Metrischer Tensor (allgemeine Relativitätstheorie) – Wikipedia

${ displaystyle { begin {pmatrix} g_ {00} & g_ {01} & g_ {02} & g_ {03} \ g_ {10} & g_ {11} & g_ {12} & g_ {13} \ g_ {20} & g_ {21} & g_ {22} & g_ {23} \ g_ {30} & g_ {31} & g_ {32} & g_ {33} \ end {pmatrix}}}$ Metrischer Tensor der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie, geschrieben als Matrix

In der allgemeinen Relativitätstheorie ist die metrischer Tensor (in diesem Zusammenhang oft einfach mit abgekürzt metrisch) ist das grundlegende Objekt des Studiums. Es kann lose als eine Verallgemeinerung des Gravitationspotentials der Newtonschen Gravitation angesehen werden.^{[clarification needed]} Die Metrik erfasst die gesamte geometrische und kausale Struktur der Raumzeit und wird verwendet, um Begriffe wie Zeit, Entfernung, Volumen, Krümmung, Winkel und Trennung von Zukunft und Vergangenheit zu definieren.

Notation und Konventionen[edit]

In diesem Artikel arbeiten wir mit einer Metrik-Signatur, die größtenteils positiv ist (– + + +); siehe Zeichenkonvention. Die Gravitationskonstante

${ displaystyle G}$

wird explizit gehalten. Dieser Artikel verwendet die Einstein-Summationskonvention, bei der wiederholte Indizes automatisch summiert werden.

Definition[edit]

Mathematisch wird die Raumzeit durch eine vierdimensional differenzierbare Mannigfaltigkeit dargestellt

${ displaystyle M}$

und der metrische Tensor wird als kovarianter symmetrischer Tensor zweiten Grades angegeben

${ displaystyle M}$

, üblicherweise bezeichnet mit

${ displaystyle g}$

. Darüber hinaus muss die Metrik mit der Signatur nicht entartet sein (- + + +). Eine Mannigfaltigkeit

${ displaystyle M}$

Ausgestattet mit einer solchen Metrik ist eine Art Lorentzsche Mannigfaltigkeit.

Explizit ist der metrische Tensor eine symmetrische bilineare Form auf jedem Tangentenraum von

${ displaystyle M}$

das variiert auf sanfte (oder differenzierbare) Weise von Punkt zu Punkt. Gegeben zwei Tangentenvektoren

${ displaystyle u}$

und

${ displaystyle v}$

an einem Punkt

${ displaystyle x}$

im

${ displaystyle M}$

kann die Metrik am ausgewertet werden

${ displaystyle u}$

und

${ displaystyle v}$

um eine reelle Zahl zu geben:

${ displaystyle g_ {x} (u, v) = g_ {x} (v, u) in mathbb {R}.}$

Dies ist eine Verallgemeinerung des Punktprodukts des gewöhnlichen euklidischen Raums. Im Gegensatz zum euklidischen Raum – wo das Punktprodukt positiv definit ist – ist die Metrik unbestimmt und gibt jedem Tangentenraum die Struktur des Minkowski-Raums.

Lokale Koordinaten und Matrixdarstellungen[edit]

Physiker arbeiten normalerweise in lokalen Koordinaten (dh Koordinaten, die auf einem lokalen Patch von definiert sind

${ displaystyle M}$

). In lokalen Koordinaten

${ displaystyle x ^ { mu}}$

(wo

${ displaystyle mu}$

ist ein Index, der von 0 bis 3 läuft.) Die Metrik kann in das Formular geschrieben werden

${ displaystyle g = g _ { mu nu} dx ^ { mu} otimes dx ^ { nu}.}$

Die Faktoren

${ displaystyle dx ^ { mu}}$

sind Ein-Form-Gradienten der skalaren Koordinatenfelder

${ displaystyle x ^ { mu}}$

. Die Metrik ist somit eine lineare Kombination von Tensorprodukten von Koordinatengradienten einer Form. Die Koeffizienten

${ displaystyle g _ { mu nu}}$

sind ein Satz von 16 reellen Funktionen (seit dem Tensor

${ displaystyle g}$

ist ein Tensorfeld, die an allen Punkten eines Raumzeitverteilers definiert ist). Damit die Metrik symmetrisch ist, müssen wir haben

${ displaystyle g _ { mu nu} = g _ { nu mu},}$

Geben von 10 unabhängigen Koeffizienten.

