パーフェクトナンバー – ウィキペディア

自然数

${displaystyle n}$

なります 完璧な数 （また 完璧な数 ）合計の合計と呼ばれます

${displaystyle sigma ^{*}（n）}$

それ自体を除くすべての（ポジティブな）除数です。同等の定義は、完璧な数字です

${displaystyle n}$

は、すべての肯定的な除数（それ自体を囲んでいる）の合計の半分の大きさの数字です。 H.

${displaystyle sigma（n）= 2n}$

。最小の3つの完全な数字は6、28、496です。例：28の正の除数は1、2、4、7、14、28であり、次のものが適用されます

${displaystyle 1+2+4+7+14 = 28.}$

すべての既知の完全な数字はまっすぐで、Mersenne Prim Numbersから派生しています。奇妙な完璧な数字があるかどうかは不明です。ギリシャの古代でさえ、完全な数字が知られていたため、それらの最も重要な特性はユークリッド要素で扱われました。 6または8で終わるすべてのストレートな完全な数字は、多くの場合、強大で数秘術的な解釈の対象の対象でした。

株式金額

${displaystyle sigma ^{*}（j）}$

数

${displaystyle j}$

必然的に小さい、より大きいか等しい

${displaystyle j}$

。最初のケースでは

${displaystyle j}$

2番目のケースでは豊富で、3番目のケースでは完全に不足しています。不十分で豊富な数字とは対照的に、完全な数字は非常にまれです。ユークリッドはすでに、この用語の最初の4つの完全な数字が

${displaystyle 2^{k-1}（2^{k} -1）}$

の証明によって

${displaystyle k}$

適切な数字で：

最初の12個の完全な数字は（結果です A000396 OEISで）：

1. 6
2. 28
3. 496
4. 8.128
5. 33,550.336
6. 8.589.869.056
7. 137.438.691.328
8. 2.305.843.008.139.952.128
9. 2.658.455.991.569.831.744.654.​​692.615.953.842.1766
10. 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216
11. 13.164.036.458.569.648.337.239.753.460.458.722.910.223.472.318.386.943.117.783.78.1288888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888
12. 14.474.011.154.664.524.427.946.373.126.085.988.481.573.677.491.474.835.889.066.354.349.131.199.152.12888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888年区」 888888888888888888888888888888888888888888888

ユークリッドはそれを証明しました

${displaystyle 2^{k-1}（2^{k} -1）}$

常に完璧な数字はいつですか

${displaystyle m_ {k} = 2^{k} -1}$

主要な数字です。これらはいわゆるMersenneプリム番号です。ほぼ2000年後、Leonhard Eulerは、このようにしてすべてのストレート数を作成できることを証明することができました。 特に完全な数字とMersenneのプリム番号が明確に互いに割り当てられています。

2019年1月までに、51人のメルセンプリムが知られていました。そして、次の高い数のために

${displaystyle k}$

：
2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1,279、2,203、2,281、3,217、4.253、4.423、9.689、9.941、11.213、1937、21.701、33,209、44.497、21.701、33,209、44.497 1325、8043、70739 .787、1,398.269、2,976.221、3,021,377、6,972,593、13,466,917、20.996.011、24,036,583、25.964.951、30.402.572.572.572.572.572.572.572.5457 6.667、42.643.801、43.112.609、57.885.161 89,933。 ^[初め] （結果 A000043 OEISで）

• 無限の数の完璧な数字があるかどうかはオープンです。
• 無限の数の完璧な数字があるかどうかはオープンです。この質問は、Mersenneプリム番号の無限の数があるかどうかの問題と一致しています。
• 奇妙なフル番号があるかどうかはオープンです。そのような数が存在する場合、次の特性があります。 ^{[2] [3] [4]}

相互除数の合計 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

完全な数のすべての部分の相互値の合計

${displaystyle n}$

（番号自体を含む）は2になります。

${displaystyle sum _ {kmid n} {frac {1} {k}} = sum _ {kmid n} {k} {n}} = {frac {1} {n}} sigma（n）= {frac {n} {n} = 2}$

