潜在的（物理学） – ウィキペディア

潜在的 また 潜在的 （年。 力 、「パワー、強さ、パフォーマンス」）物理学において、保守的な電力分野が仕事をする能力。それは、そのサイズと標識に関係なく、大衆または電荷に対する保守的な分野の効果を説明しています。これは当初、試験片の遡及効果を除外しますが、個別に考慮することもできます。ポテンシャルのフォーミュラサインとして、それは通常

${displaystylephi}$

、偉大なギリシャ文字Phi、使用されています。

数学では、ポテンシャルという用語は、（スカラーまたはベクトルの）フィールド、つまり局所機能全体のみを記述します。一方、物理技術的なコンテキストでは、関連する身体の電気的または重力ポテンシャルなど、フィールドとその個々の機能値の両方を指定するために使用されます。以下では、物理的な「ポテンシャル」が主にフィールドとして議論されています。

多くの教科書では、ポテンシャルエネルギーは「ポテンシャル」とも呼ばれます ^[初め] および式サイン

${displaystyle v}$

選択されたポテンシャルエネルギー。 （実際の意味で）可能性は、カップリング定数あたりのポテンシャルエネルギーです。 B.電荷または質量。 ^[2]

ニュートンによると、力に適用されます

${displaystyle f}$

法律

after-content-x4

${displaystyle f = ma}$

、

したがって

${displaystyle m}$

質量と

${displaystyle a}$

加速は、この質量が経験することです。したがって、それは単一のオブジェクトで行使される力です。

ただし、部屋のどこかにある加速（下方）と質量は、重力の場合は常に加速です。

単一の場所にあるだけでなく、部屋に分布している種のサイズは、フィールドと呼ばれ、問題の変数が指示されているかアクセスできないかによって、フィールドは再びベクトルフィールドとスカラーフィールドに区別されます。

質量、荷重、密度、温度のように方向性がなく、単一の数字の助けを借りて完全に説明できるサイズもスカラーと呼ばれ、部屋の場所をそのような奇妙なサイズに割り当てるすべてのフィールドは、それに応じてスカラーフィールドとしてです。たとえば、地球の表面のすべてのポイントは、海抜の高さを割り当てて、したがってスカラーの高いフィールドを取得するか、zを配置できます。 B.部屋の密度で密度フィールドを受け取ります。

一方、力はベクトル、つまり指向されたサイズであり、各ポイントにスカラーの代わりにそのようなベクトルを割り当てると、スケールフィールドの代わりにベクトルフィールドを取得します。たとえば、重力の場合、すべての重力ベクトルは常に地面の中心を指しています。

要素が力であるベクトルフィールドはパワーフィールドと呼ばれるため、上記の方程式はベクトルでも記述できます。

${displaystyle {thing {f}} = m {thing {a}}}$

、

したがって

${displaystyle {vec {f}}}$

フォースフィールドと

${displaystyle {vec {a}}}$

加速フィールドはです。通常、加速フィールドが位置にかかっています

${displaystyle {vec {r}}}$

部屋で、それは両方を意味します

${displaystyle {vec {f}}}$

としても

${displaystyle {vec {a}}}$

の関数

${displaystyle {vec {r}}}$

そうですので、もっと正確にする必要があります：

${displayStyle {thing {f}}（{thing {r}}）= m {thing {a}}（{thing {r}}）}}}$

。

電気および重力場の例を使用した可能性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

それがクーロン力や重力などの保守的な力である場合、パワーフィールドは

${displaystyle {thing {f}}（{thing {r}}）}$

また、スカラーフィールドの助けを借りて

${displaystyle phi（{vec {r}}）}$

たとえば、次の方程式が適用される表現があります（電界の場合、貨物が引き継ぎます

${displaystyle q}$

質量の役割

${displaystyle m}$

重力場で）：

${displayStyle {thing {f_ {e}}}（{thing {r}}）= -q {thing {take}} phi（{thing {r}}）}$

また。

${displayStyle {guth {f_ {g}}}（{thing {r}}）= -m {thing {take}} phi（{thing {r}}）}$

