Delta-Ditribution – ウィキペディア

Delta-Distribution （また δ関数 ; ディラック関数 、 – インパルス 、 -脈 、 ショットガン （ポール・ダックの後）、 衝撃機能 、 nadelimpul 、 インパルス関数 また ユニットインパルス関数 名前付き）数学用語として、コンパクトキャリアを備えた特別な不規則な分布は、特別な不規則な分布です。数学と物理学において根本的に重要です。あなたの通常のフォーミュラ記号はδ（小さなデルタ）です。

デルタ分布は、テスト関数の機能空間の安定した線形画像です

${displaystyle {mathcal {e}}}$

下にある体で

${displaystyle mathbb {k}}$

：

${displaystyle delta colon、{mathcal {e}} to mathbb {k} ,, fmapsto f（0）}$

。

デルタ分布のテスト関数空間は、できるだけ頻繁に微分関数の空間です

${displaystyle c^{infty}（omega）}$

と

${displaystyle omega subset mathbb {r} ^{n}}$

また。

${displaystyle omega subset mathbb {c} ^{n}}$

開いて開いています

${displaystyle 0in omega}$

。したがって、対応します

${displaystyle mathbb {k}}$

本物のどちらか

${displaystyle mathbb {r}}$

または複雑な数字

${displaystyle mathbb {c}}$

。

デルタ配布は、すべての差別化された機能を可能な限り頻繁に注文します

${displaystyle f}$

実際のまたは複雑な数

${displaystyle delta（f）= f（0）}$

に、つまり、場所での関数の評価0。テスト関数の適用後のデルタ分布の値

${displaystyle fin {mathcal {e}}}$

配信、1つは（デュアルペアリングの表記付き）、および

${displaystyle delta（f）= langle delta、frangle = f（0）}$

またはまた

${displaystyle delta（f）= int _ {omega} delta（x）、f（x）、mathrm {d} x = f（0）、}$

このスペルは実際には正しくなく、デルタ分布が不規則な分布であるため、象徴的に理解するのは象徴的です。つまり、局所的に統合可能な関数では上記の方法で表現することはできません。したがって、機能はありません

${displaystyledelta}$

上記の定義を満たしている（証拠については、以下の「不規則性」を参照）。概念の技術的に指向されたアプリケーションの場合、特に「デルタ関数」、「ディラック関数」、「インパルス関数」などの数学的には正確な名前ではありません。積分表記を使用する場合、それは いいえ ルベーグの尺度に関するリーマンの積分またはルベーグの積分に、しかし機能的の評価について

${displaystyledelta}$

ポイントで

${displaystyle f}$

、 また

${displaystyle delta（f）= f（0）}$

、行為。

ポジティブラドンメジャーを介して

${displaystyle mu}$

生成された機能

${DisplayStyle TextStyle Langle Mu、Frangle = int f（x）、mathrm {d} mu}$

（ために

${displaystyle fin {mathcal {d}}}$

）分布です。デルタ分布は、次のラドン測定によって生成されます1はここで特にDirecemandについて話します。

${displaystyle delta（a）= {begin {cases} 1、＆{text {falls}} 0in a、\ 0、＆{text {sonst、}} end {cases}}}}}$

したがって

${displaystyle asubseteq mathbb {r}}$

。測定値は物理的に解釈できます。 B.部屋の質量分布または電荷分布として。次に、デルタ分布は、質量1の質量点または原点の荷重1のポイント負荷に対応します。

${displaystyle langle delta、frangle = int f（x）、mathrm {d} delta = f（0）。}}$

場所にいます

${displaystyle x_ {i} in mathbb {r}}$

ポイント荷重

${displaystyle q_ {i}}$

、それによってすべての負荷の合計が最終的に残り、次に

${displaystyle asubset mathbb {r}}$

の測定

${displaystyle sigma}$

– すべてのサブ量の代数

${displaystyle mathbb {r}}$

電荷分布に対応する定義（

${displaystyle i_ {a}}$

すべてを通して

${displaystyle i}$

と

${displaystyle x_ {i} in}$

）：

${displaystyle rho（a）：= sum _ {i_ {a}} q_ {i}。}$

関連する分布は、この尺度のためです。

${displaystyle langle rho、frangle = int f（x）、mathrm {d} rho = sum _ {i_ {a}} f（x_ {i}）q_ {i}。}$

