線形化 – ウィキペディア

Posted on October 10, 2023 by lordneo

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の中に 線形化 非線形関数または非線形微分方程式は、線形関数または線形微分方程式によって近似されます。線形関数または線形微分方程式を簡単に計算できるため、線形化が使用され、理論は非線形システムの拡張よりも広範囲に及ぶためです。

接線と

{displaystyle f（x）= sin（x）}

線形化の最も単純なプロセスは、グラフに接線を描くことです。その後、接線のパラメーターを読み取り、結果として生じる線形関数（直線のスコア）を読み取ることができます）

{displaystyle y_ {t} = f（x_ {0}）+{frac {mathrm {d} f} {mathrm {d} x}} {bigg |} _ {x_ {0}} cdot（x-x_ {0}}}} _ {x_ {0}}

ポイント周辺の元の関数

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{displaystyle x_ {0}}

$x_{0}$ 。ある

{displaystyle {tfrac {mathrm {d} f} {mathrm {d} x}} {bigg |} _ {x_ {0}}}}

${displaystyle {tfrac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}{bigg |}_{x_{0}}}$ ポイントでの登山

{displaystyle x_ {0}}

$x_{0}$ 。

関数が分析形式の場合、接線の方程式を直接指定できます。

近似の相対誤差はです

{displaystyle f（x）= {bigg |} {frac {f（x）-y_ {t}（x）} {f（x）}} {bigg |}}}

関数用

{displaystyle f（x）= sin（x）}

${displaystyle f(x)=sin(x)}$ たとえば、適用します：

{displaystyle y（x）= sin（x_ {0}）+cos（x_ {0}）cdot（x-x_ {0}）}

接線の決定は、近似する関数のテイラー多項式の線形肢の決定に対応します。

アプリケーションは、線形システムによる非線形システムの近似のために、電気工学および制御技術で使用されます。

ネットワーク分析の結果は、方程式の非線形システムである可能性があります。これは、特定の条件下で方程式の線形システムに変換できます。唯一ではありませんが、線形化の最も単純な方法は、1つの作業ポイントの線形化です（略して「AP」の場合）。これのみを次のセクションで説明します。

乗算の線形化 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

信号流体計画では、複雑なシステムは、数学モデルを定性的に視覚化するのに役立つブロック画像で表すことができます。

この信号流体計画に乗算ポイントがある場合、線形化により添加点に変換できます。

以下では、参照してください

{displaystyle y}

$y$ 2つの数字の積

{displaystyle x_ {1}}

$x_{1}$ と

{displaystyle x_ {2}}

$x_{2}$ ：

{displaystyle y = x_ {1} cdot x_ {2}}

ワーキングポイントでは、乗算を線形化できます

{displaystyle x_ {1}}

$x_{1}$ 職場と違いの合計として

{displaystyle delta x_ {1} = x_ {1} -x_ {1、{text {ap}}}}}}

${displaystyle Delta x_{1}=x_{1}-x_{1,{text{AP}}}}$ 書く：

{displaystyle y =（x_ {1、{text {ap}}}+delta x_ {1}）cdot（x_ {2、{text {ap}}}+delta x_ {2}）}

分配法に従ってこの製品を拡張できます。合計結果：

{displaystyle y = x_ {1、{text {ap}}} cdot x_ {2、{text {ap}}}+x_ {1、{text {ap}}} cdot delta x_ {2}+x_ {2、{text {ap}} {{ap}} {delta x_ {1} {1} {{1} {1} {1} x_ {2}}

私たちは今、作業ポイントからの逸脱の比率を想定しています

{displaystyle delta x_ {i}}

$Delta x_{i}$ そして、作業ポイント自体は小さいです：

{displaystyle {frac {delta x_ {i}} {x_ {i、{text {ap}}}}}} ll x_ {i、{text {ap}}}}}}}

${displaystyle {frac {Delta x_{i}}{x_{i,{text{AP}}}}}ll x_{i,{text{AP}}}}$ したがって、製品も製品です

{displaystyle e_ {y} = delta x_ {1} cdot delta x_ {2}}

${displaystyle e_{y}=Delta x_{1}cdot Delta x_{2}}$ 小さいです。 線形化された乗算 だから読む：

{displaystyle yapprox x_ {1、{text {ap}}} cdot x_ {2、{text {ap}}}+x_ {1、{ap {ap}}}

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

番号を選択してください：

{displaystyle x_ {1} = 2 {、} 4; x_ {2} = 110rightArrow y = x_ {1} cdot x_ {2} = 264。}

さて、ジョブポイントがどのように選択されるかについて疑問が生じます。法案を簡素化するために、私たちは回ります

{displaystyle 2 {、} 4}

${displaystyle 2{,}4}$ の上

{displaystyle 2}

$2$ そしてオフと

{displaystyle110}

$110$ の上

{displaystyle100}

$100$ あちらへ：
だから選択してください：

{displaystyle x_ {1、{text {ap}}} = 2; x_ {2、{text {ap}}} = 100 rightarrow delta x_ {1} = 0 {、} 4; Delta X_ {2} = 10。}

${displaystyle x_{1,{text{AP}}}=2; x_{2,{text{AP}}}=100Rightarrow Delta x_{1}=0{,}4; Delta x_{2}=10.}$ したがって、線形積はそうです

