Penrose-Diagramm – ウィキペディア

理論物理学にはaがあります ペンローズ図 ^[初め] （数学者および物理学者のロジャー・ペンローズにちなんで名付けられました）時空（イベント）の異なるポイントの因果関係を表す2次元図（図1を参照）。これはミンコフスキー図の拡張であり、部屋と垂直に水平に登録されており、円錐は時空の異なるイベント間の因果関係を示しています。ペンローズ図に表示されるメトリックは、配座異性体変換によって圧縮されるため、無限の時間と無限の部屋の座標が2次元仕上げサブスペースとして表示されます。この図を使用すると、一般相対性理論の溶液（ブラックホールやその他の特異点、イベント視野、漸近的平坦性など）のグローバル構造をグラフィカルに示すことができます。

ペンローズ図以下が正しい カーター – ペンローズ – ディアグラム また Penrose-Cartter-Diagramme 、ロジャー・ペンローズに関係なく、それらは物理学者のブランドン・カーターによって同時に開発されたので、 ^[2] 時空のメトリックについては、Minkowski図のアイデアを拡張します。 2次元の物理的な下着

${displaystyle textStyle {widetilde {mathcal {m}}}}}$

時間と部屋の座標があります

${displaystyle x^{0} ,, x^{1}}$

とライン要素

${displaystyle mathrm {d} {widetilde {s}}}$

コンフォーマー変換によって

${displaystyle omega}$

したがって、「非物理的」で ^[初め] 覆面

${displaystyle textStyle {mathcal {m}}}$

と

${displaysyllle mathrm {d} s = omga、mathrm {d} {widetilde {s}$

座標の元の有限または無限の間隔は、新しい座標の有限間隔で示されていることを示しました。

${displaystyle PM 45^{circ}}$

傾斜した直線。 Minkowski図のように、前方の光コーン内の一時的な世界の線はペンローズ図で走ります（世界線の接線は垂直軸に近い。

${displaystyle PM 45^{circ}}$

a）。有限間隔での有限または無限の間隔の画像は、コンパクト化と呼ばれ、境界線の場合でもメトリックの因果関係の分析を可能にします

${displaystyle lim _ {x^{0} ,, x^{1} rightArrow pm infty} g（x^{0}、x^{1}）}$

。 ^[3]

ペンローズ図の構築には、次のスキームがあります（デカルト座標付きのミンコフスキールームの例を使用して説明します。図2を参照）： ^[4]

1. 時間と部屋の座標が選択され、以下に変換されます。

   ${displaystyle -infty$

   

   と

   ${displaystyle mypr {d} y = morhrm {d} z = 0}$

   ライン要素です

   ${displaystyle mathrm {d} {widetilde {s}}^{2}=-mathrm {d} t^{2}+mathrm {d} x^{2}.}$

   

2. これらの座標は、ゼロ座標に変換されます。ゼロ座標には、ゼロの長さの座標線の接線ベクトルがあります。

   それは

   ${displaystyle x^{0} ,, x^{1}}$

   元の座標と

   ${displaystyle xi ^{0} ,, xi ^{1}}$

   ゼロ座標です

   ${displaystyle x^{0}=x^{0}(xi ^{0},xi ^{1}),quad x^{1}=x^{1}(xi ^{0},xi ^{1}),}$

   

   それか

   ${displaystyle g_{ij}{frac {partial x^{i}}{partial xi ^{m}}}{frac {partial x^{j}}{partial xi ^{m}}}=0quad left(i,j,m=0,1right).}$

   

   たとえば、あります

   ${displaystyle u=t-x,quad v=t+x}$

   

   と

   ${displaystyle -infty$

   

   ゼロ座標として選択されると、これにより新しいライン要素が得られます

   ${displaystyle mathrm {d} {widetilde {s}}^{2}=-mathrm {d} u,mathrm {d} v.}$

   

3. 新しいゼロ座標は、限られた間隔でさらなる座標変換でそれらの無制限の間隔を描くことによって圧縮されます。

   ${displaystyle p=arctan v,quad q=arctan u}$

   

   と

   ${displaystyle -{frac {pi }{2}}$

   

   と

   ${displaystyle mathrm {d} {widetilde {s}}^{2}=-{frac {mathrm {d} p,mathrm {d} q}{cos ^{2}p,cos ^{2}q}}.}$

   

4. コンパクト化されたゼロ座標は、「非物理的な」時間と部屋の座標に戻されます（ステップ2の反転）：

   ${displaystyle T=p+q,quad X=p-q}$

   

   と

   ${displaystyle -pi$

   

   ${displaystyle mathrm {d} {widetilde {s}}^{2}=-{frac {1}{cos ^{2}left({frac {T+X}{2}}right),cos ^{2}left({frac {T-X}{2}}right)}}left(mathrm {d} T^{2}-mathrm {d} X^{2}right)}$

   

