条件（量子力学） – ウィキペディア

a 量子機械的状態 量子力学の規則に従って、物理システムの状態の説明です。それは、Quantum -dysical Systemsで行われた観察を記録できるように、古典的な物理学の規則に従って条件の説明と基本的に異なります。量子力学のさまざまな解釈には、状態のさまざまな用語が含まれます。この記事では、広範囲にわたるコペンハーゲンの解釈の概念を扱います。

物理コンテンツ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

古典的な用語とは対照的に、量子力学のコペンハーゲン解釈の条件は、システムで予想される測定値を決定するのではなく、すべての人にのみ決定します 可能 測定値の可能性

${displaystyle p}$

この値が発生すること。境界線のケース

${displaystyle p = 1}$

測定値の場合（したがって

${displaystyle p = 0}$

他のすべての人にとって）、つまり測定値の安全な予測を意味しますが、問題のレベルの自己条件である条件のみがあります。古典的な状態とは対照的に、量子機械状態の時間発達は継続的に決定されていません。代わりに、システムの状態は一般に、影響を受けることができず、特定の確率でのみ予測できる方法で変更されます。

特定の状態のシステムのSO -CALLEDの「準備」は、来る物理変数の最大セットの同時測定によって測定されます。 ^[初め] この測定によれば、システムはこれらすべての測定値の適切に定義された共通状態にあるため、これらには特定の値があります。システムが事前にそのような共通の状態になかった場合、測定により崩壊とも呼ばれる状態の減少が突然発生するため、その後、これらの量の他のすべての可能な測定値はゼロの可能性があります。条件の減少は物理的なプロセスではありませんが、測定を通じて発生した観測者からのより正確な情報を説明します。 ^[2] 2つの測定の間に、状態の時間発達は動き方程式によって決定されます。小さなゴードン方程式（スピン0）、DIRAC方程式（大規模、スピン½）、ワイル方程式（マセロス、スピン½）、Proca方程式（SOLIT、SPIS 1）（SPIS 1）（Mass Elos 1）のために、粒子のスピンと質量に応じて、相対論的であるシュレディンガー方程式による非相対主義の場合。

数学的表現 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

量子機械状態は通常、標準化されたものを通じて数学的にあります 状態ベクトル ヒルバーの夢で説明されています。離散インデックスを持つヒルベルトラムの基礎の助けを借りて、この状態ベクトルは、基本ベクトルの線形組み合わせとして、または波動関数として連続インデックスを持つベースで書くことができます。物理サイズの可能な測定のそれぞれについて、状態ベクトルには少なくとも1つの成分があります。コンポーネントの強度（より正確に：その振幅の量）は、測定の結果として関連する測定値が発生する確率を決定します。

条件と状態ベクトルの割り当ては明確ではありません。なぜなら、一定の複雑な位相係数によってのみ異なる状態ベクターは、同じ体調を記述しているからです。 2つの条件の状態ベクトルの線形結合は、可能な状態ベクトルでさえあります。これは、2つのオーバーレイの物理的に異なる条件について説明し、それにより、2つのオーバーレイされた状態ベクターの相対的な複雑な相にも依存します。 1925年にマトリックスメカニクスのヴェルナーハイゼンベルクによって、1925年にヴェルナーハイゼンベルクによって線形の組み合わせとしての記述の理論的基礎が開発されました。 2つの説明は、同じより深い数学構造に基づいています。これで、状態は、測定変数を表す各オペレーターに実際の番号を割り当てるイラストとして理解されています。この数値は、このサイズの個々の測定の場合にこのサイズで得られる可能性のある測定結果の期待値を示しています。これは1931年にジョン・フォン・ノイマンによって解決されました。

初期状態または量子統計の不完全な準備が発生した場合、純粋な条件と混合条件を区別します。それらの説明を説明するために、状態ベクトルも密度演算子に移動する必要があります（また 州オペレーター 呼び出された）。この形式主義はまた、複雑な相の未定義の未処理を回避しますが、波動関数の概念を把握することは困難になります。

