Poisson Distribution-Wikipedia

ポアソン分布 （数学者のシメオン・デニス・ポアソンにちなんで名付けられた）は、固定時間間隔または空間領域で互いに独立して発生するイベントの数をモデル化できる確率分布です。これは、無限試験の二項分布の頻繁に発生する限界を表す単変量離散確率分布です。ただし、基本的なプロセスプロパティから公理的に導出することもできます。

ポアソンプロセスの成長は、ポアソン分散ランダム変数です。一般化されたポアソン分布や混合ポアソン分布などのポアソン分布の拡張は、主に保険数学の分野で使用されます。

ポアソン分布

${displaystyle p_ {lambda}}$

確率の個別の分布です。実際のパラメーターによって作成されます

${displaystyle lambda> 0}$

${displaystyle k = 0,1,2、dotsc}$

確率

${displaystyle p_ {lambda}（k）= {frac {lambda ^ ^{k}}}}}}}} {e} ^{ – lambda$

に、つまり

${displaystyle mathrm {e}}$

Eulersche番号と

${displaystyle k！}$

の教員

${displaystyle k}$

専用。パラメーター

${displaystyle lambda}$

観察中に予想されるイベントを明確に説明しています。ポアソン分布は、特定の数のイベントの確率を与えます

${displaystyle k}$

中央のイベント率の個々の場合

${displaystyle lambda}$

知られている。

放射能 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ウランからの放射性サンプルでは、​​平均して1秒

${displaystyle lambda = 4 {、} 5}$

測定された減衰。時間間隔で1秒である確率

${displaystyle k = 0,1,2,3,4,6,7,8,9,10}$

崩壊の裁判所は、次の表に記載されています。

k	${displaystyle P_ {4 {4 {、} 5}（k）= {frac {4 {、} 5 ^{k}} {k！}}}}、mathrm {e}}}}}}$
0	0.0111
初め	0.0500
2	0.1125
3	0.1687
4	0.1898
5	0.1708
6	0.1281
7	0.0824
8	0.0463
9	0.0232
十	0.0104

サッカーの結果 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

のサッカーチーム SKラピッドウィーン 平均してゲームごとに1.39ゴールを達成しました。のサッカーチーム SK Sturm Graz ゲームごとに1.61の目標率があります。確率を計算する必要があります SKラピッドウィーン と SK Sturm Graz 特定の結果を達成できます。 2つのチームのゲートの数が確率的に独立していることが簡素化されています。最終結果の場合

${displaystyle k_ {1}：k_ {2}}$

2つのポアソン分布の積は結果です

${displaystyle p_ {lambda _ {1}}}$

と

${displaystyle p_ {lambda _ {2}}}$

と

${displaystyle lambda _ {1} = 1 {、} 39}$

と

${displaystyle lambda _ {2} = 1 {、} 61}$

、 また

${displaystyle p_ {ambda _ {1}}}（k_ {1}）cdot P_ {lambda _ {2}}（k_ {2}）= {frac {ambda _ {1}}}}} {1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ^egg}^{ – lambda _ {2}} = {frac {、} 39^{k_ {1}} {k_ {1}}}}}} {egg}、}} {k {k {kaf {1^k {1^k {1^{1^{1^{1^{1^kaf {1^kaf {kaf {kaf {kaf {kaf {kaf {kaf {kaf {kaf {kaf {kaf { {、} 61}}}}。$

結果の確率0：0：0：1、0：2、0：3、1：0、1、1、1：2、1：3、2：0、2：1、2：2、2：3、3：0、3：1、3：3は次の表を示しています。

k 初め ：k 2	0	初め	2	3
0	0.0498	0.0802	0.0645	0.0346
初め	0.0692	0.1114	0.0897	0.0481
2	0.0481	0.0774	0.0623	0.0335
3	0.0223	0.0359	0.0289	0.0155

結果1：1にあります

${displaystyle p_ {1 {、} 39}（1）cdot p_ {1 {、} 61}（1）compx 0 {、} 1114}$

最大の確率。 ^{[初め] [2]}

再帰式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

再帰式が適用されます

${displaystyle p_ {lambda}（k）= {frac {lambda} {k_ {lambada}（k-1）}$

ために

${displaystyle k = 1,2、ドット}$

と

${displaystyle p_ {lambda}（0）= mathrm {e}} ^{{-lambda}}}$

。

分布関数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

分布関数

${displaystyle f_ {lambda}}$

ポアソン分布はです

${displaystyle f_ {lambda}（n）= sum _ {k = 0}}^{n} p_ {n} p_ {ambda}（k）= e^{-lampda} sum} _ {k = 0}^{n}} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} Q（n+1、ランバ）。$