例：

ために

${displaystyle n = 6}$

該当する：

${displaystyle {frac {1} {1}}+{frac {1} {2}}+{frac {1} {3}}+{frac {1} {6}} = {frac {12} {6}}} = 2} = 2}$

イートンの表現（1995、1996） [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

すべての完璧な番号n> 6にプレゼンテーションがあります

${displaystyle n = 1+{frac {9} {2}} k（k+1）}$

と

${displaystyle k = 8j+2}$

および非陰性の数

${displaystyle j}$

。

逆に、あなたは自然数を取得しません

${displaystyle j}$

完璧な数。

例：

${displaystyle j = 0}$

結果

${displaystyle k = 2}$

と

${displaystyle n = 28}$

（完全に）。

${displaystyle j = 1}$

結果

${displaystyle k = 10}$

と

${displaystyle n = 496}$

（完全に）。

${displaystyle j = 2}$

結果

${displaystyle k = 18}$

と

${displaystyle n = 1540}$

（完全ではありません）。

最初の奇妙な自然数の立方体の合計 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

6を除いて、すべての完璧な数字は

${displaystyle n}$

表示

${displaystyle n = sum _ {k = 1}^{2^{frac {p-1} {2}}}〜（2k-1）^{3}、}$

したがって

${displaystyle p}$

プレゼンテーションからのMersenne Primの指数

${displaystyle n = 2^{p-1}（2^{p} -1）}$

は。

例：

${displaystyle 28 = 1^{3}+3^{3}}$

${displaystyle 496 = 1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}$

述べる：
それぞれのため

${displaystyle min mathbb {n}}$

と

${displaystyle q = m^{2}}$

該当する：

${displaystyle sum _ {k = 1}^{m}（2k-1）^{3} = 2m^{4} -m^{2} = qcdot（2q-1）}$

（不パットキュービック数の式の合計）。

特に、これは2つの強度すべてにも適用されます

${displaystyle m = 2^{r}}$

と

${displaystyle q =（2^{2}）^{r}}$

と

${displaystyle rin mathbb {n}}$

に：

${displaystyle sum _ {k = 1}^{2^{r}}（2k-1）^{3} = 2、（2^{r}）^{4} – （2^{r}）^{2} =（2^{2}）^{r}、（2cdot（2^{2}）$

事故で

${displaystyle p}$

あなたはできる

${displaystyle r = {frac {p-1} {2}}}$

代わりの：

${displaystyle sum _ {k = 1}^{2^{frac {p-1} {2}}}}（2k-1）^{3} = 2、（2^{frac {p-1} {2}}）^{4} – （2^{frac {2} {2} {2}^{2} {2} {2} {2^{} {2^} ac {p-1} {2}}、（2cdot（2^{2}）^{frac {p-1} {2}} – 1）= 2^{p-1}、（2cdot 2^{p-1} -1）}$

${displaystyle sum _ {k = 1}^{2^{frac {p-1} {2}}}（2k-1）^{3} = 2^{p-1}、（2^{p} -1）}$

立方体の合計としてのプレゼンテーションは、完璧な数字を持つ非常に間接的に何かのみであるプロパティです

${displaystyle n = 2^{p-1}（2^{p} -1）= 6,496,8128,33550336、dotsc}$

p = 2、3、4、5、6で…

しなければならない（最初の完全な数値n（p = 2）= 6を削除し、珍しいフル番号がないと仮定して）が、数字シリーズのプロパティ

${displaystyle n^{*} = 2m^{4} -m^{2} = 0,1,28,153,496,1225,2556,4753,8128,13041、dotsc}$