古典物理学とは異なります [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

明確な予測ではなく、異なる結果の確率の導入は、古典物理学からの根本的な逸脱を意味します。現在のシステム状態の指定により、可能な各測定の結果が明確に決定されます（常にエラーなし測定）。これは一般に、巨視的なシステム（日常生活から）に非常によく当てはまります。たとえば、食事ボールや穀物は、いつでも実質的に明確な精度を持つ特定の場所になる可能性があります と 特定の速度を属性にします。

しかし、より小さなシステムにとって、アンサンブル量子機械粒子にとって、これはますます間違っています。 ^[3] 除外されています。 1927年からの厳密に有効なハイゼンベルクの不確実性は次のように述べています。 どれでも 値の結果、およびその逆。 d。 H.いつでも明確に決定できるのは、2つのサイズのうち1つだけです。この無防備は、システム状態の最も正確な準備によって排除することはできません。比較的簡単に証明することは数学的に厳密です ^[4] 物理学の中心的な概念的基盤を形成します。

純粋な状態と状態混合物 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

システムの条件が明確に定義されていない場合、予想される測定結果に関する追加の不確実性が発生します。これはzを適用します。たとえば、観測されたシステムが同じ状態ですべて準備されていない多くの類似システムから広がっているという頻繁なケースの場合。観察されたシステム（おそらく異なる確率で）が見つかるさまざまな条件を見つけてから、状態混合物を形成します。

ここでは、測定のために同じ状態のシステムのみを選択することにより、予想される測定結果で不確実性を減らすことができます。状態混合物の違いを明確にするために、明確に準備された状態は、時折純粋な状態と呼ばれることがあります。

次の手段で 状態 いつもここにいる 純粋な状態 。

Eigenzustand [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

特定の測定変数に対して予想される測定値が明確に規定されている状態は、この測定サイズの名前です。例はそうです

1. 粒子は1つの場所にあります（地方の状態）
2. 粒子には一定の速度または衝動があります（衝動状態）
3. 粒子は、特定のエネルギー（エネルギーレベル）の結合状態にあります。

例1と2は、境界線の場合にのみ許可されている場合にのみ許可されている場合にのみ許可されていますが、例1では、例1は固定的に受け入れられています（数学的微妙さのために）。両方の例は、理論的記述において重要な役割を果たします。 ^[5]

例3は、物理サイズ（すなわちエネルギー）が特定の値を持っている状態ですが、場所と衝動の両方の両方の場合、異なる測定結果の衝動のみの確率を指定できます（例えば、軌道によって、関連する局所波動関数のフーリエの量によるパルスの場合）。

状態のスーパーポジション [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

質量点の形の粒子の場合、状態は、その場所と衝動、すなわち6次元位相空間のポイントによって古典的なメカニズムに与えられます。干渉効果は粒子光線（波粒子の二元論）でも観察されるため、重ね合わせ（または オーバーラップ いくつかの条件の複雑な因子との線形の組み合わせ）、可能な条件が承認されています（材料を参照）。したがって、測定変数の量子力学が各確率でいくつかの可能な測定値を予測するすべての条件、1つは 重ね合わせ これらの測定値に属する自己状態であるこれらの条件のうち。測定結果としてこれらの自己価値の特定を維持する可能性は、 金額 確率振幅を決定します。確率振幅は、問題の人がこの重ね合わせで発生する（一般的に複雑な）要因です。

プロパティ、重ね合わせ状態、または基本的または個人的な状態に根本的な違いはありません。システムのすべての条件は、適切な基礎の基本的な状態と見なすことができますが、別の基礎の基本ベクトルの重ね合わせ状態とも見なすことができます。すべての条件は、同じシステムの他の状態とオーバーレイでき、任意の条件は他の条件の重ねとして表すことができます。重ね合わせとして定義された状態もあります 純粋な条件 上記の意味で。時々彼らは不正確です 混合条件 対処された、この用語との混乱のために避けるべきです 状態混合 発生する可能性があります。

状態と統計的重量 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

重ね合わせの可能性は、同じシステムのクラシックメカニックの位相空間よりもかなり強力になります。統計量子物理学では、この量自体のサイズは、この量自体のサイズではなく、その寸法です。 ^[6] これは、システムのすべての可能な条件が重ね合わせから生じる可能性のある条件の最小数です。この最小限のサブセット内では、他の条件を他の条件の重ねとして表現することはできないため、独立しており、位相空間全体の基礎を形成します。