他のすべての分布と同様に、デルタ分布は、一連の関数の制限として表現することもできます。 DIRACのエピソードの量は、デルタ分布を提示するために使用できる最も重要なクラスの機能です。ただし、デルタ分布に収束する他のエピソードがあります。

ディラックエピソード [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

1つのエピソード

${displaystyle（delta _ {k}）_ {kin mathbb {n}}}}$

統合可能な関数

${displaystyle delta _ {k} in l ^{1}（mathbb {r} ^{n}）}$

ifと呼ばれます

1. すべてのために
   ${displaystyleをお願いしますMathbb {r} ^{n}}}$

   そしてすべて

   ${displaystyle kin mathbb {n}}$

   状態

   ${displaystyle delta _ {k}（x）geq 0 ,,}$

   

2. すべてのために
   ${displaystyle kin mathbb {n}}$

   アイデンティティ

   ${displaystyle int _ {mathbb {r} ^{n}} delta _ {k}（x）、mathrm {d} x = 1}$

   と

3. すべてのために
   ${displaystyle epsilon> 0}$

   

   ${displaystyle lem _ {kto infty} int _ {mathbb {r} ^{n} setminus b_ {epsilon}（0）} delta _ {k）mathrm {d} x = 0$

   

適用可能です。ここで定義されているDIRACエピソードの特別なケースを意味する場合があります。関数を選択した場合

${displaystyle non -printed l ^{1}（mathbb {r} ^{n}）}$

と

${displaystyle phi（x）geq 0}$

すべてのために

${displaystyleをお願いしますMathbb {r} ^{n}}}$

と

${displaystyle Text Style int _ {mathbb {r} ^{n}} phi（x）mathrm {d} x = 1}$

とセット

${displaystyle delta _ {epsilon}（x）：= epsilon ^{ – n} phi（{tfrac {x {{{{epsilon}}}）}）}）}）$

ために

${displaystyle epsilon> 0}$

${displaystyle epsilonから0}$

それ以外の

${inftty}$

したがって、プロパティ3も満たされています。したがって、関数のグループが呼び出されます

${dispastastyle delta _ {epsilon}}$

また、ディラックエピソード。 ^[初め]

備考 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

関数

${displaystyle delta _ {k}}$

これで、通常の配布で使用できます

${displaystyle delta _ {k}（f）：= langle delta _ {k}、frangle：= int _ {r} ^{n}} delta _ {k}（x）、f（x）、mathrm {d} x}}$

識別。ライムでのみ

${inftty}$

デルタ分布の異常な動作が得られます

${displaystyle lim _ {kto infty} delta _ {k}（f）= lim _ {kto infty} langle delta _ {k}、frangle = f（0）= langle delta、frangle}$

ライムの層はそうではないことに注意する必要があります 下 積分、しかし 前 彼はフォローします。あなたが積分の下で石灰を引っ張るなら、そうするでしょう

${dispastastyle delta _ {epsilon}}$

ほぼどこでもゼロではなく、ただ

${displaystyle x = 0}$

。ただし、単一のポイントは人生の男をゼロにしており、積分全体が消えます。

デルタ分布は、x軸の上にサイズ1の面積単位がある領域を含む任意の狭い関数として鮮明に導入されます。この関数は、より狭くなり、より高くなっています – 以下の領域は一定のままでなければなりません1。また、多次元のディラック分布もあり、これはボリューム1の鮮明に多次元の「クラブ」になります。

DIRACエピソードの例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

以下では、さまざまな近似値があります（DIRACエピソード）

${displaystyle delta _ {epsilon}（x）}$

指定された、最初は絶えず区別されています：

${displaystyle delta _ {epsilon}（x）= {frac {1} {sqrt {2pi epsilon}}}}、exp左（ – {frac {x^{2}} {2epsilon}}}}}}$

指定された関数は非常に狭く、非常に高い最大値を持っています x = 0 幅は約です

${displaystyle {sqrt {epsilon}}から0}$

そして高さ

${displaystyle 1/{sqrt {epsilon}} to infty}$

。すべてのために

${displaystyle epsilon}$

関数の下の領域1です。

${displaystyle delta _ {epsilon}（x）= {frac {1} {pi}} {frac {epsilon} {x ^{2}+epsilon ^{2}}}}}}$

