おめでとう画像 – ウィキペディア

aの下 合同マッピング （から ラテン マッチング 「一貫した、フィッティング」 ）基本的なジオメトリ、合成ジオメトリ、および絶対ジオメトリでは、幾何学的な図は幾何学的な図の形状とサイズ、つまり各図が合同で表示されます。特に、一致のイラストは、任意の2つのポイント間の距離を変更せずに残します（不変）。 「一致画像」と「動き」という用語は、ユークリッドの幾何学にとって同義です。 レベル 動きは「一致画像」と呼ばれます。絶対ジオメトリにおける用語のより一般的な意味は、この記事の合成および絶対ジオメトリのセクションで指摘されています。

描画レベル、つまりユークリッドレベルの概要画像は、このキャラクターレベルの生物的イラストであり、常に軸ミラーリングの行（チェーン、構成）で構成できます。

1つは区別します 実際 と 言い表せない おめでとう画像。 実際 一致のイラストは、彼らが通り抜けるという事実によって優れています まっすぐな数の軸ミラーのチェーン で表現することができます 言い表せない これのための一致イラスト 奇数 必要です。最大3つの鎖軸ミラーを持つ表現が常に可能であることが証明されています。一致フォームに固定点がある場合、チェーン（せいぜい）2つの軸ミラーリングによって既に表示できます ^[初め] 。

おめでとう画像はまっすぐ、長さ、角張った信仰です。したがって、それらは直線で直線を形成し、ルートの長さと角度のサイズを変更せずに残します。また、それらは生物、つまり可逆的であり、それらの反転画像は常に一致画像です。

一致イラストのレベルの量は、

代数的観点から、キャラクターレベルの合同画像はグループを形成します。
おめでとう画像は特別な類似性の画像であり、さらに一般的なものです。

分析ジオメトリ（レベル）の合同画像は、マトリックスの助けを借りて説明され、ユークリッドグループになります

${displaystyle {rm {e（2）}}}$

out。

一般的なケース [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

2つの与えられた、合同の三角形

${displaystyle a_ {0} b_ {0} c_ {0}}$

と

${displaystyle a_ {2} b_ {2} c_ {2}}$

（ポイントは一致しています

${displaystyle a_ {0}}$

ポイント

${displaystyle a_ {2}}$

割り当てなど）明確に決定された一致イメージはいつでも構築できます。右側の図を比較します。2つの三角形が示されており、その重要なポイントは赤または緑の距離で接続されています。