古典的な統計物理学における状態密度と比較して、そのような基礎のすべての量子機械的状態は「位相空間体積」であることを示しています。

${displaystyle（2pi hbar）^{n} = h^{n}}}}$

占領された、それによって

${displaystyle n}$

独立したローカル座標の数はと

${displaystyle h}$

プランクの量子。この「ボリューム」の物理的次元は

${displaystyle n = 1}$

効果のそれ=エネルギー時間、または=インパルスを配置します。

数学的基本 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

量子力学と量子フィールド理論の数学的形式主義では、状態はすべての物理的サイズに期待値を割り当てるイラストの形成です。この定義には、状態の混合が含まれます。物理変数は、c*代数のサブセットを形成する線形演算子によって示されるため、条件は

${displaystyle psi}$

数学的に厳密に線形関数を命名します

${displaystyle {mathcal {a}}}$

、それは複雑な数のc*代数から

${displaystyle mathbb {c}}$

描かれていると、以下が適用されます。

${displaystyle psi（aa^{*}）; geq 0; forall ain {mathcal {a}}}$

と

${displaystyle psi（1）= 1}$

。 1つです

${displaystyle1}$

機能の議論として、アルゲインの再要素、および

${displaystyle1}$

右側には、複雑な数字の1つがあります。 ^[7]

これらの条件の量は凸量、つまり、

${displaystyle psi}$

と

${displaystylephi}$

and and

${displaystylealeq 1}$

それからまた

${displaystyle apsi +（1-a）phi}$

一つの条件。条件は意味します 手綱 彼が分解することしかできない場合、つまり、

${displaystyle a = 0}$

また

${displaystyle a = 1}$

は。これらの純粋な条件は、まさにこの量の極端なポイントです。すべての混合状態は、純粋な状態を介して積分として書くことができます。

どの州でもGNS構造を使用してヒルバートドリームプレゼンテーションを行うことができます

${displaystyle pi colon {mathcal {a}} to {mathcal {b}}（{mathcal {h}}}}$

割り当てられます。すべての標準化されたベクトル

${displaystyle | psi rangle}$

hilbertraumで、

${displaystyle {big |} | psi rangle {big |} = 1}$

、状態に対応します

${displaystyle psi}$

の

${displaystyle {mathcal {a}}}$

また、その逆も、ベクトルを任意の条件に割り当てることができます。適用されます

${displaystyle psi（a）leftrightarrow langle psi | pi（a）psi rangle}$

したがって

${displaystyleラングルpsi | pi（a）psi rangle}$

Hilbertraumのスカラー製品

${displaystyle | psi rangle}$

と

${displaystyle | pi（a）psi rangle}$

専用。純粋な状態は、ヒルベルトラウムの灌漑表現を形成します。

身体的意味 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

互いに同等の2つの形式は、上記で物理的に定義されている純粋な状態の数学的表現に適しています。

条件ベクターとコベクター [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

状態ベクトル

${displaystyle | psi rangle}$

Hilbertraumで

${displaystyle {mathcal {h}}}$

ローカルベクトルのようです

${displaystyle {vec {x}}}$

、数学的な抽象的なオブジェクト。基本的なプレゼンテーションのローカルベクトルのように

${displaystyle {vec {x}} = sum _ {i = 1}^{3} {vec {e}} _ {i} left（{vec {e}} _ {i} cdot {vec {x}}右）{{vec {x}}右） _ {i}}$

それによって書くことができます

${displaystyle {vec {e}} _ {i}}$

3つは、3次元ユークリッド空間の直交ベクターであり、状態ベクトルは、完全な完全な直交塩基で開発できます。この開発には、必要です

${displaystyleラングルpsi |}$

を紹介します 良い – ヒルバードリームのデュアルスペースのベクトルの基礎となります。数学的な観点から見ると、ブラジャーベクトルは、ヒルベルトの夢の複雑な数字に動作する線形関数です。ユークリッド空間のベクトルに関しては、開発に類似しています