   と

   ${displaystyle mathrm {d} {s}^{2}=-left(mathrm {d} T^{2}-mathrm {d} X^{2}right)=left(cos ^{2}left({frac {T+X}{2}}right),cos ^{2}left({frac {T-X}{2}}right)right)mathrm {d} {widetilde {s}}^{2}=Omega (T,X),mathrm {d} {widetilde {s}}^{2}.}$

   

   中身

   ${displaystyle {mathcal {m}}}$

   適用可能です

   ${displaystyle omega> 0}$

   

   ${displaystyle {mathcal {m}}}$

   は

   ${displaystyle omega = 0}$

   

   ${displaystyle left（{text {d。h。、}} t+x = pm pi {text {und}} t-x = pm pi right）}$

   。

の意味

${displaystyle textStyle {i}^{ – } ,, {i}^{+} ,, {i}^{0} ,, {mathcal {i}}^{ – }}} ,, {$

と

${displaystyle textStyle {mathcal {i}}^{+}}$

図1では、ペンローズ図の図2のストレートの準拠の図を見ると、図1を見ることができます。 ^[5] 一時的な世界の線（図1および2では、淡い緑色の座標線があります

${displaystyleテキストスタイルx = mathrm {const。}}$

そして、均一に動くオブザーバーの琥珀色の世界のライン）から始まります

${displaystyle i^{ – }}$

。部屋の座標がついにそこにあり、時間座標はマイナスに対して無限です。したがって、

${displaystyle i^{ – }}$

最後の一時的な無限 呼び出されました。一時的な世界のラインはポイントで終わります

${displaystyle i^{+}}$

。最終的に部屋の座標があり、時間座標はプラスインフィニットに反します。この点はそうするでしょう 将来の一時的な無限 呼び出されました。すべての一時的な世界のラインは、淡いヴィオレットライトコーン内で実行されます。空間的な世界の線（図1と2の淡い青色の座標線

${displaystyleテキストスタイルt = mathrm {const。}}$

）ポイントで開始して終了します

${displaystyle i^{0}}$

。最終的に時間座標があり、部屋の座標は無限に反します。この点はそうするでしょう 空間無限 呼び出されました。光のような世界のライン、ゼロジオデ（光線または光子の車線、図1および2の黒人）

${displaystyle PM 45^{circ}}$

傾斜した直線）エッジから開始します

${displaystyle textStyle {mathcal {i}}^{ – }}$

端で終わります

${displaystyle textStyle {mathcal {i}}^{+}}$

。したがって

${displaystyle textStyle {mathcal {i}}^{ – }}$

最後のゼロ と

${displaystyle textStyle {mathcal {i}}^{+}}$

将来のゼロ 呼び出されました。

ペンローズ図の利点は、ブラックシールドメトリックの因果関係を分析するときに明らかです。図3は、ブラックタイダー溶液のクルスカル・ゼケレス座標による最大分析拡張のペンローズ図を示しています。セクションIは、イベントホライズンの外側のエリア、セクションIIイベントホライズン内のエリアです。上部の水平青い線

${displaystyleテキストスタイルr = 0}$

ブラックホールの中心にある特異点です。

例として、セクションIの琥珀色のワールドラインは、一定の半径で軌道上のブラックホールを囲む宇宙船について説明しています

${displaystyle left（r = 1 {、} 05right）}$

。 2つのプローブがまもなく停止し、ブラックホール（左に分岐する2つのmber色の線）に向かいます。 2つのプローブは、イベントの地平線を超えた後でも、連絡を取り合うためにラジオ信号を交互に送信します（赤い破線）

${displaystyle textStyle {mathcal {h}}^{+}}$

可能だ。ただし、プローブからの信号は、イベントの地平線を越​​えた後、宇宙船を実現しません。ただし、宇宙船はまだプローブに信号を送信できます。イベントの地平線内でセクションIIにイベントがあるすべての世界の境界線は、特異点で終わります。

1. ↑ ^{a b} ロジャー・ペンローズ： 再発行：無限のコンフォーマル治療 。の： 一般相対性理論と重力 。 バンド 43 。 Springer、2011、ISSN 1572-9532 、 S. 901–922 （英語）。
2. ↑ ブランドン・カーター： アインシュタインの方程式のカーの溶液の対称軸の完全な分析拡張 。の： Phys。牧師 バンド 141 、 いいえ。 4 、1966、 S. 1242–1247 、doi： 10.1103/Physrev.141.1242 、bibcode： 1966phrv..141.1242c （英語）。
3. ↑ P. K.タウンゼント： ブラックホール 。 DAMTPで与えられた「パートIII」コース「ブラックホール」の講義ノート。ケンブリッジ4. Juli 1997、arxiv： GR-QC/9707012 （Englisch、このコースは、1960年代と1970年代のブラックホール物理学の開発のいくつかをカバーしています）。
4. ↑ フレデリックP.シュラー： 講義23：Penrose Diagrams（International Winter School on Gravity and Light 2015）。 We-Heraeus International Winter School on Gravity and Light 2015、 2018年1月6日にアクセス （英語）。
5. ↑ アンドレアスミュラー： ペンローズ図。 の： Spektrum.de。 2018年1月6日にアクセス 。