。

スカラーフィールド

${displaystyle phi（{vec {r}}）}$

それはこの関係を果たすことを意味します 潜在的 ベクトルフィールドの

${displaystyle {thing {f}}（{thing {r}}）}$

。

ある

• 
  ${displaystyle {thing {nabla}}}$

  （主に公正です

  ${displaystyle nabla}$

  書かれた）NABLAオペレーター

  • 表現
    ${displaystyle {thing {nabla}} phi（{thing {r}}}}$

    フィールドの勾配が彼の助けを借りて形成されました

    ${displaystyle phi（{vec {r}}）}$

    。

ScaledフィールドにNABLAオペレーターを適用すると、ベクトルフィールドが作成されます。これにより、部屋の各ポイントで、スケーリングされたフィールドの変化率が最も急激に増加する方向に声明が作成されます。

したがって、上記の高いフィールドの場合のように、ポテンシャルは丘陵の風景としてよく示すことができます：ポイントの量はその潜在的な値であり、この点で身体に影響する力、一方で、最も急な電位の方向にあるベクトル 石炭 最も急な可能性の方向に正確に反対することを示しています 登る 。

負荷の力

${displaystyle q}$

電界または質量に

${displaystyle m}$

重力場にもあります

${displayStyle {thing {f}} _ {e}（{thing {r}}）= -q {thing {the sake}} phi（{thing {r}}）= qcdot {thing {e}} {g}（{rthing}}）= -m {nabi} {nabi} {thing {thing}） = mcdot {thing {a}}（{thing {r}}）}}$

。

ポテンシャルの特に重要性は、スカラーフィールドとして1つのコンポーネントしかないことです – 多くの計算を簡素化する力場の3つのコンポーネントと比較して。さらに、その製品は、電荷または質量で問題のテスト標本のポテンシャルエネルギーをすぐに提供し、たとえば静電気では、方程式はポテンシャルエネルギーと電位に適用されます

${displaystyle e_ {mathrm {pot}} = qcdot phi（{vec {r}}）、}$

。

一般的な意味では、上記の方程式からベクトル場を導出できる他のスカラーフィールドもポテンシャルと呼ばれます。

中心的な可能性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

aの下 中心的な可能性 遠くからのみの可能性を理解しています

${displaystyle vert {vec {r}} vert}$

パワーセンターに依存します。で適用されます

${displaystyle vert {vec {r}} _ {1} vert = vert {vec {r}} _ {2} vert}$

また

${displaystyle v（{guth {r_ {1}}}）= v（{gunt {r_ {2}}}}}$

。中心的なポテンシャルの動きは、保守的な中央部隊の影響を受けます。

サインに [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

方程式のマイナス符号

${displaystyle {thing {f}}（{thing {r}}）= -k、{thing {nabla}} phi（{thing {r}}}）quad {bzw. bla}} phi（{thing {r}}}}}}}}}$

保守的な力が1つにあることを表現します ポジティブ 充電

${displaystyle k}$

（正の電荷

${displaystyle q}$

または質量

${displaystyle m}$

） – 最小の強制の原理に従って – 常にポテンシャルエネルギーを減らす方向、つまり勾配の方向

${displaystyle {thing {nabla}} phi（{thing {r}}}}$

または最大エネルギーの増加。潜在的な山の鮮やかな絵、深刻な加速と電界強度（隣接する図を参照）常に「下り坂」。

ただし、電界の場合、負の中心とテストの負荷も考えられるという事実により、状況は再び複雑になる可能性があります。したがって、負の試行負荷が発生したときに取得します

${displaystyle -q}$

負の中央電荷

${displaystyle -q}$

裁判費用のポテンシャルエネルギーにアプローチしますが

${displaystyle -q}$

フィールドラインのフィールド、つまりの方向に移動しました 落下 電位。パラドックスは、2つの負のサイズの積が再び正のサイズになることを考慮するとすぐに溶解します。隣接する図は、電界の4つの考えられる兆候の星座のポテンシャルエネルギーと電気の電位との関係を要約しています。ご覧のとおり、ポテンシャルエネルギーは常に両方の負荷の兆候に依存しますが、一方、潜在的なコースは、中央負荷の兆候のみにのみ依存します。