は。また、彼女が最初の完全な数字に適用できない理由もわかります（

${displaystyle p = 2}$

したがって、奇妙ではありません

${displaystyle r}$

整数ではありません）。
ちなみに、この方程式は数字のものです

${displaystyle n^{*} <10^{50}}$

合計2,659,947,9473の数字の8つの完璧な数字に加えて。

最初の自然数の合計 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

すべての完璧な数

${displaystyle n}$

として表すことができます

${displaystyle n = 1+2+3+dots+k = sum _ {i = 1}^{k} i = {frac {k（k+1）} {2}}}}$

したがって

${displaystyle k}$

スペルと同じ数

${displaystyle 2^{k-1}（2^{k} -1）}$

は。したがって、完璧な各数は、三角形の数字でもあります。

例：

${displaystyle 6 = 1+2+3 = {frac {3cdot 4} {2}}}}$

${displaystyle 28 = 1+2+3+4+5+6+7 = {frac {7cdot 8} {2}}}$

${displaystyle 496 = 1+2+3+4+5+dotsb+31 = {frac {31cdot 32} {2}}}$

${displaystyle 8128 = 1+2+3+4+5+dotsb+127 = {frac {127cdot 128} {2}}}$

別の表現 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

すべての完璧な数

${displaystyle n}$

適切な自然数を持つことができます

${displaystyle k}$

表示

${displaystyle n = {binu {2^{k} {{}}。}。}。$

バイナリーシステム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

デュアルシステムには、1つとゼロの特徴的な結果として、完全な数字が表示されます。

その形のため

${displaystyle左（2^{p+1} -1 right）cdot 2^{p}}$

の結果として、数値システムの2番目に立っています

${displaystyle p+1}$

猿と

${displaystyle p}$

ゼロスダール：

${displaystyle 6 = 110_ {2}}$

${displaystyle 28 = 11100_ {2}}$

${displaystyle 496 = 111110000_ {2}}$

${displaystyle 8128 = 1111111000000_ {2}}$

${displaystyle 33550336 = 111111111111110000000000_ {2}}}$

第四紀システム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ちょうど完璧な数

${displaystyle n> 6}$

${displayStyle左（2^{2r+1} -1right）cdot 2^{2r}}$

の結果として、数値システムの4番に立っています

${displaystyle1}$

同じく、

${displaystyle r}$

3つと

${displaystyle r}$

ゼロスダール：

${displayStyle 28 = 130_ {4}}$

${displaystyle 496 = 13300_ {4}}$

${displaystyle 8128 = 1333000_ {4}}$

${displaystyle 33550336 = 13333330000_ {4}}}$

一

${displaystyle k}$

– 基本的には数字であり、それらの肯定的な除数の合計は、数字自体よりも小さい、

${displaystyle k}$

– 数字自体の結果が得られます。完璧な数字はまさにそれです

${displaystyle1}$

– 基本的に。全て

${displaystyle k}$

– 希望者の数字

${displaystyle kgeq 2}$

些細な、豊富な数字です。

例：

120には、図1、2、3、4、5、6、8、10、15、20、24、30、40、および60があります。

${displaystyle 240 = 2cdot 120}$

、120個で

${displaystyle 2}$

– 完全な番号です。

豊富で不十分な数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

豊富な数はそのような自然数です

${displaystyle n}$

実際の仕切りの合計

${displaystyle sigma ^{*}（n）}$

数自体よりも大きい。不足している数は、この合計が数自体よりも小さい自然数です。

最小の豊富な数は12番目です。

${displaystyle 1+2+3+4+6 = 16}$

。 100までの豊富な数字は次のとおりです。

12、18、20、24、30、36、40、42、48、54、56、60、66、70、72、78、80、84、88、90、96、…（エピソード A005101 OEISで）