${displaystyle | psi rangle = sum _ {i = 1}^{infty} | phi _ {i} rangle lionle phi _ {i} | psi rangle = sum _ {i = 1} {infti} c_ {i} | phi _ {i} rangle}$

と

${displaystyle c_ {i} = langle phi _ {i} | psi rangle in mathbb {c}}$

。基本的なベクトル以来

${displaystyle | phi _ {i} rangle}$

オルソーマルベースを形成します

${displaystyle long phi _ {i} | phi _} rangle = delta _ ^ ij}}}$

Myth Dem Kroncker-Delta

${displaystyle delta _ {ij}}$

と

${displaystyle sum _ {i = 1}^{infty} | phi _ {i} rangle langle phi _ {i} | = i}$

無限の寸法ユニットマトリックス付き

${displaystyle i}$

。継続的なベースは量子力学でも発生する可能性があるため – ユークリッドベクタールームとは対照的に、以下は継続的な開発にそれに応じて適用されます

${displaystyleラングルx | yrangle = delta（x-y）}$

ディラック分布

${displaystyledelta（x-y）}$

また

${displaystyle int mathrm {d} x、| xrangleラングルx | = i}$

。

スペル内の連続と離散塩基を区別する必要がないために、⨋⨋シンボルが使用されます。

状態ベクトルがベースに提示されている場合、主に物理測定変数で識別される隠者オペレーターのベースに表示されます。そのようなオペレーターの自己条件は、しばしば対応する物理サイズのフォーミュラサインと呼ばれます。

1. 
   ${displaystyle | xrangle}$

   粒子の位置を説明します、

2. 
   ${displaystyle | prangle}$

   衝動状態、

3. 
   ${displayStyle | ergann}$

   エネルギー状態。出来る

   ${displaystyle e}$

   個別の値（結合条件など）と連続値（例：未結合条件の場合）の両方を受け入れます。

4. 量子数が固有値に割り当てられている場合（例：量子番号
   ${displaystyle n}$

   のために

   ${displaystyle n}$

   -TEエネルギーレベル

   ${displaystyle e_ {n}}$

   、量子数

   ${displaystyle j ,, m}$

   ロータリーインパルスの量とz成分の場合）、関連するセルフステートは、量子数を指定するか、特別に合意したシンボルによって与えられます（例：

   ${displaystyle | nrangle、| j、mrangle、left | {uparrow} rightrangle}$

   ）。

波動関数は、生まれたルールに従って確率振幅と見なすことができるように、状態ベクトルを標準化する必要があります。つまり、物理的な状態の場合

${displaystyleラングルpsi | psi rangle = 1}$

有効です。ただし、これによりベクトルが表示されます

${displaystyle | psi rangle}$

いいえ 明らかにしっかりと硬いが、一定の要因にのみ

${displaystyle a = e^{mathrm {i} alpha}、alpha in mathbb {r}}$

、したがって、量1の複雑な数。これは、条件または状態ベクターの量子機械的位相とも呼ばれます。ベクトル

${displaystyle e^{mathrm {i} alpha} | psi rangle}$

すべてが同じ状態を1次元サブスペース（ビーム）に伸ばしていることを説明しています。

波動関数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

波が機能します

${displaystyle psi（x）}$

また

${displaystyle psi（p）}$

場所または衝動ベースの状態ベクトルの開発係数は次のとおりです。 ^[11]

${displaystyle | psi rangle = int mathrm {d} x、| xrangle langle x | psi rangle = int mathrm {d} x、| xrangle psi（x）}$

${displaystyle | psi rangle = int mathrm {d} p、| prangle langle p | psi rangle = int mathrm {d} p、| prangle psi（p）}$

測定 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

測定可能な物理サイズは、Hilbertraumに線形変換を引き起こす演算子によって提示されます。測定サイズ

${displaystyle a}$

および関連するオペレーター

${displaystyle {hat {a}}}$

要約されています。考えられる測定結果

${displaystyle a_ {i}}$

オペレーターの特異性です。つまり、それは自分の状態に適用されます

${displaystyle | a_ {i} rangle}$

DESオペレーター

${displaystyle {hat {a}} | a_ {i} rangle = a_ {i} | a_ {i} rangle}$

考えられるすべての測定結果は実数であるため、Hermitheschオペレーターはそうでなければなりません。 H.次の条件を満たしてください：

${displaystyle langle phi vert {hat {a}} green psi rangle = langle psi vert {hat {a}} green phi rangle ^{*}。}}$