${displaystyle delta _ {epsilon}（x）= {frac {1} {sqrt {mathrm {i} pi epsilon}}}}、{frac {i} x^{2}} {epsilon}}}}$

シリンダーに包まれた線とその巻線として想像できること

${displaystyle x^{2}}$

ますます狭くなります。ベースエリア（in

${displaystyle x}$

–

${displaystyle y}$

シリンダーの容量）は、関数の虚数と実際のセクションから形成され、関数はで発生します

${displaystyle with}$

-方向。

ただし、近似も可能です。これは、しっかりと区別された部分でのみです。

${displaystyle delta _ {epsilon}（x）= {frac {operatorname {rect}（x/epsilon）} {epsilon}} = {begin {case} {frac {1} {epsilon}}＆| x | leq {epsilon} {{2} {{2} {2} {2} {2} {2} {2} {epsilon}} }} end {case}}}$

${displaystyle delta _ {epsilon}（x）= {begin {cases} {frac {epsilon +x} {epsilon ^{2}}}＆-epsilon leq xleq 0 \ {frac {epsilon -x} {{2}} {{2}}$

${displaystyle delta _ {epsilon}（x）= {frac {1} {2epsilon}} exp left（ – {frac {| x |} {epsilon}}右）}}$

さらなる例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle delta _ {epsilon}（x）= {frac {1} {pi x}} sin left（{frac {x} {epsilon}}右）}$

エピソードも負の値を受け入れるため、ディラックのエピソードではありません。ただし、表現を見ると

${displaystyle lim _ {epsilon to 0} int _ { – infty}^{infty} {frac {1} {pi x}} sin left（{frac {x} {epsilon}} right）phi（x）mathrm {d} x} x}$

だから皆のために集まった

${displaystyle in {mathcal {d}}}}$

デルタ分布に対する分布の意味でのこのエピソード。

非標準分析では、「デルタ関数」は、目的の特性を持つ関数として明示的に定義できます。これも無限に異なります。あなたの最初の派生はです

${displaystyle {frac {text {d}} {{text {d}} x}} delta（x）= – {frac {delta（x）}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

そしてあなたの

${displaystyle n}$

-te派生

${displaystyle {frac {{text {d}}^}}} {{text {d}}^{n} x}} delta（x）=（-1）^{n} {frac {n！$

• デルタ配布の明確なプロパティ：折りたたみプロパティも フェードインプロパティ ^[2] 、 7-プロパティ 呼び出されました

${displaystyle long della、frangle = into {infty} delta（x）、f（x）、mi（0）}$

または、翻訳とスケーリングの特性（以下を参照）が次のとおりです。

${displaystyle int _ { – infty}^{infty} f（x）、delta（x-a）、mathrm {d} x = int _ { – infty}^{infty} f（x）、delta（a-x）、mathrm {d} x = f（a）、}$

特に一定の関数1の場合：

${displaystyle int _ { – infty}^{infty} delta（x-a）、mathrm {d} x = 1}$

${displaystyle langle delta、f+grangle = langle delta、frangle+langle delta、grangle = f（0）+g（0）}$

${displaystyle langle delta（cdot -a）、frangle = langle delta、f（cdot +a）rangle = f（a）}$

ために

${displaystyle delta（cdot -a）}$

名前でもあります

${displaystyle delta _ {a}}$

一般。

${displaystyle langle delta（acdot）、fracle = {frac {1} {| a |}} langle delta、f（{tfrac {cdot} {a}}）rangle = {frac {1} {| a |}}}}}}}}}}}}}}}$

と

${displaystyle delta（alpha x）= {frac {1} {| alpha |}} delta（x）}$

つまり、デルタ分布は次数-1から正の均一であることを意味します。

スケーリングプロパティからの直接的な結論は、デルタ分布の測定の次元または単位です。それはあなたの議論の相互次元に正確に対応します。もっている

${displaystyle x}$

たとえば、長さの寸法、そうです

${displaystyledelta（x）}$

寸法（1/長さ）。

• 実行の説教：

${displaystyle int _ { – infty}^{infty} phi（x）、delta（g（x））、mathrm {d} x = sum _ {i = 1}^{n} int _ { – infty}^{infty} phi（x）{frac {x-x_} |}}、mathrm {d} x = sum _ {i = 1}^{n} {frac {phi（x_ {i}）} {| g ‘（x_ {i}）}}、}、}$