Wenn die lokalen Koordinaten angegeben oder aus dem Kontext verstanden werden, kann die Metrik als geschrieben werden 4 × 4 symmetrische Matrix mit Einträgen

${ displaystyle g _ { mu nu}}$

. Die Nichtentartung von

${ displaystyle g _ { mu nu}}$

bedeutet, dass diese Matrix nicht singulär ist (dh eine nicht verschwindende Determinante hat), während die Lorentzsche Signatur von

${ displaystyle g}$

impliziert, dass die Matrix einen negativen und drei positive Eigenwerte hat. Beachten Sie, dass sich Physiker häufig auf diese Matrix oder die Koordinaten beziehen

${ displaystyle g _ { mu nu}}$

selbst als Metrik (siehe jedoch abstrakte Indexnotation).

Mit den Mengen

${ displaystyle dx ^ { mu}}$

Die Metrik wird als die Komponenten eines infinitesimalen Koordinatenverschiebungs-Viervektors angesehen (nicht zu verwechseln mit den Einformen derselben Notation oben) und bestimmt das invariante Quadrat eines infinitesimalen Linienelements, das oft als bezeichnet wird Intervall. Das Intervall wird oft angegeben

${ displaystyle ds ^ {2} = g _ { mu nu} dx ^ { mu} dx ^ { nu}.}$

Das Intervall

${ displaystyle ds ^ {2}}$

vermittelt Informationen über die kausale Struktur der Raumzeit. Wann

${ displaystyle ds ^ {2} <0}$

ist das Intervall zeitlich und die Quadratwurzel des Absolutwertes von

${ displaystyle ds ^ {2}}$

ist eine inkrementelle richtige Zeit. Nur zeitliche Intervalle können von einem massiven Objekt physisch durchlaufen werden. Wann

${ displaystyle ds ^ {2} = 0}$

Das Intervall ist lichtähnlich und kann nur von (masselosen) Dingen durchlaufen werden, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Wann

${ displaystyle ds ^ {2}> 0}$

${ displaystyle ds ^ {2}}$

wirkt als inkrementelle richtige Länge. Raumartige Intervalle können nicht durchlaufen werden, da sie Ereignisse verbinden, die außerhalb der Lichtkegel des anderen liegen. Ereignisse können nur dann kausal zusammenhängen, wenn sie sich in den Lichtkegeln des anderen befinden.

Die Komponenten der Metrik hängen von der Wahl des lokalen Koordinatensystems ab. Unter einem Koordinatenwechsel

${ displaystyle x ^ { mu} bis x ^ { bar { mu}}}$

transformieren sich die metrischen Komponenten als

${ displaystyle g _ {{ bar { mu}} { bar { nu}}} = { frac { partielle x ^ { rho}} { partielle x ^ { bar { mu}}} } { frac { partielle x ^ { sigma}} { partielle x ^ { bar { nu}}} g _ { rho sigma} = Lambda ^ { rho} {} _ { bar { mu}} , Lambda ^ { sigma} {} _ { bar { nu}} , g _ { rho sigma}.}$

Beispiele[edit]

Flache Raumzeit[edit]

Das einfachste Beispiel einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit^{[clarification needed]} ist eine flache Raumzeit, die als angegeben werden kann R.⁴ mit Koordinaten^{[clarification needed]}

${ displaystyle (t, x, y, z)}$

und die Metrik

${ displaystyle ds ^ {2} = – c ^ {2} dt ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} = eta _ { mu nu} dx ^ { mu} dx ^ { nu}. ,}$

