a ユニットタリアンオペレーター 数学の2つのヘルプルームの間の生物的線形演算子であり、スカラー積を受け取ります。したがって、ユニタリアンのオペレーターは特別な直交またはユニタリアンのイラストであり、常に順調に立っており、存在し、限られていて、両方が同じ場合は正常です。 univeriearオペレーターの逆演算子は、彼の任命された演算子と等しくなります。ヒルバーの夢の団結演算子の自己価値にはすべて、量があります。同じ次元の最終的な寸法ベクトルルームの間のユニタリアンオペレーターは、それぞれのオルソーマルベースでUnity Matricesで表すことができます。無限型機能室間の単位演算子の重要な例は、量子力学のフーリエ変換と時間開発演算子です。
統行演算子は、生物の線形演算子です
t : の → の {displaystyletcolon vto w}
2つの夢の間
( の 、 ⟨ de 、 de ⟩ V )) {displaystyle(v、langle cdot、cdot rangle _ {v})}
と
( の 、 ⟨ de 、 de ⟩ W )) {displaystyle(w、langle cdot、cdot rangle _ {w})}
、 となることによって
⟨ t の 、 t の ⟩ W = ⟨ の 、 の ⟩ V {displaystyle langle tu、tvrangle _ {w} = langle u、vrangle _ {v}}
すべてのベクトル用
の 、 の ∈ の {displaystyle u、v}
適用可能です。したがって、ユニットティアンオペレーターは、スカラー製品が受け取る2つのヘルプルーム間の同型です。 2つの実際のヘルプルームの間のユニットティアンオペレーターも時々 直交者オペレーター 専用。
以下は添加物です
の 、 の {displaystyle V、w}
スカラー製品から除外されました。これは、引数がどの空間であるかを明確にするためです。
基本的なプロパティ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
各ユニタリアンオペレーターは、ユニタリアンイラストを表しています(実際の場合の直交図で)。したがって、線形性はスカラー積の保存から続き、したがって別々に必要はありません。ユニットティアンオペレーターは引き続きベクターのスカラー製品標準を受け取ります。つまり、適用されることを意味します
‖ t の ‖ = ⟨ T v , T v ⟩ = ⟨ v , v ⟩ = ‖ の ‖ {displaystyle TV | = {sqrt {langle tv、tv rangle}} = {sqrt {langle v、vrangle}} = | v |}
、
そして、2つのベクトル間の距離。イラスト
t {displaystylet}
したがって、アイソメトリーと2つの部屋を表します
の {displaystyle v}
と
の {displaystyle in}
したがって、同型等尺性です。 Unityオペレーターの自己価値
t : の → の {displaystyletcolon vto v}
すべての量があります。ユニテアオペレーターのスペクトルは、より一般的にユニット回路の端にあります。
Operatornorm [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
ユニテアオペレーターのオペレーター形式用
t {displaystylet}
メンテナンスに適用されます
‖ t ‖ = sup ‖ v ‖ = 1 ‖ t の ‖ = sup ‖ v ‖ = 1 ‖ の ‖ = 初め {displaystyle | t | = sup _ {| v | = 1} | tv | = sup _ {| v | = 1} | = 1}
。
したがって、ユニットティアンオペレーターは常に制限されているため、安定しています。
逆 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
逆演算子
t − 1 {displaystylet^{ – 1}}
Unityオペレーターの
t {displaystylet}
彼の補助されたオペレーターと同じです
t ∗ {displaystylet^{ast}}
、 また
T − 1 = T ∗ {displaystyle t^{ – 1} = t^{ast}}
、
適用されるからです
⟨ の 、 T ∗ の ⟩ = ⟨ t の 、 の ⟩ = ⟨ t の 、 t T − 1 の ⟩ = ⟨ の 、 T − 1 の ⟩ {displaystyle langle u、t^{ast} vrangle = langle tu、vrangle = langle tu、tt^{ – 1} vrangle = langle u、t^{-1} vrangle}
。
詩に逆に投票し、線形演算子を任命し、それが適用されるため、これはユニットティアンです
⟨ t の 、 t の ⟩ = ⟨ の 、 T ∗ t の ⟩ = ⟨ の 、 T − 1 t の ⟩ = ⟨ の 、 の ⟩ {displaystyle langle tu、tvrangle = langle u、t^{ast} tvrangle = langle u、t^{-1} tvrangle = langle u、vrangle}
。
正常 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
インバーサーとアッジングの合意により、ユニットティアンオペレーターは事件にあります
の = の {displaystyle v = w}
常に正常です、つまり
T ∗ t = t T ∗ = 私 {displaystyle t^{ast} t = tt^{ast} = i}
。
スペクトルセットは、複雑なヘルプルームと本物のヘルプルームでの自己能力のユニタイナオペレーターのuintaireオペレーターに適用されます。
基本的な形成 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
は
t {displaystylet}
ユニットティアンオペレーターであり、そうです
( の i )) i ∈ I {displaystyle(v_ {i})_ {iin i}}
のヒルバートベース(完全なオルソルマルシステム)の
の {displaystyle v}
、 それから
( t の i )) i ∈ I {displaystyle(tv_ {i})_ {iin i}}
のヒルベルトベース
の {displaystyle in}
、それが適用されるからです
⟨ t v i 、 t v j ⟩ = ⟨ v i 、 v j ⟩ = δ i j {displaystyle langle tv_ {i}、tv_ {j} rangle = langle v_ {i}、v_ {j} rangle = delta _ {ij}}
。
その逆も同様です
( の i )) i ∈ I {displaystyle(v_ {i})_ {iin i}}
と
( t の i )) i ∈ I {displaystyle(tv_ {i})_ {iin i}}
hilbertbasenから
の {displaystyle v}
と
の {displaystyle in}
そして
t {displaystylet}
線形、これがユニタルの方法です
t {displaystylet}
、あなたが得るからです
⟨ T u , T v ⟩ = ⟨ T ( ∑ i λ i v i ) , T ( ∑ j μ j v j ) ⟩ = ⟨ ∑ i λ i T v i , ∑ j μ j T v j ⟩ = ∑ i ∑ j λ i μ ¯ j ⟨ T v i , T v j ⟩ = = ∑ i ∑ j λ i μ ¯ j δ i j = ∑ i ∑ j λ i μ ¯ j ⟨ v i , v j ⟩ = ⟨ ∑ i λ i v i , ∑ j μ j v j ⟩ = ⟨ u , v ⟩ . {displaystyle {begin {aligned} langle tu、tvrangle} t {big(} {jambda _ {i} v_ {i} {j}} mu _ {j} v_ {j} {big)} {big rangle} = {big langle} {i} {i} {i} {i} {i} {i} {i text sum _ {i} le sum _ {j} tv_ {j} {j} {j} {j}} lambda _ {i} {mu}} _ {j} {big langle} tv_ {i}、tv_ {j} {big rangle} = \&{{j {i {i} {i} {i} {i} {i} {i} {j {i} {j {i} {j {i _ {_ {i}} {j}} lambda _ {i} {j} langle v_ {i}、v_ {j} rangle = {big langle} {textStyle sum _ {i} lambda _ {i} =ラングルu、vrange .end {aligned}}}
彼のウィルヘルムすべて: 線形関数分析:アプリケーション指向の紹介 。第5版。 Springer、2008、ISBN 3-540-34186-2。
ダーク・ウェルナー: 機能的解析 。第5版。 Springer、2005、ISBN 3-540-21381-3。
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