絶対に一定の機能-Wikipedia

分析で 絶対的な安定性 安定性の特性を引き締める機能。この用語は、1905年にジュゼッペヴィタリによって導入されました ^{[初め] [2]} また、Lebesgue Integralsの特性評価を可能にします。

そうです

${displaystyle isubset mathbb {r}}$

有限の実際の間隔と

${displaystyle fcolon ito mathbb {c}}$

複雑な関数

${displaystyle i}$

。

関数

${displaystyle f}$

呼ばれています 絶対に安定しています 、それが皆のための場合

${displaystyle varepsilon> 0}$

${displaystyledelta> 0}$

${displaytle {] {k}、y_ {k} [} [}$

から

${displaystyle i}$

それらの全長

${displaystyleテキストスタイルsum {k = 1}^{n}（y_ {k} -x_ {k}）、$

IS、適用されます

${displaystyle sum _ {k = 1}^{n}左| f（y_ {k}）-f（x_ {k}）右|$

絶対に安定した機能は均等に安定しているため、特に着実に。
反転は適用されず、Cantor関数は安定していますが、完全に安定しているわけではありません。
一方、すべてのリプシッツスタンド機能も完全に安定しています。

実際の安定した機能は、測定理論にとって特に重要です。
それはそれを呼びます

${displaystyle lambda}$

人生の男。
単調な機能のために上昇する実際の価値のある関数

${displaystyle fcolon i = [a、b] to mathbb {r}}$

次のプロパティは同等です。

1. 関数
   ${displaystyle f}$

   絶対に安定しています

   ${displaystyle i}$

   。

2. 関数
   ${displaystyle f}$

   画像

   ${displaystyle lambda}$

   – ゼロ量、つまりすべての測定可能な量で再びnull量

   ${displaystyle asubseteq i}$

   適用可能です

   ${displaystyle lambda（a）= 0implies lambda（f（a））= 0}$

   。

3. 関数
   ${displaystyle f}$

   は

   ${displaystyle lambda}$

   – どこでも微分微分可能、派生関数

   ${displaystyle f’in l^{1}（lambda）}$

   統合可能で、すべての人のために

   ${displaystyle please i}$

   適用可能です

   ${displaystyle textStyle f（x）-f（a）= int _ {a}^{x} f ‘（t）mathrm {d} lambda（t）}$

   。

これは、完全に安定した関数と、分布関数によって伝えられる絶対に一定の寸法との間の密接な接続に従います。

メジャー

${displaystyle mu}$

その後、絶対に着実にあります。

${displaystyle lambda}$

の分布関数の制限がある場合

${displaystyle mu}$

有限間隔で

${displaystyle isubset mathbb {r}}$

絶対に安定した機能

${displaystyle i}$

は。

2つの次元が呼び出されます に相当 両方がお互いの観点から絶対に着実にある場合

${displaystyle mu sim lambda iff mu ll lambda wedge lambda ll mu}$

。

絶対に安定した機能は、統合理論でも使用されており、そこで分析の基本的なセットをlebesgue積分に拡大するために役立ちます。
つまり、上記の同等性を超えています 非モノトンでさえ 絶対に一定の関数はほぼすべての場所で区別し、適用されます

${displaystyle textStyle f（x）-f（a）= int _ {a}^{x} f ‘、mathrm {d} lambda}$

。
も、また

${displaystyle f}$

弱く区別されます そして、弱い派生は正しい（ほぼどこでも）

${displaystyle f ‘}$

マッチ。
これは、実際には、次の逆転が任意の関数にも適用されるため、実際にルベーグの完全性の特性評価を提供します。

関数があります

${displaystyle fcolon i = [a、b] to mathbb {r}}$

統合可能な派生関数

${displaystyle f’in l^{1}}$

そして、すべての人に適用されます

${displaystyle please i}$

、 それか

${displaystyle textStyle f（x）-f（a）= int _ {a}^{x} f ‘（t）mathrm {d} lambda（t）}$

、そうです

${displaystyle f}$

絶対に着実に必要です

${displaystyle i}$

。

最適なコントロールの理論では、ソリューションが完全に安定していることが必要です。

1. ↑ Giuseppe Vitali： 実際の複雑な分析で動作します。 Cremonese Editions、Bologna 1984
2. ↑ ユルゲン・エルストロット： 測定および統合理論。 4.、修正版。 Springer、Berlin 2005、ISBN 3-540-21390-2、p。281。