Beachten Sie, dass diese Koordinaten tatsächlich alle abdecken R.⁴. Die flache Raummetrik (oder Minkowski-Metrik) wird häufig durch das Symbol bezeichnet η und ist die Metrik, die in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. In den obigen Koordinaten ist die Matrixdarstellung von η ist

${ displaystyle eta = { begin {pmatrix} -c ^ {2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$

(Eine alternative Konvention ersetzt die Koordinate

${ displaystyle t}$

durch

${ displaystyle ct}$

und definiert

${ displaystyle eta}$

wie im Minkowski-Raum § Standardbasis.)

In sphärischen Koordinaten

${ displaystyle (t, r, theta, phi)}$

nimmt die flache Raummetrik die Form an

${ displaystyle ds ^ {2} = – c ^ {2} dt ^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} d Omega ^ {2} ,}$

wo

${ displaystyle d Omega ^ {2} = d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}}$

ist die Standardmetrik für die 2-Kugel^{[clarification needed]}.

Schwarze Loch-Metriken[edit]

Die Schwarzschild-Metrik beschreibt ein ungeladenes, nicht rotierendes Schwarzes Loch. Es gibt auch Metriken, die rotierende und geladene Schwarze Löcher beschreiben.

Schwarzschild-Metrik[edit]

Neben der Flachraummetrik ist die Schwarzschild-Metrik die wichtigste Metrik in der allgemeinen Relativitätstheorie, die in einem Satz lokaler Koordinaten von angegeben werden kann

${ displaystyle ds ^ {2} = – left (1 – { frac {2GM} {rc ^ {2}}} right) c ^ {2} dt ^ {2} + left (1 – { frac {2GM} {rc ^ {2}}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} d Omega ^ {2}}$

wo wieder

${ displaystyle d Omega ^ {2}}$

ist die Standardmetrik für die 2-Kugel. Hier,

${ displaystyle G}$

ist die Gravitationskonstante und

${ displaystyle M}$

ist eine Konstante mit den Dimensionen der Masse. Die Ableitung finden Sie hier. Die Schwarzschild-Metrik nähert sich der Minkowski-Metrik als

${ displaystyle M}$

nähert sich Null (außer am Ursprung, wo es undefiniert ist). Ebenso wenn

${ displaystyle r}$

geht ins Unendliche, die Schwarzschild-Metrik nähert sich der Minkowski-Metrik.

Mit Koordinaten

${ displaystyle left (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} right) = (ct, r, theta, varphi) ,,}$

Wir können die Metrik schreiben als

${ displaystyle g _ { mu nu} = { begin {bmatrix} – left (1 – { frac {2GM} {rc ^ {2}}} right) & 0 & 0 & 0 \ 0 & left (1- { frac {2GM} {rc ^ {2}}} right) ^ {- 1} & 0 & 0 \ 0 & 0 & r ^ {2} & 0 \ 0 & 0 & 0 & r ^ {2} sin ^ {2} theta end {bmatrix} } ,.}$

Für die Schwarzschild-Metrik wurden mehrere andere Koordinatensysteme entwickelt: Eddington-Finkelstein-Koordinaten, Gullstrand-Painlevé-Koordinaten, Kruskal-Szekeres-Koordinaten und Lemaître-Koordinaten.

Rotierende und geladene Schwarze Löcher[edit]

Die Schwarzschild-Lösung setzt ein Objekt voraus, das sich nicht im Raum dreht und nicht geladen ist. Um die Ladung zu berücksichtigen, muss die Metrik die Einstein-Feld-Gleichungen wie zuvor sowie die Maxwell-Gleichungen in einer gekrümmten Raumzeit erfüllen. Eine geladene, nicht rotierende Masse wird durch die Reissner-Nordström-Metrik beschrieben.