1. 中間犯罪を構築します
   ${displaystyle a_ {1}}$

   道

   ${displaystyle a_ {0} a_ {2}}$

   。

2. のミラーポイントを作成します
   ${displaystyle b_ {0}}$

   と

   ${displaystyle c_ {0}}$

   （

   ${displaystyle b_ {1}}$

   また。

   ${displaystyle c_ {1}}$

   ）反射で

   ${displaystyle sigma _ {1}}$

   軸上

   ${displaystyle a_ {1}}$

   。特別な場合

   ${displaystyle a_ {0} = a_ {2}}$

   最初の2つのステップが削除された場合、あなたは設定します

   ${displaystyle b_ {1} = b_ {0}}$

   と

   ${displaystyle c_ {1} = c_ {0}}$

   。

3. 中間犯罪を構築します
   ${displaystyle a_ {2}}$

   道

   ${displaystyle b_ {1} b_ {2}}$

   。三角形以来

   ${displaystyle a_ {0} b_ {0} c_ {0}}$

   建設後の一致

   ${displaystyle a_ {2} b_ {1} c_ {1}}$

   そして、要件の後にも

   ${displaystyle a_ {2} b_ {2} c_ {2}}$

   ルートです

   ${displaystyle a_ {2} b_ {1}}$

   と

   ${displaystyle a_ {2} b_ {2}}$

   同じ長さ、三角形

   ${displaystyle a_ {2} b_ {1} b_ {2}}$

   したがって、同等です

   ${displaystyle a_ {2}}$

   通り抜けます

   ${displaystyle a_ {2}}$

   。

4. ミラーポイントを作成します
   ${displaystyle c_ {1} ‘}$

   から

   ${displaystyle c_ {1}}$

   反射に関しては

   ${displaystyle sigma _ {2}}$

   an

   ${displaystyle a_ {2}}$

   。特別な場合

   ${displaystyle b_ {1} = b_ {2}}$

   つまり、3番目と4番目のステップが省略され、設定されています

   ${displaystyle c_ {1} ‘= c_ {1}}$

   。

5. 現在、2つのケースが発生する可能性があります：それはすでに適用されています
   ${displaystyle c_ {1} ‘= c_ {2}}$

   示されている例のように、一致画像は、言及された軸ミラーの構成によって表すことができます。または、接続線にまだ反映する必要があります。

   ${displaystyle a_ {2} b_ {2}}$

   要件の後に実行します

   ${displaystyle c_ {1} ‘}$

   の上

   ${displaystyle c_ {2}}$

   反映します。 （ここでは、SSS Consibruerineセットがフォームで使用されます：2つの異なるポイントです

   ${displaystyle a}$

   と

   ${displaystyle b}$

   レベルを指定した後、せいぜい2つのポイントがあります

   ${displaystyle c}$

   、ルートの長さになるように

   ${displaystyle {overline {ac}} = b}$

   と

   ${displaystyle {overline {bc}} = a}$

   固定番号付き

   ${displaystyle a、b}$

   満たす。 2つのポイントがあります

   ${displaystyle c、c ‘}$

   これらのプロパティを使用すると、三角形が進みます

   ${displaystyle abc}$

   接続ラインの軸ミラーリングのため

   ${displaystyle ab}$

   三角形で

   ${displaystyle abc ‘}$

   その上。）

2番目と4番目に言及されている2つの特別なケース、つまりその場合の別として、

${displaystyle sigma _ {1}、sigma _ {2}}$

2つの異なる軸ミラーであり、次のケースの違いは興味深いものです。

1. 反射の2つの軸が1つのポイントにカットされています
   ${displaystyle with}$

   、イラストはです

   ${displaystyle sigma _ {2} circ sigma _ {1}}$

   周りの回転

   ${displaystyle with}$

   そして、回転角は方向の角度の2倍の大きさです

   ${displaystyle alpha =$

   2つの車軸の間。方向の角度

   ${displaystyle alpha}$

   2つの回転の1つです

   ${displaystyle with}$

   、

   ${displaystyle a_ {1}}$

   の上

   ${displaystyle a_ {2}}$

   あなたが選んだ回転のどれが無関心であるかを想像してください。

2. 2つの軸が平行な場合、イラストは
   ${displaystyle sigma _ {2} circ sigma _ {1}}$

   シフトベクトルの周りのシフト。その長さは2つの軸間の距離の2倍であり、軸への垂直シフトと同じ方向を持っています

   ${displaystyle {thing {v}}}$

   、

   ${displaystyle a_ {1}}$

   の上

   ${displaystyle a_ {2}}$

   シフト、右側の図を比較してください：明らかに適用されます

   ${displaystyle {overrightArrow {a_ {0} a_ {1}}}/2+ {overrightArrow {a_ {1} a_ {2}}}}}}/2 = {vec {v}}}}}$

   。

さらに、設計テキストは、3つの選択された元の位置が共通のストレートにない場合、2つのレベルの合同の合同図が3つのポイントオブポイントペアによって明確に定義されることを示しています。言い換えれば、一致イラストのグループは、三角形のすべての合同クラス（秩序あるポイントトリプルとして理解）で鋭く推移的に動作するだけです。これは、三角形の合同がセットされたコンテンツのコンテンツです。