これらの方程式の具体的なアプリケーションの例は、この接続の含有量をやや明確に示しています。地球の座標系の正の方向は常に垂直に指さし、体をより高くするために、より多くのポテンシャルエネルギーまたはより高いポテンシャルを与えるため、このポテンシャルは高さです

${displaystyle h}$

で地面に

${displaystyle g}$

地球加速の量として概算

${displaystyle phi（h）= gcdot h}$

。

地球の重い畑の深刻な可能性をほぼ同じように見ると 中心的な可能性 （上記を参照）、つまり、地面の中心までの距離から

${displaystyle r}$

または高さから

${displaystyle h}$

の勾配に依存します

${displaystyle phi（h）}$

微分指数

${displaystyle mypr {d} phi（h） / matrm {d} h} h}$

削減すると、上記の方程式に相当するものとして関係が得られます。

${display style {vec {and} (h) = {mihrm {d} ior}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

と

${displaystyle {vec {g}} = -g {vec {e}} _ {r}}$

マイナスの兆候からわかるように、座標系の正の方向の深刻な方向の方向はほぼ反対です。つまり、地球の中心に向かって予想されるとおりです。この場合、重度のポテンシャルから計算された加速は、地球加速とまったく同じです。

位置エネルギー と 潜在的 その可能性が異なります エネルギー たとえば、重力場の質量と電界の負荷を指し、この質量または負荷のサイズに依存しますが、それは 潜在的 試験片の質量または負荷サイズに関係なく、電力場の特性について説明します。

潜在的 その一つです パワーフィールド 同等のフィールド表現。

上記のコンテキストにより、3次元の保守的な電力場は、フィールドに関する情報を失うことなく、スカラーフィールドの助けを借りてフィールドを提示することができます。これは、多くの法案の簡素化につながります。ただし、フィールドを引き起こす身体の結論はもはや明確ではありません。たとえば、均一なフルボールの外部重力ポテンシャルは、ポイント質量の可能性と同等です。

2つのサイズは、作業の概念に接続されています。

• エネルギー 物理的な観点から、身体が仕事をする能力は仕事をすることです。
• 潜在的 フィールドが体を完成させる能力を説明するのに役立ちます。

ポテンシャルエネルギー間の接続

${displaystyle in（{thing {r}}）}$

そして可能性

${displaystyle phi（{vec {r}}）}$

ケースです

${displaystyle v（{thing {r}}）= qcdot phi（{thing {r}}）quad {text {bzw.}}} quad v（{r}}}$

。

最初の式は電界を指します（充電

${displaystyle q}$

）、重力場の2番目（質量

${displaystyle m}$

）。

2つ以上のオブジェクトに異なるポテンシャルがある場合、ポテンシャルの違いまたは電位差について話します。したがって、潜在的な違いは、フィールドの強度の体に依存しない尺度であり、その中のオブジェクトの作業を説明します。等等領域（同じ電位の表面）に沿って潜在的な違いはありません。オブジェクト（ボディ、負荷）は、作業なしでこれらに沿って移動できます。静電気では、電位差は、2つの分離された負荷キャリア（異なる電位のオブジェクト）間の電圧として定義されます。

${displaystyle u = phi（{vec {r}} _ {1}） – phi（{vec {r}} _ {2}）}$

。

電位と荷重または質量密度の接続は、ポアソン方程式を介したクーロンと重力のために確立されます。静電気ではそうです

${displaystyle delta phi（{vec {r}}）= – {frac {rho（{vec {r}}）} {vaaresilon}}}}}}}$

、

一方、あなたは古典的な重力理論で形式です

${displaystyle delta phi（{vec {r}}）= 4pi gri（{vec {r}}）}$

所有。

上記で指定された方程式が静電気に適用されるように、

${displaystyle varepsilon}$

一定になります。
この要件が満たされていない場合、代わりに次の式で予想される必要があります。

${displaystyle {text {div}} left [varepsilon cdot {text {grad}} phi（{vec {r}}）右] = -rho（{vec {r}}}}}}$

