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数学では、さまざまな特別な機能があります dilogarithmus 専用。古典的なディロガリズムは、Polylogarithmの特別なケースです。
実際の軸上の古典的なディロガリズムの値。 (想像上の部分はゼロと同じです。)
クラシックディロガリズムは複雑な数値用です
と
強力シリーズで定義されています
-
。
分析的継続によって見つけることができます
続く:
-
。
(ここにパスに沿っている必要があります
統合するために。)
Bloch-wartner Dilogarithmの向けです
によって定義されます
-
。
彼は、明確で安定しています
。
彼は分析的です
、0と1で彼はタイプの特異点を持っています
。
Rogers Dilogarithmは次のように定義されています
-
ために
。
別の一般的な定義はです
-
。
これは、最初に言及されたものに依存します
-
一緒。
できます
(不安定な)全体に
続く
と
-
。
多分
1つ以上
定義された楕円曲線。 weierstraßefunctionを使用すると、グリッドで使用できます
でパラメーター化します
-
-
に対して
。
楕円形のディロガリズム
次に、次に定義されます
-
、
したがって
Bloch-Bartner Dilogarithmを示しました。
楕円形のディロガリズムは、の合理的な倍数を除いて正しい
値で
L機能。 [初め]
クラシックディロガリズム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
次の数字については
と
閉じた形式で表現します:
-
-
、
-
-
。
略語φでは、ゴールデンカットの数が表現されます。
6番目のユニットルート付き
そして、ギーズの定数
あなたも持っています
-
-
。
Bloch-Wigner-Dilogarithmus [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
これまでのところ、Bloch-Bartner Dilogarithmの値は数値的にのみ計算でき、Bloch-Bartner Dilogarithmの値の間にいくつかの代数的関係しかわかりません。ジョン・ミルナーによる推定は言います
:
- 支払い
ために
と
直線的に独立しています
。
Rogers-dilogarithmus [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
の値の間には多数の代数的アイデンティティがあります
合理的または代数的議論で。特別な価値の例は次のとおりです
-
。
6番目のユニットルート付き
そして、ギーズの定数
1つあります
-
-
バスラーの問題 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
1つのディロガリズムの価値の証拠は、SO -Caled Baselの問題で扱われます。この証拠は、次の方法で完了できます。
次の関数には、次の微分があります。
-
したがって、次の積分が適用されます。
-
Fubiniの文はこの接続を提供します。
-
上記の最後の2つの式を等しくすることにより、結果が取得されます。
-
上記の値は解決されています:
-
まさにこの値は、正方形の数字の掃除値の無限の合計でもあります。
-
この事実は、DilogarithmからMaclaurinシリーズから直接出現しています。
クラシックディロガリズム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
たとえば、古典的なdilogarithmは多数の機能方程式に十分です
-
-
-
-
-
-
。これも次のとおりです。
。
Bloch-Wigner-Dilogarithmus [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
Bloch-Bartner DilogarithmはIDを満たしています
-
および5期の関係
-
。
Rogers-dilogarithmus [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
Rogers Dilogarithmが関係を満たしています
-
アベルの機能方程式
-
。
ために
1つあります
-
および5期の関係
-
、
特にそうです
Blochグループの明確に定義された関数。
次の方程式が適用されます
と
例:
-
さらなる機能は、dilogarithmと統合できます。
aratanges hyperbolicus関数:
-
-
-
エリアニュースハイパーボリクス関数:
-
- したがって:
- それは次のとおりです:
-
-
- ↑ k 2 楕円曲線のl関数
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