dilogarithmus -wikipedia

数学では、さまざまな特別な機能があります dilogarithmus 専用。古典的なディロガリズムは、Polylogarithmの特別なケースです。

クラシックディロガリズムは複雑な数値用です

${displaystyle with}$

と

${展示| z | <1}$

強力シリーズで定義されています

$mm奴隷とセレル – ペイリー・ハイ・ハッピ）ママ）mötoommötoopmkome hym hym hork 22-2 2-4-2$

。

分析的継続によって見つけることができます

${displaystyle mathbb {c} setminus left [1、infty右]}$

続く：

${displaystyle operatorname {li} _ {2}（z）= – int _ {0}^{z} {frac {ln（1-t）} {t}}、mathrm {d} t}$

。

（ここにパスに沿っている必要があります

${displaystyle mathbb {c} setminus left [1、infty右]}$

統合するために。）

Bloch-wartner Dilogarithmの向けです

${displaystyle zin mathbb {c}}$

によって定義されます

${displaystyle operatorname {d} _ {2}（z）= operatorname {im}（operatorname {li} _ {2}（z））+arg（1-z）ln（| z |）}$

。

彼は、明確で安定しています

${displaystyle left [1、infty右]}$

。

彼は分析的です

${displaystyle mathbb {c} setminus left {0,1right}}$

、0と1で彼はタイプの特異点を持っています

${displaystyle rln（r）}$

。

Rogers Dilogarithmは次のように定義されています

${displaystyle l（x）= {frac {6} {pi ^{2}}}左（operatorname {li} _ {2}（x）+{frac {1} {2}} ln（x）ln（1-x）}}}$

ために

${displaystyle 0$

。

別の一般的な定義はです

${displaystyle r（x）= operatorname {li} _ {2}（x）+{frac {1} {2}} ln（x）ln（1-x） – {frac {pi ^{2}} {6}}}}}$

。

これは、最初に言及されたものに依存します

${displaystyle r（x）= {frac {pi ^{2}} {6}}（l（x）-1）}$

一緒。

できます

${displaystyle r}$

（不安定な）全体に

${displaystyle mathbb {r}}$

続く

${displaystyle r（1）= 0、r（0）= – {frac {pi ^{2}} {6}}}}$

と

${displaystyle r（x）= left {{begin {array} {ll} {ll} -r（1/x）＆{mbox {für}} x> 1 \ -r（x/（x-1））＆{mbox {für}} x <0end {array}}}}}$

。

多分

${displaystyle e}$

1つ以上

${displaystyle mathbb {q}}$

定義された楕円曲線。 weierstraßefunctionを使用すると、グリッドで使用できます

${displaystyle lambda =左{1、右}}}$

でパラメーター化します

${displaystyle mathbb {c} /lambda rightarrow e（mathbb {c}）}$

${displaystyleu}$

に対して

${displaystyle lambda mapsto（p（u）、p^{prime}（u））}$

。

楕円形のディロガリズム

${displaystyle d^{e} colon e（mathbb {c}）rightArrow mathbb {c}}$

次に、次に定義されます

${displaystyle d^{e}（p（u）、p^{prime}（u））= sum _ {n = -infty}^{infty} d_ {2}（e^{2pi i（ntau +u）}）}}$

、

したがって

${displaystyle d_ {2}}$

Bloch-Bartner Dilogarithmを示しました。

楕円形のディロガリズムは、の合理的な倍数を除いて正しい

${displaystylepi}$

値で

${displaystyle l（e、2）}$

L機能。 ^[初め]

クラシックディロガリズム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

次の数字については

${displaystyle with}$

と

${displaystyle operatorname {li} _ {2}（z）}$

閉じた形式で表現します：

${displaystyle operatorname {li} _ {2}（ – 1）= – {frac {{pi}^{2}} {12}}、qquad operatorname {li} _ {2}（0）= 0、}$

${displaystyle operatorname {li} _ {2} {biggl（} {frac {1} {2}} {biggr）} = {frac {{pi} ^{2}} {12}} – {frac {1} {2}} {2}} {2}} {2}} {2}}}} {2}（1）= {frac {{pi}^{2}} {6}}}}}$

、

${displaystyle operaatorname {li} _ {2}（-phi ^{ – 1}）= – {frac {pi} ^{2}}}}}}+{frac {1}}}}}}}}}} {2}}（Phi）、Qquad operator {} {{{2} {{{2}} {2}} ln ^{2}（phi）、}$

${displaystyle operatualName {li} _ {2}（phi ^{-2}）= {frac {pi} ^{2}}} {15}} – ln ^{2}（phi）、qquad operatorname {li}} _ {f}（phi ^{1}}}}}}}}}}}} {2}（phi）}$