Rotierende Schwarze Löcher werden durch die Kerr-Metrik und die Kerr-Newman-Metrik beschrieben.^{[further explanation needed]}

Andere Metriken[edit]

Andere bemerkenswerte Metriken sind:

Einige von ihnen sind ohne Ereignishorizont oder können ohne Gravitationssingularität sein.

Die Metrik G induziert eine natürliche Volumenform (bis zu einem Zeichen), die zur Integration über einen Bereich einer Mannigfaltigkeit verwendet werden kann. Gegebene lokale Koordinaten

${ displaystyle x ^ { mu}}$

Für den Verteiler kann die Volumenform geschrieben werden

${ displaystyle mathrm {vol} _ {g} = pm { sqrt {| det[g_{mu nu }]|}} , dx ^ {0} Keil dx ^ {1} Keil dx ^ {2} Keil dx ^ {3}}$

wo

${ displaystyle det[g_{mu nu }]}}$

ist die Determinante der Komponentenmatrix des metrischen Tensors für das gegebene Koordinatensystem.

Krümmung[edit]

Die Metrik

${ displaystyle g}$

bestimmt vollständig die Krümmung der Raumzeit. Nach dem Grundsatz der Riemannschen Geometrie besteht auf jeder semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit eine eindeutige Verbindung ∇, die mit der Metrik kompatibel und torsionsfrei ist. Diese Verbindung wird als Levi-Civita-Verbindung bezeichnet. Die Christoffel-Symbole dieser Verbindung werden als partielle Ableitungen der Metrik in lokalen Koordinaten angegeben

${ displaystyle x ^ { mu}}$

nach der Formel

${ displaystyle Gamma ^ { lambda} {} _ { mu nu} = {1 over 2} g ^ { lambda rho} left ({ partielles g _ { rho mu} over partielles x ^ { nu}} + { partielles g _ { rho nu} über partielles x ^ { mu}} – { partielles g _ { mu nu} über partielles x ^ { rho }} right) = {1 over 2} g ^ { lambda rho} left (g _ { rho mu, nu} + g _ { rho nu, mu} -g _ { mu nu, rho} right)}$

(wobei Kommas partielle Ableitungen anzeigen).

Die Krümmung der Raumzeit ergibt sich dann aus dem Riemannschen Krümmungstensor, der anhand der Levi-Civita-Verbindung ∇ definiert ist. In lokalen Koordinaten ist dieser Tensor gegeben durch:

${ displaystyle {R ^ { rho}} _ { sigma mu nu} = teilweise _ { mu} Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma} – teilweise _ { nu} Gamma ^ { rho} {} _ { mu sigma} + Gamma ^ { rho} {} _ { mu lambda} Gamma ^ { lambda} {} _ { nu sigma } – Gamma ^ { rho} {} _ { nu lambda} Gamma ^ { lambda} {} _ { mu sigma}.}$

Die Krümmung ist dann rein metrisch ausgedrückt

${ displaystyle g}$

und seine Derivate.

Einsteins Gleichungen[edit]

Eine der Kernideen der allgemeinen Relativitätstheorie ist, dass die Metrik (und die damit verbundene Geometrie der Raumzeit) durch die Materie und den Energiegehalt der Raumzeit bestimmt wird. Einsteins Feldgleichungen:

${ displaystyle R _ { mu nu} – {1 over 2} Rg _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} , T _ { mu nu }}$

wo der Ricci Krümmungstensor

${ displaystyle R _ { nu rho} { stackrel { mathrm {def}} {=}} {R ^ { mu}} _ { nu mu rho}}$

und die Skalarkrümmung

${ displaystyle R { stackrel { mathrm {def}} {=}} g ^ { mu nu} R _ { mu nu}}$

Beziehen Sie die Metrik (und die zugehörigen Krümmungstensoren) auf den Spannungsenergietensor

${ displaystyle T _ { mu nu}}$

. Diese Tensorgleichung ist ein komplizierter Satz nichtlinearer partieller Differentialgleichungen für die metrischen Komponenten. Genaue Lösungen von Einsteins Feldgleichungen sind sehr schwer zu finden.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]