確率を与えます

${displaystyle p}$

せいぜい

${displaystyle n}$

どこにイベントを見つける

${displaystyle lambda}$

平均して期待されています。説明された

${displaystyle q（a、x）}$

下境界の正規化されたガンマ関数。

期待値、分散、モーメント [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ランダム変数です

${displaystyle x}$

ポアソンは分配されました

${displaystyle xsim {mathcal {p}}（lambda）}$

、そうです

${displaystyle lambda}$

同時に、期待値と分散、それが適用されるため

${displaystyle operatorname {e}（x）= sume _ {k = 0}}}}}}}}}}}}} { – {k = 1} ^ {k = 1} ^ {k = 1} ^ {k = 1} {lambda ^ {krm {e e} {em {e} {embda}} }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {（k-1）！= lambda}$

としても

${displaysty {BEGINANISTED}opername {E} Left(x^2}right)&=sum _{k=0}^{infty }k^{2}{frac {Lambda ^{K}}{k!}},mathrm {but} {-lambada ^-lambada ^-lambada ^-lampa 1}^{infty }k{frac {lambda ^{K}}{(k-1)!}}=mathrm {E} ^{Lambda }, Left(sum _{K=1}^ornfty }(infty }(k-1){frac {but(k-1)!…” da ^{k}{(k-1)!}}right)\&=mathrm ^Egg} ^{-lambada },left(sum _{K=2}^Enfty }^infty }(k-1){frac {lambda ^{K}}}fty)!}} put infrac {km {km ^k {km ^k {k _=k _{k {k {k {k {k {k {k {k {k {k {k {k ugm )!}}Right)=Mathrm {E} ^{-lambada },sum _{K=2}^{infty }{frac {Imbanda ^{K}}{(k-2)!}}}+mathrm {E} ^{-lambada }{k-lamd {Kda ^k {Kda ^Kd ^k=1} {Kand ^Kd {k=kd. \&=Lambda ^{2}cdot mathrm {E} ^{-lambada },sum _{k=2}^infty }{frac {Lambda ^Ek-2}}{(k-2)!}}}}t have cdot mathrm {Ebbda _{km _=affada ^{K-1}}{(k-1)!}}=lampda ^{2}++lasbda .end{aligned}}}.$

シフトレートによると、次のようになります。

${displaystyle operatorname {var}（x）= operatorname {e}左（x ^{2}右） – （operatorname {e}（x）） ^{2} = lambda ^{2}+lambda -lambda ^{2} = lambda。}$

また、3番目の中心的な瞬間にも適用されます

${displaystyle operatorname {e}左（左（x-operatorname {e}（x）右）^{3}右）= lambda}$

。

中央値 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

中央値が明らかであることは明らかです

${displaystyle n_ {text {median}}}$

近く

${displaystyle lambda}$

嘘。ただし、正確な式はありません。最も正確な推定値は ^[3]

${displaystyle lambda -ln 2leq n_ {text {median}}$

変動係数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

期待値と分散から、すぐに変動係数が得られます

${displaystyle operatorname {vark}（x）= {frac {sqrt {operatorname {var}（x）}} {operatorname {e}（x）}} = {frac {1} {sqrt {lambda}}}}}}$

。

曲がった曲率と曲率 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

曲がったものが発生します

${displaystyle operatorname {v}（x）= {frac {1} {sqrt {lambda}}}}}$

。

曲率は、閉じて表示することもできます

${displaystyle beta _ {2} = 3+ {frac {1} {lambda}}}}}$

。

そして、過剰なas

${displaystyle gamma = {frac {1} {lambda}}}$

。

より高い瞬間 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle k}$

-teモーメントは、程度から多項式になる可能性があります

${displaystyle k}$

の

${displaystyle lambda}$

指定して、それです

${displaystyle k}$

-te完全なベル多項式

${displaystyle b_ {k}}$

、に評価されます

${displaystyle k}$

場所

${displaystyle lambda}$

： ^[4]