不足した数字はほとんどすべての人です：

1、2、3、4、5、7、8、9、11、14、15、16、17、19、21、22、23、26、27、29、31、33、34、35、37、38、39、 A005100 OEISで）

数字が豊富でも不足していない場合、それは完全な数字です。

友達の友達と厄介な数字 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

実際の仕切りの合計がある2つの異なる自然数

${displaystyle sigma ^{*}}$

最初の数字は2番目で、2番目の数字は最初の数字で、2つの数字と呼ばれます。それらの小さいほど豊富で、大きいものは不足しています。

例：

${displaystyle 220 = sigma ^{*}（284）}$

と

${displaystyle 284 = sigma ^{*}（220）}$

最小のカップルの友人を形成します。

この方法で初期数に戻るために2つ以上の自然数が必要な場合、1つは社交的な人物について話します。 社交的な数字 ）。

5つの社交的な数字の例：

12,496、14,288、15,472、14,536、14,264

擬似フィギュア [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

自然数

${displaystyle n}$

呼ばれています Pseudovollkom、 あなたが合計である場合 いくつかの さまざまな実際の除数で表現できます。

例：

${displaystyle 20 = 1+4+5+10}$

擬似でいっぱいですが、概要ディスプレイに分割2が欠落しているため、完璧ではありません。

すべての擬似的な数字は完全であるか豊富です。

擬似 – 完全に形成されたフィギュアの実際のサブセットは 主に擬似フェッドフィギュア ： 多分

${displaystyle n}$

複合番号と

${displaystyle p}$

の主要な除数の量

${displaystyle n}$

。人数、個数、総数

${displaystyle n}$

主に擬似を取得することを意味します。

${displaystyle n = 1+sum _ {battery p} {frac {n} {p}}}}}$

次の特性評価は同等です。複合番号

${displaystyle n}$

プライムディバイダーの量

${displaystyle p}$

主に擬似 – したがって、以下が適用される場合は次のとおりです。

${displaystyle sum _ {pin p} {frac {1} {p}}+prod _ {pin p} {frac {1} {p}} = 1}$

。これは、主に擬似された数字の密接な関係によって示されています。

${displaystyle sum _ {pin p} {frac {1} {p}} – prod _ {pin p} {frac {1} {p}} in mathbb {n}}$

特徴付けられます。

既知の最も既知の数字は主に擬似的です（結果） A054377 OEISで）：

• 2 = 2
• 6 = 2×3
• 42 = 2×3×7
• 1806 = 2×3×7×43
• 47.058 = 2×3×11×23×31
• 2.214.502.422 = 2×3×11×23×37.059
• 52.495.396.602 = 2×3×11×17×101×149×3109
• 8.490.421.583.559.688.410.706.771.771.086 = 2×3×11×11×23×31×47.059×2,217.342.227×1,729.101.023.519.519.519.519.519

それかどうかは不明です 多くの人 主に擬似 – しっかりと来るか、あるかどうか 奇数 主要な擬似識力数。 （（） A054377 ））

主に擬似された数字の特性：

• すべて主に擬似フェッド数は正方形です。
• ナンバー6は、主に唯一の擬似フェド番号であり、これも完了しています。他のすべての主に擬似フェド数は豊富です。
• 主に擬似フェド数が多く、特定の数の主要な要因があります。
• 主に擬似フェッドの数字が無限にあるかどうかは不明です。

奇妙な数字や奇妙な数字 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

自然数

${displaystyle n}$

呼ばれています 変 （ドイツ語では、「奇妙な」）豊富ではないが、擬似ではない場合。そのため、実際の除数の合計は数字ですが、その実際の除数のいくつかの合計として表現することはできません。

${displaystyle n}$

超えて。

例：
数字70は最小の奇妙な数です。それは部門からの数字の合計ではありえません

${displaystyle {1,2,5,7,10,14,35}}$

書く。次の奇妙な数字は836、4030、5830、7192、7912、9272、10430です（結果 A006037 OEISで）

特性：

• 奇妙な数の無限の数があります。
• 既知の奇妙な数字はすべてまっすぐです。奇妙な奇妙な数があるかどうかは不明です。

seried番号 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

部品数と自然数の除数の合計の両方です

${displaystyle n}$

完璧な数字、次に1つを示します

${displaystyle n}$

いつ 上げられた。 当時（2010年）崇高な数字は2つの崇高な数のみです。12と76のジョブの数字（結果 A081357 OEISで）。

準異なる数字 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

準異なる数字 （ 英語 quasiperfect数 ）完全な数字の明らかな変更としての結果。これを行うには、部品の全量ではなく自然数を取得します

${displaystyle n}$

それだけで 非些細な仕切り、 したがって、すべてのパートナーを除く

${displaystyle1}$

と

${displaystyle n}$

それ自体、そしてそれらの合計が数に等しいことを要求します

${displaystyle n}$

多分。 a

${displaystyle nin mathbb {n}}$

したがって、まさにそうです 風文、 方程式の場合

${displaystyle sigma（n）= 2n+1}$

満足しています。

これまでのところ（2006年現在）、Quasi -wund数はわかっていません。次のような、すべての準数値を満たす必要がある多くの必要な条件しか見つかりませんでした。 ^{[2] [9] [十]}

