Prinzip der eingeschränkten Auswahl – Wikipedia

In der Vertragsbrücke ist die Prinzip der eingeschränkten Auswahl gibt an, dass das Spielen einer bestimmten Karte die Wahrscheinlichkeit verringert, dass der Spieler eine gleichwertige Karte besitzt. Zum Beispiel führt Süd einen niedrigen Spaten, West spielt einen niedrigen, Nord spielt die Königin, Ost gewinnt mit dem König. Das Ass und der König sind gleichwertige Karten; Easts Spiel des Königs verringert die Wahrscheinlichkeit, dass Ost das Ass hält – und erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass West das Ass hält. Das Prinzip hilft anderen Spielern, die Positionen von nicht beobachteten äquivalenten Karten wie dem Spaten-Ass nach Beobachtung des Königs abzuleiten. Die Zunahme oder Abnahme der Wahrscheinlichkeit ist ein Beispiel für die Bayes’sche Aktualisierung, wenn sich Beweise ansammeln und bestimmte Anwendungen mit eingeschränkter Auswahl dem Monty-Hall-Problem ähnlich sind.

Jeff Rubens (1964, 457) erklärte das Prinzip folgendermaßen: “Das Spiel einer Karte, die möglicherweise als Wahl gleicher Spiele ausgewählt wurde, erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mit einer Position begann, bei der seine Wahl eingeschränkt war.” Entscheidend ist, dass es hilft, “in Situationen zu spielen, die früher als Rätselraten galten”. In vielen dieser Situationen lautet die aus dem Prinzip abgeleitete Regel: spielen um geteilte Ehren. Nachdem man eine äquivalente Karte beobachtet hat, sollte man so weiterspielen, als ob zwei Äquivalente zwischen den gegnerischen Spielern aufgeteilt wären, so dass es keine Wahl gab, welche man spielen sollte. Wer den ersten gespielt hat, hat den anderen nicht.

Wenn die Anzahl der äquivalenten Karten größer als zwei ist, ist das Prinzip kompliziert, da ihre Äquivalenz möglicherweise nicht offensichtlich ist. Wenn ein Partner beispielsweise ♣ Q und ♣ 10 hält und der andere ♣ J hält, ist es normalerweise wahr, dass diese drei Karten gleichwertig sind, aber derjenige, der zwei davon hält, weiß es nicht. Eine eingeschränkte Auswahl wird immer in Bezug auf zwei berührende Karten eingeführt – aufeinanderfolgende Ränge in derselben Farbe, wie z ♥QJ oder ♦KQ – wo Äquivalenz manifest ist.

Wenn es keinen Grund gibt, eine bestimmte Karte zu bevorzugen (z. B. um dem Partner zu signalisieren), sollte ein Spieler, der zwei oder mehr gleichwertige Karten besitzt, manchmal seine Spielreihenfolge zufällig festlegen (siehe Hinweis zum Nash-Gleichgewicht). Die Wahrscheinlichkeitsberechnungen für die Abdeckung der eingeschränkten Auswahl setzen häufig eine einheitliche Randomisierung voraus, was jedoch problematisch ist.

Das Prinzip der eingeschränkten Auswahl gilt sogar für die Auswahl eines Eröffnungsleiters aus gleichwertigen Farben durch den Gegner. Siehe Kelsey & Glauert (1980).

Beispiel[edit]

Betrachten Sie die in der Abbildung dargestellte Anzugkombination. Es gibt vier Spatenkarten ♠8754 im Süden (geschlossene Hand) und fünf ♠AJ1096 im Norden (Dummy, sichtbar für alle Spieler). West und Ost halten die restlichen vier Pik ♠KQ32 in ihren beiden geschlossenen Händen.

♠A J 10 9 6

♠8 7 5 4

Süd führt einen kleinen Spaten, West spielt das ♠2 (oder ♠3) spielt Dummy North das ♠J und East gewinnt mit dem ♠K. Später, nach dem Gewinn eines Side-Suit-Tricks, führt South einen weiteren kleinen Spaten an und West folgt mit dem Low ♠3 (oder ♠2). Zu diesem Zeitpunkt, mit Nord und Ost noch zu spielen, ist der Standort nur der ♠Q wurde nicht eingerichtet. Ist es besser, Dummys zu spielen? ♠A, in der Hoffnung, das fallen zu lassen ♠Q aus dem Osten oder wieder mit der Finesse ♠10, in der Hoffnung, die fallen zu lassen ♠Q aus West in der dritten Runde des Anzugs? Das heißt, sollte der Alleinspieler für die ursprünglichen Bestände der Verteidiger 32 und KQ oder Q32 und K spielen? Das Prinzip der eingeschränkten Auswahl erklärt, warum letzteres jetzt etwa doppelt so wahrscheinlich ist, so dass Finesse durch das Spielen der ♠10 ist fast doppelt so erfolgreich.