${displaystyle m_ {k} = b_ {k}（lambda、dots、lambda）}$

。

カミュレータ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ポアソン分布の累積生成関数はです

${displaystyle g_ {x}（t）= lambda（e^{t} -1）}$

。

それで、すべての累積器は同じです

${displaystyle kappa _ {i} = lambda}$

。

特性関数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

特性関数には形があります

${DisplayStyle PHI _} (s) = sume {k = 0} ^ {lamba}}}}}}}}}, Mathrm {- LAMBDA} = mathrm {e}} {e} {- Lambda} Sum {k = 0} ^ {k = 0} {LAMRM} {k! {e} {Lambda, Mathrm {e ^ {IS}} = Mathrm {e}}} {lambda LEFT (Mathrm {e} ^ {IS} ^ {IS} {IS}} ^ {IS} ^} ^ {IS} ^ {IS} ^ {IS}}} ^ {IS}} ^} ^ {IS}} ^ {IS}} ^ {IS}} ^ {IS} ^}}$

。

確率 – 生成関数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

確率 – 生成関数については、取得します

${displaystyle m_ {x}（s）= mathrm {e} ^{lambda（s-1）}}}}$

。

モーメント – 生成関数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ポアソン分布のモーメント生成関数はです

${displaystyle m_ {x}（s）= mathrm {e} ^{lambda（mathrm {e} ^{s} -1）}。}}$

再現性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ポアソン分布は生殖、つまりh。、合計

${displaystyle x_ {1}+x_ {2}+dotsb+x_ {n}}$

確かに独立したポアソン分散ランダム変数

${displaystyle x_ {1}、x_ {2}、dotsc、x_ {n}}$

パラメーターを使用

${displaystyle lambda _ {1}、lambda _ {2}、dotsc、lambda _ {n}}$

再びポアソンがパラメーターで分布しています

${displaystyle lambda _ {1}+lambda _ {2}+dotsb+lambda _ {n}}$

。したがって、折りたたみに適用されます

${displaystyle operatorname {then}（lambda _ {1}）*operatorame {then}（lambda _ {2}）= operator {then}（lambda _ {1}+lambda _ {2}）}）））$

したがって、ポアソン分布は折りたたみグループを形成します。
この結果は、ポアソン分布の特性関数と、独立したランダム変数の合計の特性関数が特性関数の積であるという事実から直接続きます。

ポアソン分布も無限に分裂できます。
ソビエトの数学者の判決によると
Dmitri Abramowitsch Raikowも適用されます：ポアソン分散ランダム変数は

${displaystyle x}$

2つの独立したランダム変数の合計

${displaystyle x_ {1}}$

と

${displaystyle x_ {2}}$

、それからサマンドはそうです

${displaystyle x_ {1}}$

と

${displaystyle x_ {2}}$

ポアソンも分散しました。ポアソン分散ランダム変数は、ポアソン分布の独立したサマンドでのみ分解できます。この文は、正規分布のためのcramér文の類似物です。

薄め [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多くの場合、イベントが実際にポアソンが分布する確率的実験がありますが、カウントは追加の条件が満たされた場合にのみ発生します。たとえば、昆虫が産む卵の数は分布することができますが、幼虫は特定の確率で各卵からのみ滑り落ちます。パラメーターを備えたこのポアソン分散ランダム変数のオブザーバー