SuperPerfectsを支払います [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

あなたが自然数の分割のシェアから持っているなら

${displaystyle n}$

部門のシェアを再形成し、この第2額の部門は2倍の大きさです

${displaystyle n}$

、 また

${displaystyle sigma（sigma（n））= 2cdot n}$

適用してから、1つの呼び出しを行います

${displaystyle n}$

非常に過剰な数（結果 A019279 OEISで）。

例

ボエティウス [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

完全な数の算術特性、時にはそれらの算術的解釈は、古代後期の算術教育資料の一部であり、その中のボエティウスです 従来の算術 ^[11] それは主にジェラサ・ニコマコスに基づいています、 ^[12番目] ラテン中世に渡されました。彼のギリシャのテンプレートに従って、ボエティウスは完璧な数字を扱っています （完成した部品の数） ^[13] ストレート数の亜種として （数字） そして、メンバーが一連の直線で支払うような方法で、あなたの計算原則をユークリッドに戻すことを説明します（ 数字だけでなく、次のようになります。 2 ⁿ ）合計が素数を与えるまで互いに追加すること：この素数を最後に追加したシリーズに掛けると、完璧な数があります。 Boëthiusは、最初の3つの完全な数字6、28、および496の個々のステップでこの計算方法をリードし、4番目の完全な数字8128についても言及しています。ボエティウスでは、完璧な数字の合法性の補完的な観察は、10年ごとに1回（時間の効力）に一度登場し、6または8で終了したことにも基づいています。 Boëthiusの説明は、次の世紀に完全な数字に関する算術知識の合計を形成しました 算術の などの百科事典で Etymologiae ISIDORS ^[14] そして、他の教訓的な作品は多かれ少なかれ完全でしたが、15世紀に5番目の完全な数（33550336）が発見されるまで、「数十年」への通常の分布に関する仮定が不正確であることが認識されていました。 ^[15]

Boëthiusは、他の数の数の治療における算術教育資料に大きく限定されていますが、完全な数字は、それらが豊富であるというさらなる倫理的考慮事項の理由を彼に提供します（ 完璧以上のもの また 余分な また 豊富です 名前付き）および赤字数（ 不完全 また 小さい また ホームレス 名前）と比較されます：これらの後者の2種類の数字は、それらが非常に一般的で、それらのように一般的であり、特定の順序に提出しないため、人間のトラックに似ていますが、振る舞います 完璧な数字 美徳のように、正しい尺度を維持することにより、過剰と欠如の間の真ん中は非常にまれに見られず、固定順序に提出することができます。ボエティウスはまた、3人のメンバーのゲリオンなどの神話のモンスターと豊かさを比較すると、完全な数字に対する美的好みを示していますが、彼は不足していることを変形と比較します。ボエティウスが彼のギリシャのテンプレートからすでに取っているこれらの比較の場合、そのアイデアは手足からのナンバーワンの背景にあります （部品） 複合 体 そのため、数の手足は、完全な数であなたの体とのバランスのとれた関係にあるようにしています。

バイブレキセーゼ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

中世の伝統に対する彼らの実際の重要性は、神が彼の創造の作品を完成させた6日間の創造の解釈（vetus latinaの「消費者」、「hieronymusのvulga」の「perfecit “）が、アリトラシ系の間の出発点を形成する聖書解釈で完璧な数を発展させました。 完璧 神の創造物の6つのナンバーと完璧さは、つながるために働きます。 ^[16] この伝統では、6人の数字は、神の創造物が後のイラストの典型的な例でした。 測定、数、重量 注文されます。ラテン界の決定的な要因はアウグスティヌスになり、アウグスティヌスはさらにアレクサンドリンの解釈から前任者からさらに開発されました。アウグスティヌスは非常に頻繁にあります 完璧 彼のコメントの中で最も詳細な6つのナンバーのうち 創世記の手紙 ^[17] 彼が算術的事実を説明するだけでなく、神学的な質問は、神が彼らの完璧さのために6つの数字を選んだのか、それとも彼の選択を通してこの完全性を与えたのかを議論しますが、創造植物でも彼らによって6つの数字の充足感が実証されました。 あなたへ （パーティ）1、2、3は、創造作品の性質と潜在性にも反映されています 注文 作成は対応しています：