ポアソン方程式を解くことは簡単な場合には比較的複雑であるため、ここには詳細な例を示す必要があります。これを行うために、理想化された天体は均一な密度の完璧なボールと考えています

${displaystyle rho}$

そして半径

${displaystyle r}$

。

外部ソリューション [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ボールの周りの外側の領域はそうです

${displaystyle r> r}$

${displaystyle rho = 0}$

、ポアソン方程式がラプラス方程式にマージされるように

${displaystyle delta phi（{vec {r}}）= 0}$

。

与えられた問題にはボールの対称性があるため、球状の座標で見ることでそれを簡素化できます。あなたがしなければならないのは、方程式で対応するラプラス演算子を使用することです。これには形があります

${displaystyle delta phi（{vec {r}}）= {frac {1} {r^{2}}} {frac {partial} {partial r}}左（r^{2} {frac {frac {vec {r}}} {vec {r}}}} {vec {r}}） r ^{2} sin theta}} {frac {partial} {partial theta}}左（sin theta {frac {frac {{vec {r}}} {partial theta}} {right）+{frac {1}} {r ^{2} sin ^{2} sin ^{2} sin ^{2} {2} sin ^{2} sin ^{2} {2} phi（{vec {r}}）} {partial varphi ^{2}} = 0}$

。

明らかに、フィールドは角度から降りることはできません

${displaystyle theta、varphi}$

ボールが対称的であるため、依存します。つまり、の派生物があります

${displaystyle phi（{vec {r}}）}$

角度座標が消え、放射状部分のみが残った後。

${displaystyle delta phi（{vec {r}}）= {frac {1} {r^{2}}} {frac {partial} {partial r}}左（r^{2} {frac {frac {vec {r}}} {} {} {}}}}}}}}}}$

、

それは二国間を乗算することによってです

${displaystyle r^{2}}$

さらに簡素化されました。

Rが提供する統合

${displaystyle int {frac {partial} {partial r}}左（r^{2} {frac {partial phi（{vec {r}}）} {partial r}} {partial r}} {d} r = int 0、mathrm {d} r}$

${displaystyle r^{2} {frac {partial phi（{vec {r}}）} {partial r}} = alpha}$

、

したがって

${displaystyle alpha}$

統合定数です。 Rが提供するさらなる統合

${displaystyle int {frac {partial phi（{vec {r}}）} {partial r}} mathrm {d} r = int {frac {alpha} {r^{2}}} mathrm {d} r}}} mathrm {d} r}}$

${displaystyle phi（{vec {r}}）= – {frac {alpha} {r}}+beta = {frac {tilde {alpha}} {r}}+beta}$

、

したがって

${displaystyle {tilde {alpha}} = -alpha}$

、マイナスサインが消えるように

${displaystyleベータ}$

別の統合定数は次のとおりです。

ポテンシャルは無限の距離でゼロになるはずなので、

${displaystyle beta = 0}$

なれ。したがって、最初のソリューションが最初に適用されます

${displaystyle phi（{vec {r}}）= {frac {tilde {alpha}} {r}}}$

。

ただし、定数を計算するには、最初に内部の解を決定する必要があります。

内部解決策 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ボールの中はです

${displaystyle r$

と

${displaystyle rho（{vec {r}}）= rho}$

、ポアソン方程式が適用されるように

${displaystyle delta phi（{vec {r}}）= 4pi gri}$

。

${displaystyle {frac {partial} {partial r}}左（r^{2} {frac {partial phi（{vec {r}}）} {partial r}} {partial r^{2}}} {partial R}}$

