オリエンテッドエリア – ウィキペディア

一 向きのあるエリア 初等領域の数学的サブエリアの基本差の幾何学の別の領域です オリエンテルエリア 、その双方のどれが外側または内側にあるかを決定しました。 ^[初め] 面積の向きは、2つの可能なシャマル型ベクトルの1つを選択して決定されます。 ^[2] 表面の外側は、選択した通常のベクトルが去るものです。 ^[3] Möbiusbandなど、指向されていない領域があります。

通常のエリア（またはエッジのある通常のエリア）

${displaystyle ssubset mathbb {r} ^{3}}$

定常ユニットの正常ベクトルフィールドがある場合、方向を意味します

${displaystyleS}$

与えます。 ^[4]

このような安定した単位正常ベクトルフィールド

${displaystyle {vec {n}}}$

の上

${displaystyleS}$

の方向を置きます

${displaystyleS}$

しっかりと。したがって、方向の表面は、定常単位正常ベクトルフィールドがある方向のある領域です

${displaystyle {vec {n}}}$

選択されました。正式には、向きのあるエリアはカップルです

${displaystyle（s、{vec {n}}）}$

オリエンテルエリアから

${displaystyleS}$

安定したユニット正常ベクトルフィールド

${displaystyle {vec {n}}}$

の上

${displaystyleS}$

。

定数ユニットの通常のベクトルフィールドを介しています

${displaystyle {vec {n}} _ {1}}$

エリアのオリエンテーション

${displaystyleS}$

与えられた、そうである

${displayStyle {thing {n}} _ {2} = – {thing {n}} _ {1}}$

さらなる方向を持つ定常ユニット正常ベクトルフィールド

${displaystyleS}$

定義されています。オリエンテルなエリアです

${displaystyleS}$

接続、まさにこれらの2つの方向があります。領域がいくつかのコンテキストコンポーネントで構成されている場合、各コンテキストコンポーネントの他のコンポーネントに関係なく方向を選択できます。

エリアで方向が選択されている場合、これは ポジティブ 反対の方向を指します ネガティブ 。

閉じた表面 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

球体（球面表面）やトーラスなどの一貫した閉じた表面は、部屋を2つのコヒーレントな部分、内部と外側にもたらします。したがって、表面の内側と外側について話します。外側の選択は、外側の参照、内側の内側の統一法線ベクトルフィールドの選択に対応します。特に言わない限り、外向きのユニットの通常のベクトルフィールドを介して方向を選択します。 ^[5] これは、ガウス積分セットの使用に必要です。

エッジのある表面 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

エッジのある表面の場合、周辺曲線の方向（感覚全体）は、表面の向きによって決まります。

表示：領域の選択された側を「上」と見なし、端に沿って領域の上部に沿って行く観測者を想像すると、その領域がその左側にあるように、観察者は正の方向に曲線を通過します。
面積の形状を伴う周辺曲線の循環は1つであると言われています 合法的なネジ また 合法的なネジ ^[6] 平行な形の合法的なネジが表面の方向の表面の方向に前方に移動するため、形式。
表面が単一のエッジ曲線によって制限されている場合、辺縁曲線の悪感は領域の向きを決定します。 ^[7]

ストークスの古典的な積分セットでは、表面の方向と周辺曲線の全体的な感覚が言及された種に関連していると想定されています。

方向レベル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

3次元空間のレベル

${displaystyle mathbb {r} ^{3}}$

それを正と負の半スペースに登録します。これにより、レベルの方向（元のレベルの未定義の特殊なケースを除く）は、座標起点がネガティブハーフスペースにあるもの、正の半分の空間の方向にレベルの正常ベクトルにあるものを選択します。