。

略語φでは、ゴールデンカットの数が表現されます。

${displaystyle non- =（{sqrt {5}}+1）/2}$

6番目のユニットルート付き

${displaystyle omega = {frac {1} {2}}+{frac {sqrt {3}} {}}} i} i}$

そして、ギーズの定数

${displaystyle v_ {0} = 1 {、} 0149ldots}$

あなたも持っています

${Displaystyle operatorName {Li} _ {2} (omega) = {Frac {pi ^{2}}}}}}+V_ {0} i, qquad operatorName {Li} _ {2} (Omega ^{2}) =-{Fract {2} {3}} V_ {0} i,}$

${displaystyle operatorname {Li} _{2}(1+omega )={frac {pi ^{2}}{9}}+left({frac {2}{3}}V_{0}+{frac {1}{3}}ln(3)pi right)i,qquad operatorname {Li} _{2}left({frac {1}{1+omega }}right)={frac {5pi ^{2}}{72}}-{frac {1}{8}}ln(3)+left(-{frac {2}{3}}V_{0}+{frac {1}{12}}ln(3)pi right)i}$

。

Bloch-Wigner-Dilogarithmus [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

これまでのところ、Bloch-Bartner Dilogarithmの値は数値的にのみ計算でき、Bloch-Bartner Dilogarithmの値の間にいくつかの代数的関係しかわかりません。ジョン・ミルナーによる推定は言います

${displaystyle ngeq 3}$

：

支払い

${displaystyle d_ {2}（e^{2pi i {frac {j} {n}}}）}$

ために

${displaystyle 0$

と

${displaystyle operatorname {ggt}（j、n）= 1}$

直線的に独立しています

${displaystyle mathbb {q}}$

。

Rogers-dilogarithmus [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

の値の間には多数の代数的アイデンティティがあります

${displaystyle l}$

合理的または代数的議論で。特別な価値の例は次のとおりです

${l（0）= 0の表示スタイル、queft（{1 {{sql {{sql {{3} {1} {2} {{1} c {3} {5}}}}}$

。

6番目のユニットルート付き

${displaystyle omega = {frac {1} {2}}+{frac {sqrt {3}} {}}} i} i}$

そして、ギーズの定数

${displaystyle v_ {0} = 1,0149 …}$

1つあります

${displaystyle r（omega）= – {frac {pi ^{2}} {12}+v_ {0} i、qquad r（omega ^{2}）= – {frac {pi ^{2}} {6}}+let（{{2}}}}}}}}}}+ } {6}} ln（3）pi right）i、}$

${displaystyle r（1+omega）= left（{frac {2} {3} {3}} v_ {0}+{frac {1} {6}} ln（3）pi right）i、qquad reft（{frac {1} {1} {1+of {pi {pi {pi {pi} {pi {pi} {pi} } – {frac {1} {8}} ln（3）+{frac {1} {8}} ln ^{2}（3）+left（ – {frac {2} {3}} v_ {0}+{frac {1} {12}} {3）pi reag$

バスラーの問題 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

1つのディロガリズムの価値の証拠は、SO -Caled Baselの問題で扱われます。この証拠は、次の方法で完了できます。

次の関数には、次の微分があります。

${displaystyle {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}} {biggl [} 2operatorname {li} _ {2} {biggl（} {frac {x} {{sqrt {{sqrt {x^{2} +1}}}}}}}}}}} } {2}} operatorname {li} _ {2} {biggl（} {frac {{sqrt {x^{2} +1}} – 1} {{sqrt {x^{2} +1}}}}} {biggr）{biggr）{biggr）{biggr）{biggr） }（x）} {x {sqrt {x^{2} +1}}}}}}$

したがって、次の積分が適用されます。

${displaystyle int _ {0}^{infty} {frac {operatorname {arsinh}（x）} {x {sqrt {x^{2} +1}}}}、Mathrm {d} x = {biggl [} {{} {{} {} {{} {} {bigggl [} {bigggl [} {bigggl [} {biggl] } {{sqrt {x^{2} +1}}+1}} {biggr）} – {frac {1} {2}} operatorname {li} _ {2} {biggl（} {frac {{sqrt {x^{2} {2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2} {{2}） } +1}}+1}} {biggr）} {biggr]}} _ {x = 0}^{x = infty} = {frac {3} {2}}、{text {li}} _ {2}（1）}}}}}}}}}}}}}}}}$

Fubiniの文はこの接続を提供します。

${displaystyle int _ {0}^{infty} {frac {operatorname {arsinh}（x）} {x {sqrt {x^{2} +1}}}} mathrm {d} x = int _ {0} {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{」）） x^{2} y^{2}+x^{2} +1}}、mathrm {d} y、mathrm {d} x = int _ {0}^{1} int _ {0}^{infty} {frac {1}} {-x^{2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {d} x、mathrm {d} y = int _ {0}^{1} {frac {pi} {2 {sqrt {1-y^{2}}}}}}、mathrm {d} y = {frac {pi^{2}} {4}}}}}}$