問題のオペレーターの自己条件ではない状態が発生した場合、測定結果は確保することはできませんが、確率でのみ予測されます。これらの確率は、各EIGについて計算されます。システムの状態ベクトルを使用して、測定サイズの問題のスカラー積の量として計算されます。

${displaystyle P（a_ {i}）= {big |} langle a_ {i} | psi rangle {big |}^{2}}$

測定後、状態ベクトルは、対応する固有値に属する下着の値に崩壊します。つまり、つまり、

$}$

その結果、システムはそれ自体の状態で同時にあります

${displaystyle | a_ {i} rangle}$

この測定の後、まさにこの状態にあるためです。したがって、この観察可能な瞬間的な測定は、確かに再び同じ値です。

期待値として

${displaystyleラングル{hat {a}} rank}$

同じ状態の同じシステムの観測可能な多くの個別の測定値の平均

${displaystyle | psi rangle}$

専用。可能なすべての個々の結果のスペクトルから

${displaystyle a_ {i}}$

そして彼らの確率

${displaystyle p_ {i}}$

降伏：

${displaystyle langle {hat {a}} rank = langle psi vert {hat {a}} green psi rangle}$

。

位相係数とスーパー位置 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

線形の組み合わせ 2つの状態ベクトル、つまりB.

${dysplayStyle | psi rangle = c_ {1} | dogs _ {1} rangle +c_ {2} | dogs _ {2} rangle}$

複雑な数字で

${displaystyle c_ {1}、c_ {2}}$

状態

${displaystyle c_ {1} c_ {1}^{*}+c_ {1} c_ {2}^{*}+c_ {2} c_ {1}^{*}+c_ {2} c_ {2}^{*} = 1} = 1} = 1} = 1} = 1}$

充足、許可された条件（状態を参照または重ね合わせ）についても説明します。単一の状態ベクトルとは異なり、因子の相対位相、つまりH.複雑な位相

${displaystylephi}$

商で

${displaystyle {tfrac {c_ {2}} {c_ {1}}} = vert {tfrac {2}} {c_ {1}}} vert e^{iphi}}}}}}}}$

、もはやarbitrary意的ではありません。フェーズに応じて、オーバーレイ状態はあります

${displaystyle | psi rangle}$

異なる物理的特性。 ^[12番目] したがって、から 首尾一貫して スーパーポジションは、コヒーレント光との光学干渉と同様に、量の量ではなく、「生成される振幅」自体、つまり

${displaystyle | psi _ {1} rangle}$

と

${displaystyle | psi _ {2} rangle}$

、重ねられます。

状態混合物と密度演算子 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

システムが可能性が高い状態ミックス

${displaystyle p_ {i}}$

状態

${displaystyle psi _ {i}}$

（と

${displaystyle i = 1,2、ldots ,, n}$

）密度演算子によるものです

${displaystyle {hat {rho}}}$

これは、対応する投影演算子の合計です。

${displaystyle {hat {rho}} = sum _ {i} p_ {i} vert psi _ {i} rangle liongle psi _ {i} vert}$

コヒーレントの重ね合わせとは対照的に、混合物に表されている条件が変化しない場合、密度演算子は変更されません

${displaystyle psi _ {i}}$

任意の位相係数を装備します。したがって、状態の混合物では、状態はそうです inco -hardened オーバーレイ。

観察可能な測定の期待値

${displaystyle {hat {a}}}$

したがって、混合物の個々のコンポーネントの期待値の加重一貫性のない合計：

${displaystyle langle {hat {a}} rank = sum _ {i} p_ {i} langle psi _ {i} vert {hat {a}} green psi _ {i} rank}$

これは、オペレーターの痕跡でもあります

${displaystyle {hat {rho}} {hat {a}}}$

表現される：

${displaystyle langle {hat {a}} rangle = operatorname {sp}（{hat {rho}} {hat {a}}}}$