方向レベル Zを再生します。 B.ベクトルレベル方程式の通常の形式の助けを借りて、距離計算の場合の役割。

3次元空間でレベルのアイデアを一般化する

${displaystyle mathbb {r} ^{3}}$

n次元空間のハイパーベンのそれに

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

、より高い次元または低次元の配向ハイパーレベルに類似しています。 2次元空間で

${displaystyle mathbb {r} ^{2}}$

たとえば、これは1つです 方向のストレート 部屋

${displaystyle mathbb {r} ^{2}}$

2つのハーフレベルに分割します。これにより、この場合、この場合は正の半スペースの通常のベクトル（ここでは正の半分） レベル ）は、座標ボーカルジャンプから（原点の未定義の特別なケースとは別に）を示します。一方、高次元のハイパーレベルでは、zを見つけます。 B.特定のビジネス数学的質問を解決するときのアプリケーション。

エリアの方向の一致は、ベクトル表面積分を計算する場合に特に重要です。 B.ガウス積分セットを使用する場合の静電症の場合。方向は結果の兆候を決定します。
zが必要な場合。 B.貨物 Q 特定のボリューム内で計算すると、それは電界のみです

${displayStyle {thing {e}}（{thing {x}}）}$

ボリュームの表面で知られているため、この文を使用して囲まれた負荷を示すことができます。

${displaystyle q = int _ {v} mathrm {d} vvarro$

。

ここは の 未知の貨物が含まれている量、そして

${displaystyle varrho}$

未知の負荷密度。最初のマックスウェル方程式の助けを借りて、あなたは右側の式に到達し、

${displaystyle varepsilon _ {0}}$

誘電率と div 発散。ガウス積分セットの助けを借りて、ボリューム積分を表面積分に策定できるようになりました。

${displaystyle q = varepsilon _ {0} int _ {partial v} mathrm {d} {thing {a}} cdot {thing {e}}（{thing {x}}）}}}$

。

${displaystyle mathrm {d} {vec {a}}}$

表面の無限ベースの表面要素です

${displaystyle partial v}$

ボリュームの。スカラー製品のサイン

${displaystyle mathrm {d} {vec {a}} cdot {vec {e}}}}}$

の方向に依存します

${displaystyle mathrm {d} {vec {a}}}$

あちらへ。は

${displaystyle mathrm {d} {vec {a}}}$

と並行して

${displaystyle {vec {e}}}$

、それがスカラー製品です

${displaystyle mathrm {d} a、e}$

、一方で、両方ともベクトルアンチパラレルです。スカラー積は

${displaystyle -mathrm {d} a、e}$

。したがって、表面積分の符号は、表面の選択された方向に依存します。慣習として、1つの選択 ポジティブな方向 同意しました。つまり、領域の方向としてユニットの通常のベクトルフィールド（上記を参照）を選択します。

1. ↑ Ilia N. Bronstein、K。A。Semendjajまたは： 数学のペーパーバック 。 Harri Deutsch Verlag、2008、ISBN 978-3-8171-2007-9、 S. 538 （ オンライン [2012年8月24日にアクセス]）。
2. ↑ ロルフ・シュロムズ： 物理学を理解する：物理学の考え方の紹介。均質なシステム 。 Oldenbourg Verlag、2008、ISBN 978-3-486-58582-7、 S. 107 （ オンライン [2012年8月24日にアクセス]）。
3. ↑ ThoralfRäsch： ダミーの物理学の数学 。 John Wiley＆Sons、2011、ISBN 978-3-527-70576-4、 S. 398 （ オンライン [2012年8月24日にアクセス]）。
4. ↑ クリスチャンはキャリー： 基本的な鑑別型。 de Gruyter、ベルリンu。 a。 2001、ISBN 3-11-015519-2、S。117–118。
5. ↑ ジェームズ・スチュワート： 多変数計算 。 Cengage Learning、2011、ISBN 978-0-538-49787-9、 S. 1140 （ オンライン [2012年8月24日にアクセス]）。
6. ↑ Kurt Meyberg、Peter Vachenauer： より高い数学1：差分および積分計算。ベクトルおよび入学請求書 。 Springer、Berlin、Heidelberg 2001、ISBN 978-3-642-56654-7、 S. 482 （ books.google.de [2014年1月4日にアクセス]）。
7. ↑ グレゴールM.フィクテンホルツ： 微分および積分計算 。 Harri Deutsch Verlag、1992、ISBN 978-3-8171-1280-7、 S. 219 （ オンライン [2012年8月24日にアクセス]）。