen und Diagramme für kompressiblen Fluss” (PDF), Bericht 1135 des Nationalen Beratenden Ausschusses für Luftfahrt
8. ^ Beachten Sie, dass das integrale Erhaltungsgesetz
   ((6){ displaystyle scriptstyle (6)}
   konnte im Allgemeinen nicht aus der Differentialgleichung erhalten werden ((6‘){ displaystyle scriptstyle (6 ‘)}
   durch Integraition vorbei [x1;x2]{ displaystyle scriptstyle [x_{1};x_{2}]}}
   weil ((6‘){ displaystyle scriptstyle (6 ‘)}
   gilt nur für reibungslose Lösungen.
9. ^ Liepmann, HW & Roshko, A. (1957). Elemente der Gasdynamik. Courier Corporation.
10. ^ Landau, LD (1959). EM Lifshitz, Strömungsmechanik. Kurs der Theoretischen Physik, 6.
11. ^ Shapiro, AH (1953). Die Dynamik und Thermodynamik des kompressiblen Flüssigkeitsstroms. John Wiley & Sons.
12. ^ Anderson, JD (1990). Moderne kompressible Strömung: mit historischer Perspektive (Vol. 12). New York: McGraw-Hill.
13. ^ Whitham, GB (1999). Lineare und nichtlineare Wellen. Wiley. ISBN 978-0-471-94090-6.
14. ^ Courant, R. & Friedrichs, KO (1999). Überschallströmung und Stoßwellen (Vol. 21). Springer Science & Business Media.
15. ^ Ahrens, TJ (1993), “Staatsgleichung” (PDF), Hochdruckschockkompression von Feststoffen, Hrsg. JR Asay und M. Shahinpoor, Springer-Verlag, New York: 75–113, doi:10.1007 / 978-1-4612-0911-9_4, ISBN 978-1-4612-6943-4
16. ^ Obwohl allgemein angenommen wird, dass eine lineare Beziehung gilt, legen experimentelle Daten nahe, dass fast 80% der getesteten Materialien dieses weithin akzeptierte lineare Verhalten nicht erfüllen. Siehe Kerley, G. I, 2006, “Die lineare US-uP-Beziehung in der Stoßwellenphysik”, arXiv:1306,6916;; für Details.
17. ^ Poirier, JP. (2008) “Einführung in die Physik des Erdinneren”, Cambridge University Press.