• 創造の創造の初日 ライト、 それは、アウグスティヌスにとって、天国の知性の創造を暗示していることも、 a それ自体のための日。
• 彼らは彼に従っています 二 世界の建物の日、 デバイスの世界 作成されました：創造の2日目に、まず第一に 上場、 空の大空、そしての創造の3日目 より低いエリア、 乾燥した国と海。
• 最後 三つ それ自体が作成されたクリーチャーがこれで作成されたので、日々は再びグループを形成します デバイスの世界Bewegen あなたも 入力します と 飾る 必要：4日目に、天体、太陽、月、星、5日目に 下部エリア 水と空気の動物、そして6日目に最終的に国の動物と最近の最も完璧な作品。

アウグスティヌスが三角形の数としても取り組んでいる6つの数の完璧さは、この事実の解釈を通して2つの方法をもたらします。一方では、

${displaystyle 1+2+3}$

一方、1日目ですが、1日目の作品が特別な上部または下部の領域に割り当てられていないという事実（ここでは手紙aで象徴されます）、一方、上部（b）または下部（c）の領域に属するため、1、2、3日の完全な順序があります。

${displaystyle a+bc+bcc}$

結果。

主に、潜在性のこの詳細な解釈ではありません 注文、 しかし、少なくとも算術としての一般的な解釈では 番号は完璧です 中世の解釈の一般的な資料の6つのステージと、聖書における6つの数字のほぼすべての方法の解釈と救いの歴史の解釈の出発点（アダム、ノア、ノア、アブラハム、アブラハム、デイビッド、バビロニアの捕虜、キリスト）を含む、救いの歴史のこの理解になりました。 （法律の前） 3つの「法律の下」 （法律の下） そして恵みの時代として （恵みの下） キリストの情熱は、人間の6時代の解釈と、6日目からの6日目の聖週間の解釈と、他の多くの聖書および非聖書のセアレで解釈されました。

詩 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

また、中世の詩人はまた、彼の聖書 – エクスペシ – 彼らの作品の構造のegeticな内容における算術的理解を使用することにより、これを確立しました。 ^[18] アルクインは、グンドラダの6節に6節に6つのスタンザでメトリック詩を書き、偉大なシャーレマニュの親relativeである。 完璧 受信者を宣伝するには： ^[19]

Alkuinの学生Hrabanus Maurusは、いくつかの短い詩で同様の方法でそのような関係を持っているだけではありません 完璧 作られた6つの番号、 ^[20] しかし、彼の詩的な主な作品でも、 十字架の自由な賞賛、 ^[21] の総建物 完璧 28アラインド。この作品は28の詩で構成されています （シアンの比ur的） 散文宣言と散文の言い換えが散文に添付されています。図の詩自体は、詩の中の同じ数の文字のヘキサメーターで書かれており、表現せずに原稿に書かれているため、メトリックテキストが長方形のブロックとして表示されます。このブロック内で、個々の文字が色と周囲の観点から強調表示され、それが再び新しいテキストを形成するため、 intextに向かって それらをまとめてください。これらの数字の28日と最後の散文宣言では、Hrabanusは28番の選択の理由も指摘しています。 ^[22]

Burkhard Taeger（1972）が現代で発見したように、 ^[23] 数の算術的理解も、作業の正式な構造にさらに深く介入します。 28の詩が詩あたりの文字の数に従って分割されている場合、1、2、4、7、14の詩のグループがあるため、作品の内部構造も 完全 彼らによる28の成就 部品 反射。

数字の根底にある理解の詩的な適応の証拠は、後期中世にも見られます。 ^[24] また、通常、作品を構築するために説明的な添加物なしで仲良くしなければならない視覚芸術では、アッシジの上部大聖堂の聖フランシスコの人生についてのジョットの28のフレスコ画は、彼の人生のキリスト教の聖なる完全性と類似性を封印したいと考えています。 ^[25]

