Pontrjagin二重性 、Lew Semjonowitsch Pontrjaginにちなんで名付けられたものは、調和のとれた分析からの数学的用語です。
地元のコンパクトなアベルシェングループは、別の地元のコンパクトなアベルシェグループになります デュアルグループ デュアルグループがデュアルグループにデュアルグループが再び最初のグループになるように割り当てられます。
この構造は、地元のコンパクトグループの抽象的なフーリエ変換と構造理論において重要な役割を果たします。
円形線
グループリンクとしての乗算を含むコンパクトグループです。
Gがローカルコンパクトなアベルのグループである場合、それは定常グループの同型と呼ばれます
a キャラクター G.
デュアルグループ
gからGからのすべての文字の量があります。
乗算で
なります
アベルグループに、
コンパクトコンバージェンスのトポロジを作成します
地元のコンパクトグループ、つまりH.トポロジーが地元のコンパクトであるトポロジーグループに。
は
一定の同性愛、そうです
また、一定の同性愛もあります
デュアル 同性愛。
- 残りのクラスグループの文字
形をしてください
、それによって
。適用されます
、滝
、 したがって
。
- のすべてのキャラクター
形があります
のために
。あなたは識別します
nで、そうです
。
- グループ
キャラクターがあります
、
、それによって
。割り当て
配達します
。
リンクとユークリッドトポロジーとしての追加により、地元のコンパクトグループがアベルのグループです。すべてのキャラクター
形があります
のために
。あなたは識別します
Zで、そうです
最初は量として。以下が適用されます
すべてのために
そしてイラスト
同質性があるので、あなたが持っています
また、地元のコンパクトグループとして。
デカルト製品を含むGおよびHローカルコンパクトグループです
。次に定義されます
上のキャラクター
、 もしも
プット。このようにして、グループホモルフィズムを取得します
。
したがって、他にも多くの例があります:
あなたは自然なイラストを持っています
。
Pontrjagin文 このイラストは常にトポロジーグループの同型であると言います。
これは名前を正当化します デュアルグループ Gから、上記の文によるとあなたはから行くことができるので
更新されたデュアルグループフォーメーションを通じて回復します。
Pontrjaginの二重性により、ローカルコンパクトアベルグループGとそのデュアルグループとの間に多くの関係が期待されています
。代数的特性とトポロジー特性の間には関係があります。
模範が適用されます:
- Gは控えめです
コンパクトです。
- Gはコンパクトです
控えめです。
次のステートメントは、コンパクトグループと同等です。
別の接続プロパティは、次の同等性につながります。
一定の同性愛
呼ばれています 厳密に 、 もしも
イラストとして
開ける IS、d。 H.すべてのオープン量の画像は、の写真で比較的開いています
。 1つのエピソード
同性愛の意味 厳密に すべての同性愛が厳格であるとき。最後に、1つは1の1つの要素グループを指し、観察されました
次の文が適用されます:
- 多分
ローカルコンパクトグループ間の一定の一定の同性愛。次のステートメントは同等です。
厳格で正確な結果です。
厳格で正確な結果です。
これからさらに結論が導き出されます。
Pontrjaginの二重性は、ローカルコンパクトグループにとって構造理論の重要なツールです。ローカルコンパクトグループが呼ばれます コンパクトに生成されます Gのコンパクトなサブセットがある場合、GはGをグループとして生成します。控えめなグループは、最終的に生成されるとコンパクトに作成されます。
地元のコンパクトなアベルシェグループの場合、同等です。
- Gはコンパクトです。
、それによって
Kはコンパクトグループです。
、それによって
Dは控えめなグループです。
追加:数値MとNはGによって明確に決定され、KはGの最大のコンパクトサブグループです。
記事の調和分析で説明したように、ローカルコンパクトアベルグループGのデュアルグループは、折り畳み代数のゲルファンド変換で発生します。
Pontrjaginの二重性、d。 H.上記の割り当て
と
地元のコンパクトからアベルのグループと安定した準同型は、明らかに矛盾したラジオです。このラジオの2回の連続は、同一のラジオにつながります(より正確には:同一のラジオとの自然な同等性に)。
- リンH.ルーミス: 抽象高調波解析の紹介 、D。VanNostrand Co、1953
- ウォルター・ルーディン: グループのフーリエ分析 、1962年
- E.ヒューイット、K。ロス: 抽象高調波解析I、ii 、Springer(1963)、(1970)。
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