解放 – アブレアスティング (MauriceRenéFréchetによる)は、通常の微分計算から派生の概念を一般的にしています
標準化された部屋で。最終的に次元の部屋間のイラストの場合、この区別の概念は、通常の概念をもたらします 合計分化 。
3つのイラストの関係
なれ
と
2つの標準化された部屋と
オープンサブセット。オペレーター
呼ばれています 別のバーを解放します ポイントで
制限された線形演算子がある場合
そのようなもの
-
適用可能です。オペレーター
貨物貨物とプリアンプレーションのvoneを変動させます
ポイントで
。全員のためのFréchet派生が存在します
、イラストが呼ばれます
と
激しいアブレアスティングフォンを死にます
の上
。と
の定数線形図の空間がある場合
後
専用。
表記に注意してください: の古典的なケースで
通常、代表者です
導出された派生演算子の。ただし、ここでは、結果として生じる線形演算子
言及された派生。たとえば、線形関数の場合
デリバティブ演算子です
、しかし、それはまだ適用されます
。
同等の定義 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
同等の定義は次のとおりです。
それぞれに
と
適用可能です
-
。
これは、Landauシンボルの助けを借りて簡単に書くこともできます。
-
ために
。
線形演算子 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
最終的に寸法刺激のため
すべて線形演算子です
一定の導出で区別されたフレシェット。それぞれの時点で、デリバティブ演算子は線形演算子自体です。
すべてのために
、すぐに適用されるため:
。
無限次元の場合、限られた(=安定した)フレシェは、線形演算子の下で区別できます。抑制されていない線形演算子は、Fréchetと区別されません。
実際の機能 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
は
オープンな量の実際の機能
定義されており、持っています
一定の部分的な導出、そうです
また、Fréchetを区別しました。ポイントでの派生
の通常の勾配によってです
によれば:
-
この例は、の通常の微分計算への接続を示しています
。 Fréchet派生は、実際には標準化された部屋の微分計算の一般化です。
InteglaloPerator [ 編集 | ソーステキストを編集します ]
多分
、
安定しています
2番目の議論で絶えず着実に区別されています。非線形積分演算子
によって定義されます
-
Fréchetに区別されます。その派生
ケースです
-
差分計算の平均値により、以下が適用されます
-
と
そして、の安定性のため
の上
適用可能です
-
ために
。ために
適用されます
-
派生のプレゼンテーションが証明するもの。
の総派生の通常の計算ルール
また、FréchetDerivationを表示します。上記の定義の意味で理にかなっている場合、特に対応する場所で発生するイラストが区別されている場合、次の方程式が適用されます。
。
- 連鎖法則:
。製品
線形画像の乗算(継承バージョン)の意味で理解されるべきです。
- は
一定の線形演算子なので、Aはどこでも区別され、適用されます
。チェーンルールとともに、これにより、一定の線形演算子が派生から引き出される可能性があるという結論が得られます。
と
。
- 製品ルール:ISです
安定したN-サブジェクトの線形図はです
多分
ポイントで
差別化されたフレシェ、それからどんな方向にも何らかの方向があります
Das Cakes-District
そしてそれは適用されます:
-
。
逆転は一般に適用されません。
さらに、ガトーの派生
ポイントで
、以下
参照されており、以下が適用されます。
-
。
ここでも、逆転は一般に適用されません。逆転は、次の条件下でも適用されます。
滝
環境で
から
ケーキディフフェレンジャーバール つまり、ガトーの微分は、領域のすべてのポイントで着実に線形であり、イラスト
-
によって与えられた
ポイントで
オペレーターフォームに関しては安定しています
、そうです
ポイントで
Freed-Diffrentの違い。
この状態は必要ありません。たとえば、1次元で着実に区別されない完全に微分可能な関数がすでにあります。
Fréchet派生は例えばB.は、ニュートンプロセスのコンテキストで、いわゆる逆周辺値の問題を解決するために使用できます。このアプリケーションの例として、ラプラス方程式の逆エッジ値の問題を検討します。
そうです
未知のエリア。エッジが値を値する外側のディリクレの問題を見ています
ポイントのソースを通して
与えられた。その後、限られた2回の異なる機能が満たされます
の
ラプラス方程式:
-
そして、ディリクレの境界条件:
-
と
ポイントのポイントの源であるラプラス方程式の基本的なソリューションを参照しましょう
説明します。
逆エッジ値の問題がある場合、私たちは2番目の(既知の)領域から行きます
何から
含む。縁に
から
ソリューションの値を測定しましょう
直接ディリクレの問題の。だから私たちはトレイルを知っています
。私たちの目標は今では未知のエッジです
から
このトレースの知識から再構築する。
この問題は、オペレーターを介して正式に行うことができます
未知のエッジを説明してください
よく知られているトラック
描かれています。したがって、次の非線形方程式を解決する必要があります。
-
この方程式は例えばB.ニュートンプロセスを使用して線形化できます。これを行うために、私たちは自分自身をエリアに限定します
エッジを次のように表現できるもの:
-
だから私たちは今、未知の半径関数を探しています
。線形化された方程式(ニュートン手順)は次のように見えます。
-
こちらを参照してください
このオペレーターを激しく促進します
(FRéchet派生の存在
表示できます
直接エッジ値の問題を介して決定できます!)。この方程式は後です
私たちと一緒に解散しました
未知のエッジの新しい近似を見つけました。その後、この近似で手順を繰り返すことができます。
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