${displaystyle delta（g（x））= sum _ {i = 1}^{n} {frac {delta（x-x_ {i}）} {| g^{prime}（x_ {i}）|}}}}}}$

したがって

${displaystyle x_ {i}}$

の単純なゼロポイント

${displaystyle g（x）}$

です（if

${displaystyle g（x）}$

最終的には、単純なゼロポイントのみのみです）。特別なケースとして、計算ルールが続きます

${displaystyle delta（x ^{2} -alpha ^{2}）= {frac {1} {2 | alpha |}} [delta（x-alpha）+delta（x+alpha）]。}}$

不規則性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Delta分布の不規則性（=特異点）は、矛盾の証明で示すことができます。

想定

${displaystyledelta}$

それが定期的であれば、局所的に統合可能な機能があります

${displaystyle delta（x）in l_ {text {lok}}^{1}}$

、すべてのコンパクト間隔を超える関数

${displaystyle [a、b]}$

ルベーグの尺度に関して

${displaystyle int _ {a}^{b} | delta（x）| mathrm {d} x$

すべてのテスト機能について

${displaystyle f（x）}$

該当する：

${displaystyle long della、frangle = into {infty} delta（x）、f（x）、di（0）。}$

特に、これは次のテスト関数のためでなければなりません

${displaystyle phi _ {b}（x）}$

コンパクトキャリア付き

${displaystyle [-b、b]}$

有効です：

${displaystyle phi _ {b}（x）= {begin {cases} exp {big（} {frac {b^{2}} {x^{2} -b^{2}}} {big）}＆| x |$

デルタ分布の効果はこれに及ぼすものです。

${displaystyle long della、phi _ ^ bi} rigle = phi _}（0）= -1）= dehrm {cont} _}。}。}。}}}$

想定される定期的な分布

${displaystyle long della、phi _ ^ {infi}、ph ies、phi}、phi}、pi-i$

次の評価を実行できます。

${displaystyle phi _ {b}（0）= | langle delta、phi _ {b} rangle | = left | int _ { – b}^{b} delta（x）、phi _ {b}（x）、x）、mathrm {d} x i _ {b}（0）}、int _ { – b}^{b} | delta（x）|、mathrm {d} x {underset {（b$

なぜなら

${displaystyle delta（x）in l_ {lok}^{1}}$

積分

${displaystyleテキストスタイルint _ {-b}^{b} | delta（x）|、mathrm {d} x}$

ために

${displaystyle b$

（ここで

${displaystyle b_ {c}}$

関数の1つ

${displaystyledelta（x）}$

依存する臨界値）1（および0に対して収束します

${displaystyle b}$

0）。あなたは得ます

${displaystyle phi _ {b}（0）$

、矛盾。したがって、デルタ分布は、局所的に統合可能な関数では表現できません。矛盾は、{0}の量はレベジュグの測定では無視できるが、ディラック測定ではないために発生します。

導出 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

デルタ分布の導出 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

他の分布と同様に、デルタ分布は可能な限り頻繁に配布できます。

${displaystyle langle delta ‘、frangle = -langle delta、f’rangle = -f’（0）。}$

これは、にも適用されます

${displaystyle n}$

-te分散派生：

${displaystyle langle delta^{（n）}、frangle =（-1）^{n} langle delta、f^{（n）} row =（-1）^{n} f^{（n）}（0）。}$

DIRACシーケンスの導出 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

通常の分布の派生

${dispastastyle delta _ {epsilon}}$

部分的な統合を使用して計算できます（ここでは、初期派生の例として、より高いものに類似しています））

${displaystyle {begin {aligned} langle delta _ {epsilon}^{prime}、frangle＆= int _ { – infty}^{infty} delta _ {epsilon _ {epsilon}^{prime}（x）、f（x）、mathrm {d} x x \＆= deft deps 、f（x）right] _ { – infty}^{infty}} _ {= 0} -int _ { – infty}^{infty}^{epsilon}（x）、f^{prime}（x）、mathrm {d} x \＆= -int _ {infty} {infty （x）、f^{prime}（x）、mathrm {d} x \＆= -langle delta _ {epsilon}、f^{prime} rangle end {aligned}}}}$

