Pontrjagin Duality-Wikipedia

Pontrjagin二重性 、Lew Semjonowitsch Pontrjaginにちなんで名付けられたものは、調和のとれた分析からの数学的用語です。
地元のコンパクトなアベルシェングループは、別の地元のコンパクトなアベルシェグループになります デュアルグループ デュアルグループがデュアルグループにデュアルグループが再び最初のグループになるように割り当てられます。
この構造は、地元のコンパクトグループの抽象的なフーリエ変換と構造理論において重要な役割を果たします。

円形線

${displaystyle {mathbb {t}} = {zin {mathbb {c}}; | z | = 1}}}$

グループリンクとしての乗算を含むコンパクトグループです。

Gがローカルコンパクトなアベルのグループである場合、それは定常グループの同型と呼ばれます

${displaystyle chi：grightarrow {mathbb {t}}}$

a キャラクター G.
デュアルグループ

${displaystyle {hat {g}}}$

gからGからのすべての文字の量があります。
乗算で

${displaystyle（chi cdot psi）（a）：= chi（a）psi（a）}$

なります

${displaystyle {hat {g}}}$

アベルグループに、
コンパクトコンバージェンスのトポロジを作成します

${displaystyle {hat {g}}}$

地元のコンパクトグループ、つまりH.トポロジーが地元のコンパクトであるトポロジーグループに。

は

${displaystyle varphi colon grightarrow h}$

一定の同性愛、そうです

${displaystyle {hat {varphi}}：{hat {h} rightarow$

また、一定の同性愛もあります

${displaystyle varphi}$

デュアル 同性愛。

• 残りのクラスグループの文字
  ${displaystyle {mathbb {z}}/n {mathbb {z}}}}$

  形をしてください

  ${displaystyle chi _ {m}：{mathbb {z}}/n {mathbb {z}} rightarrow {mathbb {t}} ,, chi _ {m}（[k]）= e^{2pi ikm/n}}}}}}$

  、それによって

  ${displaystyle min {mathbb {z}}}$

  。適用されます

  ${displaystyle chi _ {m_ {1}} = chi _ {m_ {2}}}}}$

  、滝

  ${displaystyle m_ {1}+n {mathbb {z}} = m_ {2}+n {mathbb {z}}}}}$

  、 したがって

  ${displaystyle {widehat {{mathbb {z}}}/n {mathbb {z}}}}} cong {mathbb {z}}/n {mathbb {z}}}}}}}}$

