Froure -Avree -Wikipedia

Posted on February 13, 2022 by lordneo

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解放 – アブレアスティング （MauriceRenéFréchetによる）は、通常の微分計算から派生の概念を一般的にしています

{displaystyle mathbb {r} ^{n}}

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$mathbb {R} ^{n}$ 標準化された部屋で。最終的に次元の部屋間のイラストの場合、この区別の概念は、通常の概念をもたらします 合計分化 。

3つのイラストの関係

なれ

{displaystyle（x、| {cdot} | _ {x}）}

$(X,|{cdot }|_{X})$ と

{displaystyle（y、| {cdot} | _ {y}）}

$(Y,|{cdot }|_{Y})$ 2つの標準化された部屋と

{displaystyle usubset x}

$Usubset X$ オープンサブセット。オペレーター

{displaystyle acolon utoおよび}

$Acolon Uto Y$ 呼ばれています 別のバーを解放します ポイントで

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{uin uのdisplaystyle varphi}

$varphi in U$ 制限された線形演算子がある場合

{displaystyle a ‘（varphi）コロンxto y}

$A'(varphi )colon Xto Y$ そのようなもの

{displaystyle lim _ {| h | _ {x} to 0} {frac {1} {| h | _ {x}}}、{big |} a（varphi +h）-a（varphi）-a ‘（varphi）h {big |} _ {y} = 0} _ {y} = 0}

適用可能です。オペレーター

{displaystyle a ‘（varphi）}

$A'(varphi )$ 貨物貨物とプリアンプレーションのvoneを変動させます

{displaystyle a}

$A$ ポイントで

{displaystyle varphi}

$varphi$ 。全員のためのFréchet派生が存在します

{uin uのdisplaystyle varphi}

$varphi in U$ 、イラストが呼ばれます

{displaystyle a’colon uto l（x、y）}

$A'colon Uto L(X,Y)$ と

{displaystyle varphi mapsto a ‘（varphi）}

$varphi mapsto A'(varphi )$ 激しいアブレアスティングフォンを死にます

{displaystyle a}

$A$ の上

{displaystyleu}

$U$ 。と

{displaystyle l（x、y）}

$L(X,Y)$ の定数線形図の空間がある場合

{displaystyle x}

$X$ 後

{displaystyle y}

$Y$ 専用。

表記に注意してください： の古典的なケースで

{displaystyle F：Mathbb {r} ^{n}からmathbb {r} ^{m}}へ

${displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}$ 通常、代表者です

{displaystyle f ‘（x_ {0}）in mathbb {r} ^{ntimes m}}

${displaystyle f'(x_{0})in mathbb {R} ^{ntimes m}}$ 導出された派生演算子の。ただし、ここでは、結果として生じる線形演算子

{displaystyle xmapsto f ‘（x_ {0}）、x}

${displaystyle xmapsto f'(x_{0}),x}$ 言及された派生。たとえば、線形関数の場合

{displaystyle f（x）= c、x}

${displaystyle f(x)=C,x}$ デリバティブ演算子です

{displaystyle xmapsto f ‘（x_ {0}）x = c、x = f（x）}

${displaystyle xmapsto f'(x_{0})x=C,x=f(x)}$ 、しかし、それはまだ適用されます

{displaystyle f ‘（x_ {0}）neq f（x_ {0}）}

${displaystyle f'(x_{0})neq f(x_{0})}$ 。

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同等の定義 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

同等の定義は次のとおりです。

それぞれに

{displaystyle varepsilon> 0}

$varepsilon >0″></span>ありますか <span class=$

{displaystyledelta> 0}

$delta >0″></span>だからみんなのために <span class=$

{displaystyle hin x}

$hin X$ と

{displaystyle | H | leq delta}

$|h|leq delta$ 適用可能です

{displaystyle | a（varphi +h）-a（varphi）-a ‘（varphi）h | _ {y} leq varepsilon | h | _ {x}}}}