。

Rによる2回の統合は、以前と同じ方法で配信されます

${displaystyle phi（{vec {r}}）= {frac {2} {3}} pi gri r^{2} – {frac {a}}}}}+b}$

、

ここで

${displaystyle a}$

と

${displaystyle b}$

再び積分定数です。ボールの中心にある可能性があるため（

${displaystyle r = 0}$

）有限値

${displaystyle phi _ {0}}$

受け入れるべきです

${displaystyle a = 0}$

なれ。それ以外の場合、ポテンシャルは無限に大きくなります。だから私たちは持っています

${displaystyle phi（0）= phi _ {0} = b}$

。

したがって

${displaystyle phi（{vec {r}}）= {frac {2} {3}} pi grho r^{2}+phi _ {0}}}$

。

定数の決定 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

最初に区別します

${displaystyle phi _ {a}（{vec {r}}）= {frac {tilde {alpha}} {r}}}}$

外部ソリューション用

${displaystyle phi _ {i}（{vec {r}}）= {frac {2} {3}} pi gri r^{2}+phi _ {0}}}}}$

内側の解決策。ボールの端で、内側の潜在性は外部に滑らかにする必要があります。これは、最初の派生物を意味します

${displaystyle r = r}$

一致する必要があります。

${displaystyle左。{frac {mathrm {d} phi _ {a}（{vec {r}}）} {mathrm {d} r}}右| _ {r = r} =左。 r}}右| _ {r = r}}$

${displaystyle -{frac {tilde {alpha}} {r^{2}}} = {frac {4} {3}} pi grho r = {gm} {r^{2}}}}}}}}$

、

ここでは、質量が体積と密度の産物であり、

${displaystyle m = vrho = {frac {4} {3}} pi r^{3} rho}$

。

これはこれに起因します

${displaystyle {tilde {alpha}} = -gm}$

、

よく知られている外部ソリューション

${displaystyle phi _ {a}（{vec {r}}）= – {frac {gm} {r}}}}}$

結果。内的解の定数を決定するために、ポテンシャルが安定している必要があるという事実を使用します。

${displaystyle r = r}$

したがって、同一でなければなりません。つまり、適用されます。

${displaystyle phi _ {a}（{vec {r}}）= phi _ {i}（{vec {r}}）}$

${displaystyle -{frac {gm} {r}} = {frac {2}}}}} pi gri r^{2}+non -_ {0}}}}}$

。

したがって

${displaystyle phi _ {0} = – {frac {3gm} {2r}}}}}$

。

これにより、最終的に内部の解が行われます

${displaystyle phi _ {i}（{vec {r}}）= {frac {2} {3}} pi grho r^{2}+phi _ {0} = {frac {gm} {2r^{3}}}} {2} {2} {2} {2} {3g} {3g} {3g} ac {gm} {2r}}左（{frac {r^{2}} {r^{2}}} – 3right）}$

、

最初の要約は、ボリュームを介して書き直されました。

内側の溶液は、調和のとれた発振器のポテンシャルに対応します。これは、均質な天体（月または小さな惑星）に穴を開けて、中心を前後に揺れる（落ちる）物を持っていた場合を意味します。摩擦のない動きの仮定により、体の身体機能は

${displaystyle r（t）= rcdot cos left（{sqrt {frac {gm} {r^{3}}}} cdot tright）。}}$

中空のボールの重力 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

中空のボールの内部にある状況が今、私たちのソリューションから直接的になることができます

${displaystyle rho = 0}$

読み取ります。一般的に私たちは持っていました

${displaystyle phi（{vec {r}}）= {frac {tilde {alpha}} {r}}+beta}$

、

私たちは今ボールの中にいるので、私たちは無限に出ることができません。つまり、事前にそれを意味します

${displaystyleベータ}$

消えました。ただし、焦点の焦点は再び有限の値にある必要がありますので、今回は

${displaystyle {tilde {alpha}} = 0}$

なります。その後、可能性があります

${displaystyle phi（{vec {r}}）= beta}$

、

とても一定です。半径に応じたポテンシャルの導出は加速をもたらしますが、定数の導出はゼロです。あなたは重量の中空のボールの内側にいます。これは、壁の反対側の粒子が重力をキャンセルするという事実によって理解されるべきです。それが完璧なボールでなければ、これは事実ではなく、小さな加速を経験します。

1. ↑ Bergmann-Schaefer： 実験物理学の教科書 、バンド1、 限られたプレビュー Google Book検索で。
2. ↑ デビッド・ハリデー、ロバート・レストニック： 物理学、パート2 。 Walter the Gruryter、1994、ISBN 3-11-013897-2、 S. 869 （ 限られたプレビュー Google Book検索で）。