ラップと反射 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

与えられた2つ、 反対 合同の三角形

${displaystyle a_ {0} b_ {0} c_ {0}}$

と

${displaystyle a_ {2} b_ {2} c_ {2}}$

（ポイントは一致しています

${displaystyle a_ {0}}$

ポイント

${displaystyle a_ {2}}$

割り当てなど）は、リフレクションによっていつでも互いにマッピングできます。右側の図を比較してください。

1. 三角形を表示します
   ${displaystyle a_ {0} b_ {0} c_ {0}}$

   （赤）それを通して

   ${displaystyle {overrightArrow {a_ {0} a_ {2}}}}}$

   （同様に一致する）三角形への定義されたシフト

   ${displaystyle a_ {2} b_ {1} c_ {1}}$

   。特別な場合

   ${displaystyle a_ {0} = a_ {2}}$

   このシフトは同一の図です。

2. ルートの正午を構築します
   ${displaystyle b_ {1} b_ {2}}$

   （緑）。一般的な構造の3番目のステップと同様に、これらの中央センセーターも通過することがわかります

   ${displaystyle a_ {2}}$

   行かなければならない。

3. 三角形を振りかけます
   ${displaystyle a_ {2} b_ {1} c_ {1}}$

   2番目のステップからの中央のセンシ族の群衆の中で、これは三角形になります

   ${displaystyle a_ {2} b_ {2} c_ {1} ‘}$

   。一致セットSSS（一般構築の5番目のステップで上記を参照）と、指定された三角形が反対であるという前提条件から、

   ${displaystyle c_ {1} ‘= c_ {2}}$

   。特別な場合

   ${displaystyle b_ {1} = b_ {2}}$

   IS、2番目のステップは省略され、3番目のステップでは接続ストレートにあります

   ${displaystyle a_ {2} b_ {2}}$

   ミラーリング。それでそれ

   ${displaystyle c_ {1}}$

   の上

   ${displaystyle c_ {2}}$

   この特別なケースでは、一般的に中央の群衆のミラーリングと同じ理由で示されています。

このデザインテキストから次のようになります。

• 反対の三角形の2つは、常にスライド反射によって反射できます。

• シフトは確かに同じイラストであるため、一致していないいくつかの割り当てられた礎石がレベル自体のポイントを割り当てる場合、イラストは純粋な反射です。
• 割り当てられたポイント間のルートの1つの場合
  ${displaystyle a_ {0} a_ {2}}$

  、

  ${displaystyle b_ {0} b_ {2}}$

  、

  ${displaystyle c_ {0} c_ {2}}$

  3つのルートすべての長さ0または中央のマンニーは崩壊し、スライド反射は純粋な反射です。

• 2つの三角形が反対で、それ自体に割り当てられた少なくとも1つのコーナーポイントで同意する場合、彼らは2つのそのようなキーポイントまたは割り当てられたポイント間の他の2つのルートの中央に敏感であることに同意します。これは、合同レートSSSの上記の定式化の一般化です。

一般的な建設テキストと一緒に、次のようなものがあります。

• 非同一の回転は、2つの異なる軸ミラーの組成として常に表示できます。これらの軸ミラーは一般に回転によってはっきりと決定されませんが、その車軸は常に回転の中心と軸間の角度で自分自身を切断します。上記の関係は回転の角度に適用されます。
• 任意の順序での回転と軸をミラーリングする軸の連続は、常にスライド反射です。

さらに、以下が適用されます。

• シフトの連続と任意の順序での非同一の回転は、回転です。
• 一般に、スライドミラー – ベクトルによってシフトされた
  ${displaystyle {thing {v}}}$

  そして、ミラーは軸を反映します

  ${displaystyle a}$

  – aに その他 2つの合同画像の順序を交換したときに明らかにします。

分析ジオメトリの観点からの用語に違いはありません 合同マッピング と 動き 。ただし、基本的な幾何学では、通常、ユークリダルの動きは1つだけです レベル 合同マッピング 、したがって、2次元の場合の動きのみ。

学校数学 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

学校の数学は、最初はキャラクターレベルから始まります。 ^[3] 「一致」という用語は、単純な図（三角形、正方形、円など）に対して具体的になっています。

• 半透明の紙またはホイルに理想的に描かれた数字を切り取り、両方とも「カバーする」と他の人物に置くことができるので、2つの数字は「一致」です。
• 同じ「テンプレート」で2つの一致する数字を描くことができます。

これに基づいて、後に「時々」「カットアウトせずにキャラクターの一致を見ることができる」という経験がなされます。

1. 時々、紙を切り取ることなく、同じ半透明の葉に描かれた2つの数字を持参できます。 foldを折り畳んで軸ミラーリングを設計することができます 概要 。
2. 実際にフィギュアを切り取って「邪魔されない」ものを切り取る代わりに、シフトは、図の礎石の平行した等しく長い矢印で移動することができます 概要 代表する。
3. 同様に、針で1つの内側のポイントでピン留めされるカット図の実際の物理的な回転を持つこともできます。 概要 礎石の動きの円でそれらを表現します。

これらの3つの描画抽象化とその組み合わせは、それらを切り取って横にすることにより、すべての「実験的な」一致の証拠に置き換えることができるという事実は、直感的にキャプチャする必要があります。 （数学的に言えば、合同画像のグループが軸ミラー、シフト、回転によって生成されること。） 証明されています 一方、すべてのシフトと回転を2つの適切な軸ミラーに置き換えることができるようになります。