これは、Landauシンボルの助けを借りて簡単に書くこともできます。

{displaystyle a（varphi +h）-a（varphi）= a ‘（varphi）h +o（| h | _ _ _）}

線形演算子 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

最終的に寸法刺激のため

{displaystyle x、y}

$X,Y$ すべて線形演算子です

{displaystyle acolon xto y}

$A colon Xto Y$ 一定の導出で区別されたフレシェット。それぞれの時点で、デリバティブ演算子は線形演算子自体です。

{displaystyle a ‘（varphi）= a}

$A'(varphi )=A$ すべてのために

{xのdisplaystyle varphi}}

${displaystyle varphi in X}$ 、すぐに適用されるため：

{displaystyle a（varphi +h）-a（varphi）-a ‘（varphi）h = 0}

${displaystyle A(varphi +h)-A(varphi )-A'(varphi )h=0}$ 。

無限次元の場合、限られた（=安定した）フレシェは、線形演算子の下で区別できます。抑制されていない線形演算子は、Fréchetと区別されません。

実際の機能 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

は

{displaystyle fcolon uto mathbb {r}}

$fcolon Uto {mathbb {R}}$ オープンな量の実際の機能

{displaystyle usubset mathbb {r} ^{n}}

$Usubset {mathbb {R}}^{n}$ 定義されており、持っています

{displaystyle f}

$f$ 一定の部分的な導出、そうです

{displaystyle f}

$f$ また、Fréchetを区別しました。ポイントでの派生

{displaystyle x}

$x$ の通常の勾配によってです

{displaystyle f}

$f$ によれば：

{displaystyle f ‘（x）colon hmapsto {mbox {grad}} f（x）cdot h = sum制限_ {i = 1}^{n} {frac {partial f} {partial x_ {i}}}}（x）、h_ {i}}}

この例は、の通常の微分計算への接続を示しています

{displaystyle mathbb {r} ^{n}}

$mathbb {R} ^{n}$ 。 Fréchet派生は、実際には標準化された部屋の微分計算の一般化です。

InteglaloPerator [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

{displaystyle j = [a、b] Subset mathbb {r}}

$J=[a,b]subset mathbb{R}$ 、

{displaystyle kcolon jtimes jto mathbb {r}}

$kcolon Jtimes Jto mathbb{R}$ 安定しています

{displaystyle fcolon jtimes mathbb {r} to mathbb {r}}

$fcolon Jtimes mathbb{R} to mathbb{R}$ 2番目の議論で絶えず着実に区別されています。非線形積分演算子

{displaystyle fcolon c（j）からc（j）}

$Fcolon C(J)to C(J)$ によって定義されます

{displaystyle（fx）（t）= int _ {a}^{b} k（t、s）f（s、x（s））mathrm {d} s}

Fréchetに区別されます。その派生

{displaystyle f^{prime}}

$F^{prime }$ ケースです

{displaystyle（f^{prime}（x）h）（t）= int _ {a}^{b} k（t、s）{frac {partial f} {partial x}}（s、x（s））、h（s）mathrm {d} s。}

差分計算の平均値により、以下が適用されます

{displaystyle f（s、x（s）+h（s））-f（s、x（s））= {frac {partial f} {partial x}}（s、x（s）+rho（s）h（s）、h（s）}

と

{displaystyle 0

$0<rho (s)<1$ そして、の安定性のため

{displaystyle {tfrac {partial f} {partial x}}}

$tfrac{partial f}{partial x}$ の上

{displaystyle jtimes {zin mathbb {r}：| z | leq sup | x | +1}}}}}

$Jtimes {zin mathbb{R} :|z|leq sup |x|+1}$ 適用可能です

{displaystyle sup _ {sin j} left | {frac {partial f} {partial x}}（s、x（s）+rho（s）h（s）） – {frac {partial f} {partial x}}（s、x（s））右| leq epsilon}

ために

{displaystyle sup | h | leq delta}

$sup |h|leq delta$ 。ために

{displaystyle sup | h | leq delta}

$sup |h|leq delta$ 適用されます

{displaystyle sup左| f（x+h）-f（x）-int _ {a}^{b} k（cdot、s）{frac {partial f} {partial x}}（s、x（s））H（s）mathrm {d} ）|（b-a）、}

派生のプレゼンテーションが証明するもの。

の総派生の通常の計算ルール

{displaystyle mathbb {r} ^{n}}

$mathbb {R} ^{n}$ また、FréchetDerivationを表示します。上記の定義の意味で理にかなっている場合、特に対応する場所で発生するイラストが区別されている場合、次の方程式が適用されます。

${displaystyle（a+b） ‘（varphi）= a’（varphi）+b ‘（varphi）}$
${displaystyle（lambda a） ‘（varphi）= lambda a’（varphi）}$
連鎖法則： ${displaystyle（acirc b） ‘（varphi）=（a’circ b）（varphi）、b’（varphi）}$
は ${displaystyle a}$
製品ルール：ISです ${displaystyle a：x_ {1}倍のldots times x_ {n}からy}$