2-2 Teilen		3-1 Teilen		4-0 Split
Westen	Osten	Westen	Osten	Westen	Osten
KQ	32	KQ3	2	KQ32	– –
K3	Q2	KQ2	3	– –	KQ32
K2	Q3	K32	Q.
Q3	K2	Q32	K.
Q2	K3	K.	Q32
32	KQ	Q.	K32
		3	KQ2
		2	KQ3

Vor dem Spiel sind aus Sicht des Südens 16 mögliche West- und Ostspatenbestände oder “Lügen” möglich. Diese sind links aufgelistet, zuerst nach “Aufteilen” von gleich zu ungleicher Anzahl von Karten, dann nach Wests Halten von am stärksten zu am schwächsten.

Nachdem West dem zweiten Spaten folgt, der der oben erwähnte Moment der Entscheidung ist, bleiben nur zwei von 16 ursprünglichen Lügen möglich (fett), da West sowohl niedrige Karten als auch East the King gespielt hat. Auf den ersten Blick scheint es, dass die Chancen jetzt 1: 1 gerade sind, so dass der Süden damit rechnen sollte, mit einer der beiden möglichen Fortsetzungen gleich gut abzuschneiden.

Dies ist jedoch nicht der Fall, denn wenn Ost hätte ♠KQ, er hätte genauso gut die Königin anstelle des Königs spielen können. Daher würden einige Geschäfte mit der ursprünglichen Lüge 32 und KQ dieses Stadium nicht erreichen; sie würden stattdessen das parallele Stadium mit erreichen ♠K allein fehlt, South hat 32 und Q beobachtet. Im Gegensatz dazu würde jeder Deal mit der ursprünglichen Lüge Q32 und K dieses Stadium erreichen, denn East spielte notgedrungen den König (ohne Wahl oder durch “eingeschränkte Wahl”).

Wenn East den ersten Trick mit dem König oder der Königin gewinnen würde gleichmäßig zufällig von ♠KQ, dann würde diese ursprüngliche Lüge 32 und KQ die Hälfte der Zeit dieses Stadium erreichen und die andere Zeit die andere Weggabelung nehmen. In der tatsächlichen Spielsequenz sind die Gewinnchancen also nicht gerade, sondern halb zu eins oder 1: 2. Osten würde Königin vom Original behalten ♠KQ etwa ein Drittel der Zeit und behalten keine Pik vom Original ♠K etwa zwei Drittel der Zeit.

Dies setzt voraus, dass die Verteidiger kein Signalsystem haben, so dass das Spiel westlich von (sagen wir) der 3, gefolgt von der 2, kein Dublett signalisiert. Im Laufe vieler gleichwertiger Geschäfte, Ost mit ♠KQ sollte theoretisch den ersten Stich mit dem König oder der Königin gleichmäßig zufällig gewinnen; das heißt, jeweils die Hälfte ohne Muster.^[1]

Bessere Berechnung der Gewinnchancen[edit]

Dies ist ein Versuch einer genaueren Berechnung der Gewinnchancen, wie im vorherigen Abschnitt erläutert.

A priori, vier ausstehende Karten “aufgeteilt”, wie in den ersten beiden Spalten der Tabelle gezeigt. Zum Beispiel sind drei Karten zusammen und die vierte ist allein, ein “3-1 Split” mit einer Wahrscheinlichkeit von 49,74%. Um die “Anzahl spezifischer Lügen” zu verstehen, beziehen Sie sich auf die vorhergehende Liste aller Lügen.

Teilt	Wahrscheinlichkeit von Split	Anzahl der spezifische Lügen	Wahrscheinlichkeit von eine bestimmte Lüge
2-2	40,70%	6	6,78%
3-1	49,74%	8	6,22%
4-0	9,57%	2	4,78%

Die letzte Spalte gibt die a priori Wahrscheinlichkeit einer bestimmten ursprünglichen Beteiligung wie 32 und KQ; Dieses wird durch die erste Zeile dargestellt, die die 2–2-Aufteilung abdeckt. Die andere Lüge in unserem Beispielspiel des Spatenanzugs Q32 und K wird durch die zweite Reihe dargestellt, die den 3-1-Split abdeckt.

Somit zeigt die Tabelle, dass die a priori Die Chancen für diese beiden spezifischen Lügen waren nicht gerade, aber leicht zugunsten der ersteren, etwa 6,78 bis 6,22 für ♠KQ gegen ♠K. K.