そして、石灰になります

${displaystyle epsilonから0}$

分配導出の動作：

${displaystyle lim _ {epsilon to 0} langle delta _ {epsilon}^{prime}、frangle = -f^{prime}（0）= langle delta^{prime}、frangle。}$

重い分布の導出 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

重い関数

${displaystyletheta（x）}$

絶えず区別されていませんが、分布派生が存在します。これはデルタ分布です。

${displaystyle long there thera ‘、frangle thankle thaka、f’rangle = – } ,, mi. = – } 、、 mi-le delta、frangle。}$

重い分布にはコンパクトなキャリアがないため、テスト機能は、好きなだけコンパクトキャリアを使用して微分可能な機能でなければなりません

${displaystyle fin c_ {0}^{infty} cong {mathcal {d}}}$

、それは意味します

${displaystyle f}$

無限に消えなければなりません。

フーリエラプレス変換 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

デルタ分布にはコンパクトなキャリアがあるため、フーリエラプラスの変換を形成することができます。これは適用されます

${displaystyle {has {delta} = 1、。}$

フーリエ変換 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

フーリエラプラス変換はフーリエ変換の特別なケースであるため、適用されます

${displayスタイル{Mathcal {f}（delta）（phi）= {mathcal} drot（{m} drot$

条約、要因もあります

${displaystyle {tfrac {1} {sqrt {2pi}}}}}$

フーリエ変換を掛けるには。その場合はそうです

${displaystyle {tfrac {1} {sqrt {2pi}}}}}$

また、デルタ分布のフーリエ変換の結果。変換の結果は、すべての周波数が同じ強度でデルタ分布に含まれることを明らかに意味します。表現

${displaystyle delta（x）= {mathcal {f}}^{-1}（1）}$

（また

${displaystyle delta（x）= {mathcal {f}}^{-1}（{tfrac {1} {sqrt {2pi}}}）}$

予備的要因の他の条約では）は、物理学に重要なデルタ分布の表現です。

ラプラス変換 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ダイラプラストランスフォーメーション

${displaystyle {mathcal {l}}}$

デルタ分布は、フーリエラプラス変換の特殊なケースとして取得されます。ここにも適用されるからです

${displaystyle {mathcal {l}}（delta）= 1、。}$

フーリエ変換とは対照的に、ここには他の慣習はありません。

プレゼンテーションに関するメモ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

フーリエまたはラプラスの変換は、しばしば通常の積分叫びによって提示されます。ただし、これらの表現はです

${displaystyle {mathcal {f}}（delta）（xi）= int _ { – infty} ^{infty} mathrm {e} ^{ – mathrm {i} xi x}、delta（x）、mathrm {d} x}}}}}$

フーリエ変換用または

${display style {mathcal {l}（delta）（xi）= 0} with {{{{{{{{{{{{{{{xi}、pi}、pi} x}$

数学的に定義されていないラプラスの変換について象徴的に理解される。

シフトしたデルタ分布の変換 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

フーリエ変換またはUMのラプラス変換を持つことも可能です

${displaystyle a> 0}$

${displaystyle delta _ {a}}$

計算します。適用されます

${displaystyle {begin {aligned} {mathcal {f}}（delta _ {a}）＆= mathrm {e} ^{ – mathrm {i} xi a} \ {mathcal {l}}}}（delta _ {a}）＆= mathrm {edrm { }$

ディラックショットは、音響の衝動反応を決定する際に実際的に重要です（他の物理学部門では、1つについても語っています。

${displaystyledelta}$

– サイズ、問題のサイズが可能な限り狭い分布に十分であると思う場合）。各部屋には独自の健全な動作があります。ディラックインパルス（手で拍手することで近づく）では、この動作（「エコー」、つまりシステム応答を測定することにより）を決定できます。