• スタンリー・J・ベザチカ： 完璧な数字 – 更新。 の： 数学教師。 バンド74、1981、S。460–463。
• スタンリー・J・ベズシュカ、マーガレット・J・ケニー： 完全な数字でさえ：（更新）²。 の： 数学教師。 バンド90、1997、S。628–633。
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• JózsefSándor、Dragoslav S.Mitrinović、Borislav Crstiica： 数字理論のハンドブック。私 。 Springs Publisher、Drogue 146、ISBN 978-1-4020-4255-
• SándorJózsef、Borislav Crstici： 数字理論のハンドブック。 ii 。 Kluwer Academic Publishers、Dordrecht/Boston/London 2004、ISBN 1-4020-2546-7。
• wacławsierpiński： 数字の基本理論 （= ノースホランド数学ライブラリ 。 バンド 最初に30 ）。 2.改訂および拡張版。ノースホランド（を含む）、アムステルダム（および。）1988、ISBN 0-444-86662-0。

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6. ↑ Judy A. Holdener： 奇妙な完璧な数字の形のタッチャードの定理。 の： 午前。算数。月曜日 109、No。7、661–663（2002）。
7. ↑ したがって、整数師団を備えたレムナント1を12または残り9を取得します。
8. ↑ ^{a b c d そうです f} Paolo Ribenboim： 素数の世界 – 秘密と記録 。第2版​​。 Springer-Verlag、2011、ISBN 978-3-642-18079-8、 S. 86–87 。
9. ↑ Alexander-Crstici： 数字理論のハンドブック。 ii 。 S. 36–37 。
10. ↑ sándor-mitrinović-crstici： 数字理論のハンドブック。私 。 S. 109–110 。
11. ↑ ボエティウス： 機関の算術2冊の本。 Gottfried Friedleich（一緒に編集 音楽の制度 ）、Leipzig 1867、Nachdr。MinervaGmbh、Frankfurt/Main 1966;中世のレセプションについては、Pearl Kibre： パリの13世紀の大学環境の算術と四元数のボエシアン。 In：Michael Masi（編）： ボエティウスとリベラルアーツ：エッセイのコレクション。 Verlag Peter Lang、Bern / Frankfurt / Main / Las Vegas 1981（= 文学と言語学のユタ研究、 18）、S。67–80;マイケルまだ： ボエティウスの影響 算術の 後期中世の数学について。 同上、pp。81–95。
12. ↑ Nikomachos von Gerasa: 算術紹介。 リチャード・ホーシェ編、テウブナー・ヴェルラグ、ライプツィヒ1866;ビザンチン算術の完全な数字の伝統については、Nicole Zeegers-Vanderを参照してください。 11世紀の匿名のカドリビウムの算術。 の： 古典的な古代。 32（1963）、S。129–161、bes。 S. 144 f。
13. ↑ ボエティウス： 機関の算術。 lib。i、cap。 19–20、ed。Friedlein1867、pp。39–45。ラテン語の伝統におけるボエティウスの表現として、Martianus capella：も参照してください。 nvptiis phalology and Mercvrii。 VII、753、編James Willis、Teubner Verlag、Leipzig 1983;マクロビウス： シピオの夢に関する解説。 I、vi、12、ed。 Jakob Willis、Teubner Verlag、Leipzig 1963;とcassiodor： 芸術と分野のリベラルな手紙。 VII、PL 70.1206。これらは同じ算術的理解を示しますが、詳細にはあまり実行しません。のための別の正当化 完璧 Vitruviusは6つの番号を提供します。 建築学、建築物、建築様式。 III、I、6（編集、およびCurt Fensterbusch、Scientific Book Society、Darmstadt 1964による翻訳）。
14. ↑ Isidor von Sevilla： 語源。 vii、v。 9–11、編Wallace M. Lindsay、Clarendon Press、ライプツィヒ1911。