。

最後の方程式には、混合物や純粋な条件に等しく適用されるという利点があります。 （純粋な状態

${displaystyle psi _ {i}}$

は

${displaystyle {hat {rho}} = green psi _ {i} rank langle psi _ {i} green}$

条件に属する投影演算子。）

密度演算子は「状態演算子」とも呼ばれます。

• 幅の（一次元）ボックスの粒子の条件
  ${displaystyle a}$

  （0から

  ${displaystyle a}$

  ）ハミルトンオペレーターの自分の州のスーパーポジションとして

  ${displaystyle {hat {h}}}$

  書く。その個人的な状態は町のエリアにあります

${displaystyle langle x | nrangle = sin n {tfrac {pi x} {a}}、nin mathbb {n}}$

関連するエネルギー値も

${displaystyle {hat {h}} | nrangle = e_ {n} | nrangle}$

それは

${displaystyle e_ {n} = n ^{2} {tfraac {pi ^{2} hbar ^{2}} {2ma ^{2}}}}}}$

• 中央フィールドの粒子の場合、エネルギー状態を選択して、回転衝動演算子の自己状態でもあるようにすることができます。次に、3つの量子数をすべて持ち込みます
  ${displaystyle n、j、m}$

  ：

${displaystyle {hat {h}} vert n、j、mrangle = e_ {n} vert n、j、mrangle、quad {hat {j}} ^{2} vert n、j、mrangle = hbar ^{2} j（+1）vert n、j、mrangle = quad {j} aglet n、j、j、j、j、j、j、j、j、j、j、j、j、$

量子数に関するエネルギー生成のため

${displaystyle m}$

一般に、エネルギーの測定では、状態を明確に決定するには十分ではありません。

• スピン
  ${displaystyle m_ {s} = pm {tfrac {1} {2}}}}$

  1つの（フェルミオン）粒子は単純にです

  ${displaystyle左| {uparrow} rightrangle}$

  と

  ${displaystyle左| {downarrow} rightrangle}$

  書かれています。

• 単一の結合した基本粒子システムのS波減衰によって2つのSpin-1/2粒子で作成されるシステムの条件は、2つのSpin-1/2粒子に作成されます。
  ${displaystyle | psi rangle = {tfrac {1} {sqrt {2}}}左（左| {uparrow} rightrangle _ {1} otimes left | {downarrow} rightrangh _ {2} -left | {downarrow} rightrangle} rightrangle _ {1 {2}右）}$

  。粒子内のスピンを測定することにより、状態は崩壊し、他の粒子にすぐに測定が続くように、明確に相関した結果（すなわち反対）が得られます。これは量子恐怖の例です。

量子力学と量子統計では、純粋な状態と状態混合物を区別します。純粋な状態は、システムの観察可能な特性（観測可能）の最大の知識の理想的なケースを表しています。しかし、システムの条件は、測定後または測定後の場合にのみ不完全です（例：非分極電子ビームでの個々の電子のスピン）。 ^[13] 次に、発生する可能性のあるさまざまな純粋な条件ができます

${displaystyle | psi _ {i} rangle}$

または割り当てられた投影演算子

$}$

確率のみ

${displaystyle p_ {i}}$

割り当てられます（以下を参照）。このような不完全な条件は、状態混合物と呼ばれます。密度または状態演算子とも呼ばれる密度演算子ρは、状態混合物を提示するために使用されます。

1つの純粋な状態は、ヒルベルトドリームの1次元サブスペース（ビーム）に対応しています。関連するシーリングマトリックス

$}$

このサブスペースの投影の演算子です。 IDEM効力の状態、つまりH.