上記の最後の2つの式を等しくすることにより、結果が取得されます。

${displaystyle {frac {3} {2}}、{text {li}} _ {2}（1）= {frac {pi ^{2}}}}}}}}}}}}}}}$

上記の値は解決されています：

${displaystyle {text {li}} _ {2}（1）= {frac {pi ^{2}}}}}}}}}$

まさにこの値は、正方形の数字の掃除値の無限の合計でもあります。

${displaystyle sum _ {n = 1}^{infty} {frac {1} {n^{2}}} = {frac {pi^{2}}}}}}}}}}}}}$

この事実は、DilogarithmからMaclaurinシリーズから直接出現しています。

クラシックディロガリズム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

たとえば、古典的なdilogarithmは多数の機能方程式に十分です

${displaystyle operaatorname {li} _ {2}（z）+operatorname {li} _ {2}（-z）= {frac {1} {2}} operacame {li} _ {2}（z^{2}）、}、}}$

${displaystyle operatorname {li} _ {2}（1-z）+operatorname {li} _ {2}左（1- {frac {1} {z}}右）= – {frac {ln ^{2}（z）} {2}}$

${displaystyle operaatorname {li} _ {2}（z）+operatorname {li} _ {2}（1-z）= {frac {pi}^{2}}}}}}} -Ln（z）cdot ln（1-z）、}}$

${displaystyle operaatorname {li} _ {2}（-z）-peratorname {li} _ {2}（1-z）+{frac {1}}}} operatorne {li} _ {2}（1-z^{2}）=-{pi {z {{2 、}$

${displaystyle operatorname {li} _ {2}（z）+operatorname {li} _ {2} left（{frac {1} {z}}右）= – {frac {pi ^{2}} {6}}} – {1} {2}}}}}}}}}}$

${displaystyle operatorname {li} _ {2}（z） – {frac {1} {4}} operatorname {li} _ {2}（z^{2}）= int _ {0}^{1} {frac {sidin} {arcsin}（x-x}（x-sin} {arcsin}） }}}、mathrm {d} x}$

。これも次のとおりです。

${displaystyle operatorname {li} _ {2}（1）= {frac {{pi}^{2}} {6}}}}}$

。

Bloch-Wigner-Dilogarithmus [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Bloch-Bartner DilogarithmはIDを満たしています

${displaystyle operatorname {d} _ {2}（z）= operatorname {d} _ {2}左（1- {frac {1} {z}}右）= operatorname {d} _ {2}左（{1} {1-z} {1-z} {d-z}} {1-z} {d-z} {d-z}} {1-z}} {frac {1} {z}} right）= – operatorname {d} _ {2}（1-z）= -operatorname {d} _ {2}左（{frac {z} {1-z}}右）}}$

および5期の関係

${displaystyle operatorname {d} _ {2}（x）+operatorname {d} _ {2}（y）+operatorname {d} _ {2} left（{frac {1-x} {1-xy}}右） {2}左（{frac {1-y} {1-xy}}右）= 0}$

。

Rogers-dilogarithmus [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Rogers Dilogarithmが関係を満たしています

${displaystyle l（x）+l（1- x）= 1}$

アベルの機能方程式

${l（x） + l（y）= l（^ ll {{1-xyc}}}}}}}}}}}の表示スタイル）}}$

。

ために

${displaystyle r}$

1つあります

${displaystyle r（x）+r（1-x）= – {frac {pi ^{2}} {6}}}}$

および5期の関係

${displaystyle r（x）-r（y）+rleft（{frac {y} {x}} right）-rleft（{frac {1-x^{-1}} {1-y^{-1}}}}+rleft（{frac {1-x} {1-y-y}}}}}$

、

特にそうです

${displaystyle r}$

Blochグループの明確に定義された関数。

次の方程式が適用されます

${displaystyle vnot = 0}$

と

${displaystyle {frac {uv-tw} {v}}> 0}$

${displaystyle {frac {ln（tx+u）} {vx+w}} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}} {} {frac {1} {v}}} {bigggr（} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v} {v}） n（vx+w） – {frac {1} {v}} operatorname {li} _ {2} {biggl（} -t {frac {vx+w} {uv-tw}} {biggr]} {biggr]}}}}$