学校数学で発生する問題の例は、幾何学的オブジェクトの「平等」と「一致」の間の境界です。直感的で口語的には、2つの等しい長さ、つまり。 一致 「同じ」と見なされ、呼ばれるルート。少なくともその間に学生のプレゼンテーション Gleichsinniger 数字のカバレッジとアイデンティティは、教訓的な問題であることを区別すべきではありません。

いくつかの問題は、「本当の控除」、つまり「本当の控除」の証拠であるという事実によって打ち消すことができます。これは、問題のために一致する数字が同一ではないか、一致したポイントの順序が合同で重要であるためです。

合成および絶対ジオメトリ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

合成ジオメトリにおけるユークリッドレベルの公理構造を構築し、絶対的なジオメトリを構築する場合、「一致イラスト」と「レベルの動き」という用語は、異なる演ductive的アプローチの一部です。

1. 一致画像の合同から ：あなたは説明します 一致 基本概念としての公理的。ヒルバートのユークリッド幾何学の公理系では、これは、ルートの量とレベルの角度に関する2つの等価比（グループIII、一致の公理）によって実現されます。次に、一致イラストは、各合同クラスが示されているレベルの生物的自己基準です。 ^[4]
2. 反射または運動グループの概念から一致するまで ：レベルに公理的に定義された直交関係を装備します。これにより、垂直軸ミラーリングの定義が可能になります。前neulidレベルも参照してください。一 動き レベルは、最終的に多くのそのような軸ミラーの構成として表現できるすべてのイラストです。絶対ジオメトリでも使用される別の関連するアプローチは、運動グループ自体の特性を把握します。 ^[5] 両方のアプローチで ムーブメントグループ 基本的および一致して、それから派生した用語。 2つの数値は、同じ鉄道操作に属している場合に一致します。この鉄道操作では、運動グループがレベルのすべてのサブ量（効力量）の量で動作します。 ^[6]

ドイツの学校の幾何学は、通常、ヒルベルトへの演ductive的なアプローチに基づいており、そこでは一致が基本的な概念です。その後、1つだけのレベルについて話します おめでとうイラスト と用語 動き まったく場合、3次元のジオメトリでのみ発生します。

• H. S. M. Coxeter： 不滅の幾何学 。 BirkhäuserVerlag、Basel / Stuttgart 1963（J。J. Burckhardtによるドイツ語に翻訳）。
• Hans Schupp： ElementArgeometrie 。 Schöningh、Hannover 1977、ISBN 3-506-99189-2。

学校数学の一致：

• マリアンヌ・フランケ： ジオメトリの教訓 。 ed。：Friedhelm Padberg。抑制版。 Spectrum、Akademischer Verlag、Heidelberg/Berlin 2000、ISBN 3-8274-0994-2。

合成ジオメトリ：

ジオメトリの演ductive的な構造に加えて、次の本は、高校の幾何学の教訓学のアプリケーションの情報も提供します。

• ウェンデリン・デジェン、ロサール・プロフェ： アフィンとユークリダルジオメトリの基本 。 Teubner、Stuttgart 1976、ISBN 3-519-02751-8。
• GünterPickert： 高校のレッスンにおける演ductive的な幾何学 。の： 数学学期のレポート 。 バンド バツ 。スプリンガー、1964年 S. 202–223 。
• Lothar Profke： アフィーンからユークリッドの幾何学まで、直交関係の助けを借りて 。の： 数学レッスン22：4（Axiomatics Affiner and Euclideanレベル）、36-86 。フリードリッヒ、ハノーバー1976、 S. 36–86 。

1. ↑ H. S. M. Coxeter： 不滅の幾何学 。 BirkhäuserVerlag、バーゼル /シュトゥットガルト1963、 S. 60–61 （J. J. Burckhardtによるドイツ語に翻訳）。
2. ↑ 記事3-シーターを比較してください！
3. ↑ フランク（2000）
4. ↑ デビッド・ヒルバート： ジオメトリの基本 。新版。 Teubner、Stuttgart 1999、ISBN 3-519-00237-X（ archive.org – 初版：1903）。
5. ↑ Benno Clotzek： ユークリダルおよび非タックス不可能な基本幾何学 。第1版。 Harri German、Frankfurt Am Main 2001、ISBN 3-8171-1583-0、1.3.1。
6. ↑ Bachmann（1974）およびProfke（1976）