${displaystyle rho ^{2} = rho}$

。一方、条件混合物は、非自明の密度、つまり。 h。あれ

${displaystyle rho ^{2}$

適用可能です。その場合、ビームの説明は不可能です。

この条件のこの記述の特徴は、純粋な状態の重ね合わせ（「コヒーレンス」）と、結果として生じる量子制限の現象であり、関係するさまざまな状態の寄与が加算されます。

量子システムでの測定の結果は、正確に準備されたシステムで繰り返される場合でも、純粋な条件でも測定値の非自明な分布を提供します。 ^[14] ） とともに

${displaystyle p_ {i}}$

重み付けされています。分布は量子機械的条件に詳細に対応しています

${displaystyle | psi rangle}$

（また

${displaystyle | psi _ {i} rangle}$

）および観察可能

${displaystyle、a}$

測定プロセスの場合（

${displaystyle、a}$

表現i。 W.測定装置）。純粋な条件の場合

${displaystyle | psi rangle}$

量子力学から続く：繰り返しと量子機械的期待値によって生成される一連の測定値の平均

${displaystyleラングルpsi | a | psi rangle}$

同一です。

古典物理学とは対照的に、純粋な（完全に知られている）量子機械的条件でさえ、古典的な物理学とは対照的に、確率のみが言えることができます（したがって、それは次のことではありません。 DASの結果 、 それよりも 期待される結果 、 またね。）。状態の混合物の場合、

${displaystyle p_ {i}}$

追加の（一貫性のない！）異常：

${displaystyle {bar {a}} = sum、p_ {i} cdot langle psi _ {i} | a | psi _ {i} rangle、。}}$

したがって、単一の測定の出力の予想される結果でさえ、特別な場合にのみ見られます（例：

${displaystyle p_ {1} = 1 ,,, p_ {2} = p_ {3} = dots = 0}$

）予測できます。 （特別！）自己ステートのみ

${displaystyle | phi _ {k} rangle}$

観察可能な考慮事項

${displaystyle、a}$

または関連する固有値

${displaystyle、a_ {k}}$

与えられた

${displaystyle | psi rangle}$

一般に、測定値として、また上記の純粋な状態の場合でも、たとえば

${displaystyle | psi rangle equiv | psi _ {1} rangle}$

、d。 H.完全に既知の波動機能を使用しても、さまざまな自己状態に使用できます

${displaystyle | phi _ {k} rangle}$

与えられて

${displaystyle | psi rangle}$

確率のみが与えられます、

${distrasastyle w_ {k} = | langle psi | phi _ {k} rangle |^{2} ,,}$

条件ですが

${displaystyle | phi _ {k} rangle}$

同じ装置で直接それに続く後続の測定が行われた場合。一方、未知の条件は、測定によって決定することはできません（クローニング定理なしを参照）。 ^[15] 適用されます

${displaystyle rho = sum p_ {i}、mathrm {p} _ {i} ,,}$

d。つまり、投影演算子は今ではありません ケット 重ねられますが、 投影演算子自身 確率が与えられます。

全体として、次のものが適用されます。

${displaystyle {bar {a}} = sum sum、p_ {i} cdot a_ {k} cdot | langle psi _ {i} | phi _ {k} rangle |^{2}}}}$

、インデックス 私 （純粋な）条件では、インデックス k 一方、測定変数を指します。

（場合

${displaystyle a_ {k}}$

または

${displaystyle、| phi _ {k} rangle}$

「おおよそ」のみが知られているでしょう、それは

${displaystyle p_ {i}}$

対応する2つの確率係数で、

${displaystyle q_ {k}}$

また

${displaystyle r_ {i}}$

乗算されます。）

条件の情報内容または乗算されたフォンネムアンエントロピーにボルツマン定数を掛けたのは、特定の純粋な状態の存在に関する可能な声明に関して存在する無知の定量的な尺度です。フォンノイマンエントロピー、