例：

${displaystyle {begin {aligned} int _ {0}^{5} {frac {ln（x+2）} {3x+4}} mathrm {d} x＆= {biggl [} {frac {1} {3}}} ln {bigggl（} {} {} {} {} {} {3} {3}} （3x+4） – {frac {1} {3}} operatorname {li} _ {2} {biggl（} – {frac {3} {2}} x-2 {biggr）} {biggr]}}} _ {（x = 5）} – {biggl [} {} {} {} {} {} {} {} {3n} {frac {2} {3}} {biggr）} ln（3x+4） – {frac {1} {3}} operatorname {li} _ {2} {biggl（} – {frac {3} {2}} x-2 {biggr）} {{biggr）}}} ac {1} {3}} ln {biggl（} {frac {3} {2}} {biggr）} ln {biggl（} {frac {19} {4}} {biggr）} – {frac {1}} {3} {3}} {3}} {3}} {3}} {3}} {19} {2}} {biggr）}+{frac {1} {3}} operatorname {li} _ {2}（-2）\ end {aligned}}}}}$

さらなる機能は、dilogarithmと統合できます。

aratanges hyperbolicus関数：

${displaystyle {frac {operatorname {artanh}（x）} {x}} = {frac {mathrm {d}}} {biggl [} operatorname {li} _ {2}（x）-{{4} {1} {1} {1} {{4} {{4} {{4} {{4} {{4} {{4} {4} {{4} {4}） 2}（x^{2}）{biggr]}}$

${displaystyle {frac {operatorname {artanh}（x）} {x {sqrt {1-x^{2}}}}}}}}} = {d}} {mathrm {d} x}}} {{{} 2 operatoratoratorymaile {} {} 2operatoraturaturatureanme ac {x} {1+ {sqrt {1-x^{2}}}}} {biggr）} – {frac {1} {2}} operatorname {li} _ {2} {biggl（} {frac {1- {sqrt {1-x} {1-x^{1-x^{} {{1-x} {1-x^{2}}}}} {biggr）} {biggr]}}$

${displaystyle {frac {operatorname {artanh}（x）} {x（1-x^{2}）}} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}} {biggl [} {frac {1} {2} {2}}}}} {2}} {2}} {2}} } {frac {2x} {x+1}} {biggr）}+{frac {1} {2}} operatorname {artanh}（x）^{2} {biggr]}}}}$

エリアニュースハイパーボリクス関数：

${displaystyle {frac {operatorname {arsinh}（x）} {x}} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}} {biggl {} {} {frac {1} {2}} {bigl} {{2}} } {sqrt {x^{2} +1}} – x {bigr）}^{2} {bigr]}+{frac {1} {2}} operatorname {arsinh}（x）^{2} {biggr}}}}}}$

したがって：

${displaystyle int _{0}^{1/2}{frac {operatorname {arsinh} (x)}{x}}mathrm {d} x={frac {1}{2}}operatorname {Li} _{2}{biggl (}{frac {1}{2}}{sqrt {5}}-{frac {1}{2}}{biggr )}+{frac {1}{2}}operatorname {arsinh} {biggl (}{frac {1}{2}}{biggr )}^{2}={frac {pi ^{2}}{20}}}$

それは次のとおりです：

${displaystyle sum _ {k = 0}^{infty} {frac {（-1）^{k}（2k）！} {16^{k}（2k+1）^{2}（k！）^{2}}} = {frac {pi^{2}}}}}}}}$

${displaystyle {frac {operatorname {arsinh}（x）} {x {sqrt {x^{2} +1}}}}}} = {frac {d}} {mathrm {d} x}}} {{{} 2operatoryoname frac {x} {{sqrt {x^{2} +1}}+1}} {biggr）} – {frac {1} {2}} operatorname {li} _ {2} {biggl（} {frac {{sqrt {{x} {} {} {{} {} {} {{} {} {{} {{} {} {{} {{} {} {{} {{} {{} {} {{} {{} {} {} {{} {} {{} {} {{} {} {{} {} {{} {{} {} {x^{2} +1}}+1}} {biggr）} {biggr]}}$

${displaystyle {frac {operatorname {arsinh}（x）} {x（x^{2} +1）}} = {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}} {biggl [} operatorname {{} {{{{{{{{{{{{} {2ac {} {{} {{} {{} {{} {{} {{} {{} {{} {{} {{} {{} {{2ac） t {x^{2} +1}}} {biggr）} – {frac {1} {4}} operatorname {li} _ {2} {biggl（} {frac {x^{2}}} {x^{2} {biggr）{biggr）{biggr）{biggr）{biggr）{biggr）{biggr） }} {mathrm {d} x}} {biggl {} operatorname {li} _ {2} {bigl [} 1- {bigl（} {sqrt {x^{2} +1}} – x {x {bigr）}^{bigr] {ff} {1}} {bigr] { {li} _ {2} {bigl [} 1- {bigl（} {sqrt {x^{2} +1}} -x {bigr）}^{4} {bigr}}}}}}}$

1. ↑ k ₂ 楕円曲線のl関数