  。

• のすべてのキャラクター
  ${displaystyle {mathbb {t}}}$

  形があります

  ${displaystyle chi _ {n}（z）= z^{n}}}$

  のために

  ${displaystyle nin {mathbb {z}}}$

  。あなたは識別します

  ${displaystyle chi _ {n}}$

  nで、そうです

  ${displaystyle {hat {mathbb {t}}} cong {mathbb {z}}}}}$

  。

• グループ
  ${displaystyle {mathbb {z}}}$

  キャラクターがあります

  ${displaystyle chi _ {z}：{mathbb {z}} rightarrow {mathbb {t}}}$

  、

  ${displaystyle chi _ {z}（n）= z^{n}}}$

  、それによって

  ${displaystyle zin {mathbb {t}}}$

  。割り当て

  ${displaystyle chi _ {z} mapsto z}$

  配達します

  ${displaystyle {hat {mathbb {z}}} cong {mathbb {t}}}}}$

  。

• 
  ${displaystyle mathbb {r}}$

  リンクとユークリッドトポロジーとしての追加により、地元のコンパクトグループがアベルのグループです。すべてのキャラクター

  ${displaystyle chi：{mathbb {r}} rightarrow {mathbb {t}}}}}$

  形があります

  ${displaystyle chi _ {z}（x）= e^{ixz}}$

  のために

  ${displaystyle zin {mathbb {r}}}$

  。あなたは識別します

  ${displaystyle chi _ {z}}$

  Zで、そうです

  ${displaystyle {hat {mathbb {r}}} cong {mathbb {r}}}}}$

  最初は量として。以下が適用されます

  ${displaystyle（chi _ {z} cdot chi _ {w}）（x）= chi _ {z+w}（x）}$

  すべてのために

  ${displaystylexin {mathbb {r}}}$

  そしてイラスト

  ${displaystyle zmapsto chi _ {z}}$

  同質性があるので、あなたが持っています

  ${displaystyle {mathbb {r}} cong {hat {mathbb {r}}}}}}$

  また、地元のコンパクトグループとして。

デカルト製品を含むGおよびHローカルコンパクトグループです

${displaystyle gtimes h}$

。次に定義されます

${displayStyle（chi、psi）in {hat {g}} times {hat {h}}}$

上のキャラクター

${displaystyle gtimes h}$

、 もしも

${displaystyle（chi、psi）（x、y）= chi（x）cdot psi（y）}$

プット。このようにして、グループホモルフィズムを取得します

${displayStyle {widehat {gtimes h}} cong {hat {g}} times {hat {h}}}$

。

したがって、他にも多くの例があります：

あなたは自然なイラストを持っています

${displaystyle phi：grightarrow {hat {g}}}} ,,（phi（x））（chi）：= chi（x）}$

。
Pontrjagin文 このイラストは常にトポロジーグループの同型であると言います。
これは名前を正当化します デュアルグループ Gから、上記の文によるとあなたはから行くことができるので

${displaystyle {hat {g}}}$

更新されたデュアルグループフォーメーションを通じて回復します。

Pontrjaginの二重性により、ローカルコンパクトアベルグループGとそのデュアルグループとの間に多くの関係が期待されています

${displaystyle {hat {g}}}$

。代数的特性とトポロジー特性の間には関係があります。
模範が適用されます：

• Gは控えめです
  ${displaystyle leftrightarrow}$

  

  ${displaystyle {hat {g}}}$

  コンパクトです。

• Gはコンパクトです
  ${displaystyle leftrightarrow}$

  

  ${displaystyle {hat {g}}}$

  控えめです。

次のステートメントは、コンパクトグループと同等です。

別の接続プロパティは、次の同等性につながります。

一定の同性愛

${displaystyle varphi：grightarrow h}$

呼ばれています 厳密に 、 もしも

${displaystyle varphi}$

イラストとして

${displaystyle grightarrow varphi（g）}$

開ける IS、d。 H.すべてのオープン量の画像は、の写真で比較的開いています

${displaystyle varphi}$

。 1つのエピソード

${displaystyle ldots rightarrow grightarrow hirtirarow ldots}$

同性愛の意味 厳密に すべての同性愛が厳格であるとき。最後に、1つは1の1つの要素グループを指し、観察されました

${displaystyle {hat {1}} cong 1}$

次の文が適用されます：

• 多分
  ${displaystyle 1 rightarrow urightarrow grightarrow hirtirarow 1}$

  ローカルコンパクトグループ間の一定の一定の同性愛。次のステートメントは同等です。

  • 
    ${displaystyle 1 rightarrow urightarrow grightarrow hirtirarow 1}$

    厳格で正確な結果です。

  • 
    ${displaystyle1rightArrow {hat {h}} rightArrow {hat {g}} rightArrow {hat {u}} rightArrow 1}$

    厳格で正確な結果です。

これからさらに結論が導き出されます。

Pontrjaginの二重性は、ローカルコンパクトグループにとって構造理論の重要なツールです。ローカルコンパクトグループが呼ばれます コンパクトに生成されます Gのコンパクトなサブセットがある場合、GはGをグループとして生成します。控えめなグループは、最終的に生成されるとコンパクトに作成されます。

地元のコンパクトなアベルシェグループの場合、同等です。

• Gはコンパクトです。
• 
  ${displaystyle gcong {mathbb {r}}^{m} times {mathbb {z}}^{n} times k}$

  、それによって

  ${displaystyle M、nin {mathbb {n}} _ {0}}$

  Kはコンパクトグループです。

• 
  ${displaystyle {hat {g}} cong {mathbb {r}}^{m} times {mathbb {t}}^{n} times d}$

  、それによって

  ${displaystyle M、nin {mathbb {n}} _ {0}}$

  Dは控えめなグループです。

追加：数値MとNはGによって明確に決定され、KはGの最大のコンパクトサブグループです。

記事の調和分析で説明したように、ローカルコンパクトアベルグループGのデュアルグループは、折り畳み代数のゲルファンド変換で発生します。

Pontrjaginの二重性、d。 H.上記の割り当て

${displaystyle gmapsto {hat {g}}}$

と

${displaystyle varphi mapstosto {hat {varphi}}}$

地元のコンパクトからアベルのグループと安定した準同型は、明らかに矛盾したラジオです。このラジオの2回の連続は、同一のラジオにつながります（より正確には：同一のラジオとの自然な同等性に）。

• リンH.ルーミス： 抽象高調波解析の紹介 、D。VanNostrand Co、1953
• ウォルター・ルーディン： グループのフーリエ分析 、1962年
• E.ヒューイット、K。ロス： 抽象高調波解析I、ii 、Springer（1963）、（1970）。