${displaystyle -k_ {mathrm {b}} operatorname {tr}（rho ln（rho））、}$

、に等しい

${displaystyle -k_ {mathrm {b}} sum p_ {i} ln p_ {i}}$

状態混合用。純粋な条件ではゼロです（注

${displaystyle pln pto 0}$

ために

${displaystyle pto 0}$

）。特にボルツマンのユニットが使用されました

${displaystyle k_ {mathrm {b}}}$

ボルツマン定数。一方、シャノンのユニットでは、この定数は1つと自然な対数を介してあります

${displaystyle ln}$

バイナリ対数を介して

${displaystyle operatorname {lb}}$

交換。

1. ↑ ヴォルフガングノルティング： 基本コース理論物理学5/1;量子力学 – 基本 。第5版。 Springer、Berlin Heidelberg 2002、ISBN 3-540-42114-9、 S. 119 。
2. ↑ F. H.Fröhner： 確率理論と量子力学との間のリンクの欠落：Riesz-FejérHeerem。 の： Journal of Natural Research。 53a（1998）、S。637–654（doi： 10.1515/同じ-1998-0801 ））
3. ↑ のために 個人 粒子ビーム内の電子は、1つの測定装置（「カウンター」）によるインパルスと位置の同時の「シャープ」登録測定で可能です。磁気分光計z。 B.外観でさえ、インパルスを計算できる測定変数として使用されます。一 予報 、すべての可能性をカバーする特定の配置からカウンターし、その後の電子にアピールするか、少なくとも一連の測定での位置と衝動の「シャープ」な平均値の同時性は、それに対して反対します 除外 。見る。 Feynman Lectures on Physics 。 3巻、ISBN 0-201-02115-3（ドイツ語。 物理学に関する講義 。 Oldenbourg Science Verlag、Munich 2007、ISBN 978-3-486-5844-8）、Addison/Wesleyでの最初の1963/1965。ボリューム3、Quantum Mechanics、Chap。 16、ハイゼンベルクの不確実性の概念は詳細に扱われます。
4. ↑ Heisenbergのぼやけたフリースタイルまたはたとえば、Albert Messiahの記事を参照してください 量子力学 、彼らは1978年にgruyter、バンド1、p。121ff
5. ↑ エネルギー演算子が無制限の場合、例1や2（以下を参照）などのアナログ制限の問題が発生します。
6. ↑ この次元は、最終的に（ヒルベルトラウムの標準的なケースのように）、またはカウントの過剰なカラー（ゲルファンドシェラウムトリプルと同様に、より良い記録の連続スペクトルを記録するためのヒルバードリームのヘルバードリームの一般化）になります。
7. ↑ Walter Thirring： 原子と分子の量子力学 。の： 数学物理学の教科書 。 3.エディション。 バンド 3 。スプリンガー、ウィーン1994、ISBN 978-3-211-82535-8、 S. 26 。
8. ↑ W. Heisenberg： 量子 – 映画的関係と機械的関係の理論的再解釈について 。の： 物理学のための雑誌 。バンド33、1925、S。879–893。
9. ↑ P.A.M.ディラック： 量子力学の理論について 。の： ロンドン王立協会の議事録a 。バンド112、1926、S。661–677。
10. ↑ E.シュレディンガー：„ 自尊心としての量子化問題i “、Annals of Physics 79（1926）、361–376。 E.シュレディンガー： ” 固有値問題としての量子化II “、Annals of Physics 79（1926）、489–527。 E.シュレディンガー： ” 固有値問題IIIとしての量子化 「、Annals of Physics 80（1926）、734–756。 E.シュレディンガー： ” 固有値問題としての量子化IV “、Annals of Physics 81（1926）、109–139
11. ↑ TorstenFließbach： 量子力学 。第4版。 Spectrum、Munich 2005、ISBN 3-8274-1589-6、 S. 231 。
12. ↑ 例：if
    ${displaystyle leftvert {uparrow} rightrangle、leftvert {downarrow} rightrangle}$

    スピン「オン」または「オフ」の自己条件はZ方向にあります。

    ${displaystyle leftvert {rightarrow} rightrangle = leftvert {uparrow} rightrangle +leftvert {downarrow} rightrangle}$

    x方向の「上」の自分の条件ですが、

    ${displaystyle leftvert {nearrow} rightrangle = leftvert {uparrow} rightrangle +ileftvert {downarrow} rightrangle}$

    y方向の「上」の条件。 （標準化係数は除外されました。）

13. ↑ マルチパルティクル状態の事実上不可能なタスクを想像してください
    ${displaystyle psi _ {1,2、dots、n}}$

    システムの n = 10 ²³ 電子を決定します。

14. ↑ 「Inco-Amäärgent」から
    ${displaystyle p_ {i}}$

    に正方形の式があります

    ${displaystyle | psi _ {i} rangle}$

    重さ

15. ↑ とりわけ、これは次のことを意味します
    ${displaystyle p_ {i}}$

    指定することではありません

    ${displaystyle a_ {k}}$

    そしてその

    ${displaystylew_ {k}}$

    決定することができます。