15. ↑ スタンリー・J・ベザチカ： 完璧な数字 – 更新。 の： 数学教師。 74（1981）、pp。460–463。 1997年まで他の完璧な数字の発見の歴史について：スタンリーJ.ベズシュカ、マーガレットJ.ケニー： 完全な数字でさえ：（更新）²。 の： 数学教師。 90（1997）、S。628–633。
16. ↑ ハインツ・マイヤー： 中世の数のall話：方法と使用。 Wilhelm Finck Verlag、Munich 1975（= ミュンスター中世の著作25。 ）pp。30–35; Heinz Meyer / Horst Suntrup（ed。）： 中世数の辞書。 Wilhelm Finck Verlag、Munich 1987（= MMS 56。 ）Art。6、sp。442–479。
17. ↑ オーガスティン： 創世記の文字通り。 IV、1–7、Cel 28.1（1894）、pp。93-103;参照してください 三位一体の。 4、4-6、CCSL 50（1968）、S。169-175。
18. ↑ 中世文献の構造における数字と数値関係を解釈する方法論的要件については、Ernst Hellgardtを参照してください。 中世文献における象徴的および正式な美的数の問題。 C. H.ベック、ミュンヘン1973（= ミュンヘンのテキストと研究。 第45巻）、ISBN 978-3-4060-2845-8; otfried lieberknecht： Allegoresis and Phology：Dantes Commediaの複数のブリーフィングの問題に関する考察。 Franz Steiner Verlag、Stuttgart 1999（= テキストとコンテキスト、14。 ）S。133 ff。 （ オンラインバージョンはこちら。 ））
19. ↑ アルクイン： Epistola 309（AD Gundradam）。 In ：（クォート）4： Karolini Aevi（2）。 herausgegeben von ernstdümmleru。 a。ベルリン、1895年、S。473-478（Monument Germany Histilica、 デジタル化 ）Paul Klopsch（編）から引用された翻訳： 中世のラテン詩。 Reclam-verlag、Stuttgart 1985（= Universal-Bibliotekクレーム、8088。 ）。
20. ↑ カルミナ。 In：詩人中世2： 詩人エヴィ・カロリーニ（2）。 Herausgegeben von ErnstDümmler。ベルリン1884、S。154-258（Monument Historica; デジタル化 ）。たとえば、チャーム。 xviii、vv。 55–60マインツ大司教のオトガーに、66節の数は、受信者が「完全に習慣と完璧な紳士に属する召使」という願いで正当化されます。 （完璧な行動と /奴隷に従った完璧な所有者） 多分。
21. ↑ Mignesの後にここで引用されています。 聖十字架の賞賛。 PL 107、133–294、Michel Perrinによる新しいクリティカルエディションを参照してください： 聖十字架に敬意を表して。 CCCM 100（1997）およびカートホルターのファクシミリ版（編）： Laudibus Sanctae Crucis。オーストリア国立図書館のCodex vindobonensis 652の元の形式の完全なファクシミリ版。 アカデミック印刷と出版社、Graz 1973（= CODICESライブラリ、33。 ）。
22. ↑ Hrabanus Maurus： 聖十字架の賞賛。 Lib。I、figura xxviii、pl 107,264; 6つの適用の例として、完璧な数字として、Figura XXIIIおよび 図の宣言 PL 107、239–242。
23. ↑ バークハルトテーガー： 数字の象徴性、Hraban、Hincmar – および「Heliand」で？ H. C.ベック、ミュンヘン1972（= ミュンヘンのテキストと研究、30。 ）。
24. ↑ Dante Alighieriについては、Otfried Lieberknechtを参照してください： 算術、精神的な解釈、中世の文学数の構成における「完璧な数」。 講義、カイザースラウター大学、特別イベント 数学の歴史、 1998年2月18日。 ders。： Danteの歴史的な算術：Hell 28の「集約の一部に完全に応じた数字」として6と28の数字。 Vortrag、第32回中世研究に関する国際会議、西ミシガン大学、カラマズー、1997年。
25. ↑ Fritz Tschirchも参照してください： 文学的な構造の小屋の秘密。中世のシールのシンボルが決定された範囲から。 In：ders。： スモールズ。ドイツの研究と神学の国境雨からの研究。 Erich Schmidt Verlag、Berlin 1966、pp。212–225、ここで213番号28。