{displaystyle rightArrow yapprox 2cdot 100+2cdot 10+100cdot 0 {、} 4 = 260}

エラーがあります

{displaystyle e_ {y} = 0 {、} 4cdot 10 = 4}

$e_y = 0{,}4 cdot 10 = 4$ 。

分割の線形化 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

信号流体計画に示されている分割の線形化

私たちは今、商を見ています

{displaystyle y}

$y$ 2つの数字

{displaystyle x_ {1}}

${displaystyle x_{1}}$ と

{displaystyle x_ {2}}

$x_{2}$ ：

{displaystyle y = {frac {x_ {1}} {x_ {2}}}}}}

乗算に似て、開発します

{displaystyle x_ {i} = x_ {i、{text {ap}}}+delta x_ {i}}

${displaystyle x_{i}=x_{i,{text{AP}}}+Delta x_{i}}$ 求人ポイントに

{displaystyle x_ {text {ap}}}

${displaystyle x_{text{AP}}}$ 。これにより、次のように商を書くことができます。

{displaystyle y = {frac {x_ {1、{text {ap}}}}+delta x_ {1}} {x_ {2、{text {ap}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

作業ポイントをクランプすると、分割が得られます。

{displayStyle y = {frac {x_ {1、{text {ap}}}} {x_ {2、{text {ap}}}}}} {1+ {frac {delta x_ {1}}} {x_ {{ap {{{{{1}}}}}} ta x_ {2}} {x_ {2、{text {ap}}}}}}}}}}}}}}}}

骨折のメーターと分母を線形化したいと考えています。これを行うには、幾何学的なシリーズを使用します。ゼロシーケンスの場合

{displaystyle q^{k}}

${displaystyle q^{k}}$ 該当する：

{displaystyle sum _ {k = 0}^{n} q^{k} = {frac {1-q^{n+1}} {1-q}}}}}

それに応じてここにあります

{displaystyle q = – {tfrac {delta x_ {2}} {x_ {2、{text {ap}}}}}}}

${displaystyle q=-{tfrac {Delta x_{2}}{x_{2,{text{AP}}}}}}$ と

{displaystyle vert qvert ll 1}

$vert q vert ll 1$ 選択する。

挿入は線形化を提供します

{displaystyle {frac {1} {1+ {frac {delta x_ {2}} {x_ {2、{text {ap}}}}}}}}} {delta x_ {2}}} {x_ {{ap}}}}}}}

同様に、上記の違反の分母は線形化できます。 線形分割 ：によって書くことができます：

{displaystyle yapprox {frac {x_ {1、{text {ap}}}} {x_ {2、{text {ap}}}}} cdot left（1+ {frac {delta x_ {1}}} {x_ {{ap {{ap {{{ap}}}}}} {{{ap}}}} }} {x_ {2、{text {ap}}}}}}}}

非線形微分方程式の線形化のよく知られている例は、振り子です。方程式は次のとおりです。

{displaystyle {ddot {y}}（t）+dcdot {dot {y}}（t）+omega ^{2}（y（t））= 0}

非線形部分はです

{displaystyle sin（y）}

${displaystyle sin(y)}$ 。これは小さな変動の仕事の1つになります

{displaystyle y_ {0}}

$y_{0}$ 近似：

{displaystyle sin（y）compx sin（y_ {0}）+cos（y_ {0}）cdot（y-y_ {0}）}

求人ポイントで

{displaystyle y_ {0} = 0}

$y_{0}=0$ 該当する：

{displaystyle without（y）約および}

{displaystyle {ddot {y}}（t）+dcdot {dot {y}}（t）+omega ^{2} cdot y（t）= 0}

これらの線形微分方程式は通常、解くのがはるかに簡単です。数学振り子の場合（選択

{displaystyled = 0}

${displaystyle D=0}$ ）単純な指数関数によって解決できます。これにより、非線形化されたものを分析的に解決できません。微分方程式の線形化に関する詳細については、状態空間プレゼンテーションに関する記事で説明します。

信号液計画としてのプレゼンテーション

特定の関数が必要です

{displaystyle f（x_ {1}、x_ {2}）}

${displaystyle f(x_{1},x_{2})}$ ある時点で

{displaystyle x_ {10}、x_ {20}}

${displaystyle x_{10},x_{20}}$ 線形化するには、テイラー式が使用されます。結果は、この点の接線レベルに対応します。

関数用

{displaystyle f（x_ {1}、x_ {2}）}

${displaystyle f(x_{1},x_{2})}$ ポイントの近くに適用されます

{displaystyle x_ {10}、x_ {20}}

${displaystyle x_{10},x_{20}}$ ：

{displaystyle y = underbrace {f（x_ {10}、x_ {20}）} _ {= {= {text {const。}}}+underbrace {frac {partial f（x_ {1}、x_ {2}）} {x_ {x_ {x_ {x} {x} {x_ {x} {x_ {x} {x_ {x} {x_ {x} {x_ {x} {x_ {x_ {x} {x_ {x} 20}} cdot（x_ {1} -x_ {10}）+{frac {partial f（x_ {1}、x_ {2}）} {bigg |} _ {{x_ {10}}}}} {bigg |} _ {{x_ {10} ta y}}

例：

{displaystyle f（x_ {1}、x_ {2}）= x_ {1} cdot x_ {2}}

接線レベルになります

{displaystyle y=underbrace {x_{10}cdot x_{20}} _{={text{const.}}}+underbrace {x_{20}cdot (x_{1}-x_{10})+x_{10}cdot (x_{2}-x_{20})} _{=Delta y}}

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