多分

{displaystyle a}

$A$ ポイントで

{displaystyle varphi}

$varphi$ 差別化されたフレシェ、それからどんな方向にも何らかの方向があります

{displaystyle hin x}

$hin X$ Das Cakes-District

{displaystyle delta a（varphi、h）}

$delta A(varphi ,h)$ そしてそれは適用されます：

{displaystyle delta a（varphi、h）= a ‘（varphi）h}

逆転は一般に適用されません。

さらに、ガトーの派生

{displaystyle a}

$A$ ポイントで

{displaystyle varphi}

$varphi$ 、以下

{displaystyle a ‘_ _ {s}（varphi）}

$A'_{s}(varphi )$ 参照されており、以下が適用されます。

{displaystyle a ‘_ _ {s}（varphi）= a’（varphi）}

ここでも、逆転は一般に適用されません。逆転は、次の条件下でも適用されます。

滝

{displaystyle a}

$A$ 環境で

{displaystyleu}

$U$ から

{displaystyle varphi}

$varphi$ ケーキディフフェレンジャーバール つまり、ガトーの微分は、領域のすべてのポイントで着実に線形であり、イラスト

{displaystyle a ‘_ {s}（。）colon uto {mathcal {l}}（x、y）}}}

ポイントで

{displaystyle varphi}

$varphi$ オペレーターフォームに関しては安定しています

{displaystyle {mathcal {l}}（x、y）}

${mathcal {L}}(X,Y)$ 、そうです

{displaystyle a}

$A$ ポイントで

{displaystyle varphi}

$varphi$ Freed-Diffrentの違い。

この状態は必要ありません。たとえば、1次元で着実に区別されない完全に微分可能な関数がすでにあります。

Fréchet派生は例えばB.は、ニュートンプロセスのコンテキストで、いわゆる逆周辺値の問題を解決するために使用できます。このアプリケーションの例として、ラプラス方程式の逆エッジ値の問題を検討します。

そうです

{displaystyle dsubset mathbb {r} ^{2}}

$Dsubset {mathbb {R}}^{2}$ 未知のエリア。エッジが値を値する外側のディリクレの問題を見ています

{displaystyle partial d}

$partial D$ ポイントのソースを通して

{displaystyle zin mathbb {r} ^{2} setminus {bar {d}}}}}

$zin {mathbb {R}}^{2}setminus {bar D}$ 与えられた。その後、限られた2回の異なる機能が満たされます

{displaystyleu}

$u$ の

{displaystyle mathbb {r} ^{2} setminus {bar {d}}}}}

${mathbb {R}}^{2}setminus {bar D}$ ラプラス方程式：

{displaystyle delta u = 0quad {mbox {in}} ,, mathbb {r} ^{2} setminus {bar {d}}}}

そして、ディリクレの境界条件：

{displaystyle u = -phi（cdot、z）quad {mbox {on}} ,, partial d。}

と

{displaystylephi}

$Phi$ ポイントのポイントの源であるラプラス方程式の基本的なソリューションを参照しましょう

{displaystyle with}

$z$ 説明します。

逆エッジ値の問題がある場合、私たちは2番目の（既知の）領域から行きます

{displaystyle bsubset mathbb {r} ^{2}}

$Bsubset {mathbb {R}}^{2}$ 何から

{displaystyle d}

$D$ 含む。縁に

{displaystyle partial b}

$partial B$ から

{displaystyle b}

$B$ ソリューションの値を測定しましょう

{displaystyleu}

$u$ 直接ディリクレの問題の。だから私たちはトレイルを知っています

{displaystyle u | _ {partial b}}

$u|_{{partial B}}$ 。私たちの目標は今では未知のエッジです

{displaystyle partial d}

$partial D$ から

{displaystyle d}

$D$ このトレースの知識から再構築する。

この問題は、オペレーターを介して正式に行うことができます

{displaystyle f}

$F$ 未知のエッジを説明してください

{displaystyle partial d}

$partial D$ よく知られているトラック

{displaystyle u | _ {partial b}}

$u|_{{partial B}}$ 描かれています。したがって、次の非線形方程式を解決する必要があります。

{displaystyle f（partial d）= u | _ {partial b}}

この方程式は例えばB.ニュートンプロセスを使用して線形化できます。これを行うために、私たちは自分自身をエリアに限定します

{displaystyle d}

$D$ エッジを次のように表現できるもの：

{displaystyle displaystyle x（t）= r（t）（cos（t）、sin（t））}

だから私たちは今、未知の半径関数を探しています

{displaystyle r}

$r$ 。線形化された方程式（ニュートン手順）は次のように見えます。

{displaystyle f（r）+f ‘（r、q）= u | _ {partial b}}

こちらを参照してください

{displaystyledisplayStyle f ‘}

$displaystyle F'$ このオペレーターを激しく促進します

{displaystyledisplayStyle F}

$displaystyle F$ （FRéchet派生の存在

{displaystyledisplayStyle F}

$displaystyle F$ 表示できます

{displaystyledisplayStyle f ‘}

$displaystyle F'$ 直接エッジ値の問題を介して決定できます！）。この方程式は後です

{displaystyle q}

$q$ 私たちと一緒に解散しました

{displaystyle r+q}

$r+q$ 未知のエッジの新しい近似を見つけました。その後、この近似で手順を繰り返すことができます。

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