典型的な技術的に実現可能なDIRAC値：

デルタ分布の重要な応用は、緑の関数の方法を使用した不均一な線形微分方程式の解です。

意味 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多次元では、テスト関数の空間は

${displaystyle {mathcal {e}}}$

平

${displaystyle c ^{infty}（mathbb {r} ^{n}）}$

、機能の空間は、できるだけ頻繁に完全に区別します

${displaystyle fcolon、mathbb {r} ^{n} to mathbb {r}}$

。

デルタ分布は、テスト関数にあります

${displaystyle fcolon、mathbb {r} ^{n} to mathbb {r}}$

次の効果：

${displaystyle delta lonl、{mathcal {e}} to mathbb {r} ,, fmapsto f（{vec {0}}）}$

翻訳とスケーリングを使用した非公式の積分表記で：

${displaystyle int f（{vec {x}}）、delta（{vec {x}} – {vec {a}}）、mathrm {d} ^{n} x = int f（{vec {x}}）、delta（{vec {{a}} {{vec} {vec} {{vec} {{vec} {{vec}} n} x = f（{vec {a}}）}$

。

特性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

「多次元」デルタ分布は、「1次元」デルタ分布の製品として記述できます。

${displaystyle delta（{vec {x}} – {vec {a}}）= delta（x_ {1} -a_ {1}）、delta（x_ {2}）、dots、delta（x_ {n} -a_ {n}）}}}}$

。

特に3次元では、ポイント荷重を提示するために電気力学でよく使用されるデルタ分布の表現があります。

${displaystyle delta（{thing {x}} – {thing {a}}）= – {frac {1} {4pi}} delta {frac {1} {{x}} – {thing {a} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

。

曲がった座標系のデルタ分布 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

曲がった座標系では、機能的な決定要因が必要です

${displaystyle mathrm {d} ^{3} r = mathrm {d} x〜mathrm {d} y〜mathrm {d} z = det {frac {partial（x、y、z）} {partial（a、b、c）}}〜{d} a〜mathrm {d} bat$

考慮に入れてください。 ^[3]

アプローチ

${displaystyle delta（{{vec {r}}} – {vec {r}} _ {0}}）= gamma（a、b、c）〜delta（a-a_ {0}）〜delta（b-b_ {0}）〜delta（c-c-c-c-c-c-{0}）}$

と

${displaystyle {vec {r}} =（a、b、c）}$

と

${displaystyle {vec {r}} _ {0} =（a_ {0}、b_ {0}、c_ {0}）}$

方程式につながります

${displaystyle int _ {v} delta（{vec {r}} – {vec {r} _ {0}）〜Mathrm {d} ^{det _ {v} det {frac {partial（x、y、z）} {a、b、c）} {b、b、b。 {0}）〜delta（c-c_ {0}）〜Mathrm {d} a〜mathrm {d} b〜Mathrm {d} c〜 {stackrel {！} {=}} 〜11$

、滝

${displaystyle {vec {r}} _ {0} in v}$

。

適用しなければならないという事実から見ることができます

${displaystyle gamma = left（left.det {frac {partial（x、y、z）} {partial（a、b、c）}}右| _ {{vec {r}} _ {0}}右）^{-1}}}}$

。

曲がった座標系では、機能的な決定要因の戻り値に対応する予備的要因をデルタ分布に提供する必要があります。

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

と球状の座標で

${displaystyle {vec {r}} =（r、theta、phi）}$

と

${displaystyle {vec {r}} _ {0} =（r_ {0}、theta _ {0}、phi _ {0}）}$

該当する：

${displaystyle delta（{vec {r}} – {vec {r}} _ {0}）= {frac {1} {r^{2} sin theta}} 〜delta（r -r_ {0}）〜delta（theta -theta -theta _ {ph -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ {phi}$

とシリンダーの座標で

${displaystyle {vec {r}} =（rho、phi、z）}$

と

${displaystyle {vec {r}} _ {0} =（rho _ {0}、phi _ {0}、z_ {0}）}$

該当する：

${displaystyle delta（{vec {r}} – {vec {r}} _ {0}）= {frac {1} {rho}}} 〜delta（rho -rho _ {0}）〜delta（phi -phi _ {0}）$

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• F. G.フリードランダー： 分布理論の紹介。 M. Joshiによる追加の資料付き。 2.エディション。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジu。 a。 1998、ISBN 0-521-64015-6。

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