ユニットタリアンオペレーター – ウィキペディア

a ユニットタリアンオペレーター 数学の2つのヘルプルームの間の生物的線形演算子であり、スカラー積を受け取ります。したがって、ユニタリアンのオペレーターは特別な直交またはユニタリアンのイラストであり、常に順調に立っており、存在し、限られていて、両方が同じ場合は正常です。 univeriearオペレーターの逆演算子は、彼の任命された演算子と等しくなります。ヒルバーの夢の団結演算子の自己価値にはすべて、量があります。同じ次元の最終的な寸法ベクトルルームの間のユニタリアンオペレーターは、それぞれのオルソーマルベースでUnity Matricesで表すことができます。無限型機能室間の単位演算子の重要な例は、量子力学のフーリエ変換と時間開発演算子です。

統行演算子は、生物の線形演算子です

${displaystyletcolon vto w}$

2つの夢の間

${displaystyle（v、langle cdot、cdot rangle _ {v}）}$

と

${displaystyle（w、langle cdot、cdot rangle _ {w}）}$

、 となることによって

${displaystyle langle tu、tvrangle _ {w} = langle u、vrangle _ {v}}$

すべてのベクトル用

${displaystyle u、v}$

適用可能です。したがって、ユニットティアンオペレーターは、スカラー製品が受け取る2つのヘルプルーム間の同型です。 2つの実際のヘルプルームの間のユニットティアンオペレーターも時々 直交者オペレーター 専用。

以下は添加物です

${displaystyle V、w}$

スカラー製品から除外されました。これは、引数がどの空間であるかを明確にするためです。

基本的なプロパティ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

各ユニタリアンオペレーターは、ユニタリアンイラストを表しています（実際の場合の直交図で）。したがって、線形性はスカラー積の保存から続き、したがって別々に必要はありません。ユニットティアンオペレーターは引き続きベクターのスカラー製品標準を受け取ります。つまり、適用されることを意味します

${displaystyle TV | = {sqrt {langle tv、tv rangle}} = {sqrt {langle v、vrangle}} = | v |}$

、

そして、2つのベクトル間の距離。イラスト

${displaystylet}$

したがって、アイソメトリーと2つの部屋を表します

${displaystyle v}$

と

${displaystyle in}$

したがって、同型等尺性です。 Unityオペレーターの自己価値

${displaystyletcolon vto v}$

すべての量があります。ユニテアオペレーターのスペクトルは、より一般的にユニット回路の端にあります。

Operatornorm [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ユニテアオペレーターのオペレーター形式用

${displaystylet}$

メンテナンスに適用されます

${displaystyle | t | = sup _ {| v | = 1} | tv | = sup _ {| v | = 1} | = 1}$

。

したがって、ユニットティアンオペレーターは常に制限されているため、安定しています。

逆 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

逆演算子

${displaystylet^{ – 1}}$

Unityオペレーターの

${displaystylet}$

彼の補助されたオペレーターと同じです

${displaystylet^{ast}}$

、 また

${displaystyle t^{ – 1} = t^{ast}}$

、

適用されるからです

${displaystyle langle u、t^{ast} vrangle = langle tu、vrangle = langle tu、tt^{ – 1} vrangle = langle u、t^{-1} vrangle}$

。

詩に逆に投票し、線形演算子を任命し、それが適用されるため、これはユニットティアンです

${displaystyle langle tu、tvrangle = langle u、t^{ast} tvrangle = langle u、t^{-1} tvrangle = langle u、vrangle}$

。

正常 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

インバーサーとアッジングの合意により、ユニットティアンオペレーターは事件にあります

${displaystyle v = w}$

常に正常です、つまり

${displaystyle t^{ast} t = tt^{ast} = i}$

。

スペクトルセットは、複雑なヘルプルームと本物のヘルプルームでの自己能力のユニタイナオペレーターのuintaireオペレーターに適用されます。

基本的な形成 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

は

${displaystylet}$

ユニットティアンオペレーターであり、そうです

${displaystyle（v_ {i}）_ {iin i}}$

のヒルバートベース（完全なオルソルマルシステム）の

${displaystyle v}$

、 それから

${displaystyle（tv_ {i}）_ {iin i}}$

のヒルベルトベース

${displaystyle in}$

、それが適用されるからです

${displaystyle langle tv_ {i}、tv_ {j} rangle = langle v_ {i}、v_ {j} rangle = delta _ {ij}}$

。

その逆も同様です

${displaystyle（v_ {i}）_ {iin i}}$

と

${displaystyle（tv_ {i}）_ {iin i}}$

hilbertbasenから

${displaystyle v}$

と

${displaystyle in}$

そして

${displaystylet}$

線形、これがユニタルの方法です

${displaystylet}$

、あなたが得るからです

${displaystyle {begin {aligned} langle tu、tvrangle} t {big（} {jambda _ {i} v_ {i} {j}} mu _ {j} v_ {j} {big）} {big rangle} = {big langle} {i} {i} {i} {i} {i} {i} {i text sum _ {i} le sum _ {j} tv_ {j} {j} {j} {j}} lambda _ {i} {mu}} _ {j} {big langle} tv_ {i}、tv_ {j} {big rangle} = \＆{{j {i {i} {i} {i} {i} {i} {i} {j {i} {j {i} {j {i _ {_ {i}} {j}} lambda _ {i} {j} langle v_ {i}、v_ {j} rangle = {big langle} {textStyle sum _ {i} lambda _ {i} =ラングルu、vrange .end {aligned}}}$

• 彼のウィルヘルムすべて： 線形関数分析：アプリケーション指向の紹介 。第5版。 Springer、2008、ISBN 3-540-34186-2。
• ダーク・ウェルナー： 機能的解析 。第5版。 Springer、2005、ISBN 3-540-21381-3。