Was sind die Chancen A posteriori, im Moment der Wahrheit in unserem Beispielspiel des Spatenanzugs? Wenn Ost mit tut ♠KQ gewinnt den ersten Stich gleichmäßig zufällig mit dem König oder der Königin – und mit ♠K gewinnt den ersten Stich mit dem König, ohne eine Wahl zu haben – die hinteren Gewinnchancen liegen bei 3,39 bis 6,22, etwas mehr als 1: 2, prozentual etwas mehr als 35% für ♠KQ. Das Ass spielen ♠Ein aus dem Norden in der zweiten Runde sollte etwa 35% gewinnen, während er mit den Zehnern erneut finessenreich ist ♠10 gewinnt ungefähr 65%.

Das Prinzip der eingeschränkten Auswahl ist allgemein, aber diese spezifische Wahrscheinlichkeitsberechnung setzt voraus, dass East mit dem König von gewinnen würde ♠KQ genau die Hälfte der Zeit (was am besten ist). Wenn der Osten mit dem König aus gewinnen würde ♠KQ mehr oder weniger als die Hälfte der Zeit, dann gewinnt South mehr oder weniger als 35%, indem er das Ass spielt. Wenn der Osten 92% der Zeit mit dem König gewinnen würde (= 6,22 / 6,78), dann gewinnt der Süden 50%, indem er das Ass spielt, und 50%, indem er die Finesse wiederholt. Wenn das stimmt, gewinnt Süd fast 100%, indem er die Finesse wiederholt, nachdem Ost mit der Königin gewonnen hat – für die Königin von dieser Osten Spieler bestreitet fast den König.

Besser noch[edit]

Eine vollständigere Behandlung würde alle Entscheidungen berücksichtigen, nicht nur die Auswahl einer hohen Karte aus zwei Gleichen. Im Beispiel Pik Anzug, die Wahl der niedrigen Karte von West aus ♠32 und von ♠Q32 muss integriert sein. Die 2 und 3 sind offensichtlich äquivalente Karten, die West zufällig aus beiden ursprünglichen Beständen einheitlich spielen sollte – das heißt, zufällig bei den ersten beiden Tricks, wobei immer die Königin von behalten wird ♠Q32. Die vorhergehende Wahrscheinlichkeitsberechnung hängt davon ab, dass West dies tut.

Mathematische Theorie[edit]

Das Prinzip der eingeschränkten Auswahl ist eine Anwendung des Bayes-Theorems. Kp – King spielte im ersten Stich von East. KQ – Ost hat KQ, K – Ost hat K.

${ displaystyle { begin {align} P (KQ mid Kp) & = { frac {P (Kp mid KQ) P (KQ)} {P (Kp)}} \ P (K mid Kp) & = { frac {P (Kp Mitte K) P (K)} {P (Kp)}} \ P (Kp Mitte KQ) & = 0,5; \ P (Kp Mitte K) & = 1 ; \ P (K) ca. P (KQ); \ Linker rechter Pfeil P (K Mitte Kp) ca. 2 * P (KQ Mitte Kp) Ende {ausgerichtet}}}$

Die ersten beiden Gleichungen sind das Bayes-Theorem, der Rest ist einfache Algebra. Beachten Sie, dass P (Kp | KQ) 0,5 ist, da wir angenommen haben, dass East den König oder die Königin mit gleicher Wahrscheinlichkeit spielt, wenn er die Wahl hat.

Zunehmende und abnehmende Wahrscheinlichkeiten der ursprünglichen Lügen der gegnerischen Karten im Verlauf des Handspiels sind Beispiele für die Bayes’sche Aktualisierung, wenn sich Beweise ansammeln.

Siehe auch[edit]

Weiterführende Literatur[edit]

• Kelsey, Hugh; Glauert, Michael (1980). Brückenquoten für praktische Spieler. Master Bridge-Serie. London: Victor Gollancz Ltd in Zusammenarbeit mit Peter Crawley. S. 92–116. ISBN 0-575-02799-1.
• Frey, Richard L.; Truscott, Alan F., Hrsg. (1964). Die offizielle Enzyklopädie der Brücke (1. Aufl.). New York: Crown Publishers, Inc. p. 381-385. LCCN 64023817. Der Artikel über Restricted Choice wurde im ersten von Jeff Rubens verfasst Enzyklopädie (Ausgabe 1964). In ihm und den nachfolgenden Ausgaben (z. B. auf Seite 381 der 6. Ausgabe) gibt Rubens an, dass Reese in seinem Buch Meisterspiel “vereinheitlicht” die “zugrunde liegenden Prinzipien … zuerst diskutiert von Alan Truscott in der Contract Bridge Journal“; er gibt kein Datum für den Truscott-Artikel an.
• Reese, Terence (1958). Das Expertenspiel. London: Edward Arnold (Verlag) Ltd. ISBN 0-575-02799-1. Veröffentlicht in den USA 1960 als Meisterspiel. George Coffin (Waltham MA).

Externe Links[edit]