${displaystyle lambda}$

したがって、すべてのイベントは確率でのみカウントされます

${displaystyle p <1}$

（互いに独立して）。

あるいは、カウントの間違いでは、イベントが登録されていない可能性もあります。もともとは

${displaystyle n}$

イベントは、二項分布に応じて利用できます

${displaystyle b_ {n、p}（r）}$

それだけ

${displaystyle r}$

カウントされたイベント。この場合、実際の値はです

${displaystyle n}$

不明で、測定値の間で変化しました

${displaystyle r}$

（既存のすべてのイベントを見た）および無限（見たよりも多くのイベントがありました）。測定値の確率

${displaystyle r}$

その後、製品によって測定が成功する可能性を見つけることができます

${displaystyle b_ {n、p}（r）}$

元のポアソン分布

${displaystyle p_ {lambda}（n）}$

、考えられるすべての値に合計します

${displaystyle n}$

：

${displaystyle合計制限_ {n = r}^{infty} b_、p}（r）p_ {lambda}（n）= p_ {plambda}（r）}。$

。

見つかった値

${displaystyle r}$

証明確率の場合

${displaystyle p}$

ポアソンも再び配布されます。検出の確率

${displaystyle p}$

パラメーターを削減します

${displaystyle lambda}$

元のポアソン分布

${displaystyleplambda}$

。これは、ポアソン分布の薄化とも呼ばれます。

計算 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

の計算

${displaystyle p_ {lambda}（k）}$

再帰的に行うことができます。最初に決定します

${displaystyle p_ {lambda}（0）= mathrm {e}} ^{{-lambda}}}$

、次々とあります

${displaystyle p_ {lambda}（k）= {tfrac {lambda} {k}} cdot p_ {lambda}（k-1）、（k = 1,2,3、dotsc）}}$

。成長する

${displaystyle k}$

確率は大きくなります

${displaystyle k$

は。なります

${displaystyle k> lambda}$

${displaystyle k_ {mathrm {modus}} = lfloor lambda rfloor}$

、 もしも

${displaystyle lambda}$

整数ではありません、そうでなければ2つの隣接するものがあります

${displaystyle k_ {text {modus}} = lambda、lambda -1}$

（右上の図を参照）。

の計算の場合

${displaystyle {frac {lambda ^ ^ {k}} {k！}$

の値が過剰なためです

${displaystyle lambda}$

と

${displaystyle k}$

引き起こされた問題、次の場合、スターリングフォーミュラの次の近似に役立ちます。

${displaystyle {frac {mathrm ^{k（1+ln（lambda /k））-lambda} {sqr {2pi（k+1/6）}}。}。$

ポアソン分布乱数は通常、反転法を使用して生成されます。

最尤推定器 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

のサンプルから

${displaystyle n}$

観察

${displaystyle n_ {i} in {0,1,2、dotsc}}$

ために

${displaystyle i = 1、dotsc、n}$

パラメーターが必要です

${displaystyle lambda}$

ポアソン分布の母集団を推定できます。最尤推定量は、算術平均によって与えられます

${displaystyle {hat {lambda}} = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1}^{n} n_ {i}}}}}}}}}}$

。

最大尤度推定器は、パラメーターの忠実で効率的で十分な推定器です

${displaystyle lambda}$

。

信頼区間 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

の信頼区間

${displaystyle lambda}$

ポアソンとカイスクエアの分布の関係から得られます。サンプル値です

${displaystyle n}$

次に、自信間隔があります

${displaystyle lambda}$

信頼レベルまで

${displaystyle 1-alpha}$

によって与えられた

${displaystyle {tfrac {1} {2}} chi ^{2}（alpha /2; 2n）leq lambda leq {tfrac {1} {2}} chi ^{2}（1-alpha /2; 2n+2）}}$

、

したがって

${displaystyle chi ^{2}（p; i）}$

カイ二乗分布の分位関数

${displaystyle i}$

自由の程度を説明しました。

予測間隔 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

予測間隔には、推定関数の実現が見つかる可能性が非常に高いサンプルを引く前に、領域を予測するタスクがあります。
人数、個数、総数

${displaystyle n_ {text {up}}}$

Poisson-Sistributedイベントはそうする可能性があります

${displaystyle p <1}$

超えられない、分布関数の反転から計算することができます。

${displaystyle n_ {text {up}} = f_ {lambda}^{-1}（p）。}}$

あなたはもう一度それをすることができます

${displaystyle f_ {lambda}（n）= p}$

正規化されたガンマ関数を介して

${displaystyle q（n+1、lambda）= p}$

表現するために。分布関数の反転の基本形式

${displaystyle f_ {lambda}}$

またはガンマ関数は不明です。この場合、2列

${displaystyle（n、f_ {lambda}（n）= p）}$

値テーブルは、セクション分布関数で上記の量で簡単に計算でき、どの確率があるかを示すことができます。

${displaystyle n}$

割り当て。

二項分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

二項分布と同様に、ポアソン分布は、一連のベルヌーリ実験の期待される結果を予測します。後者は、2つの可能な結果（「成功」と「障害」など）、つまり二分法イベントスペースのみを知っているランダムな実験です。時間的または空間的観測間隔がますます分割されている場合、実験の数が増加します

${displaystyle（nto infty）}$

。プログレッシブサブディビジョンには、成功の可能性が低下する必要があります

${displaystyle（pto 0）}$

そのような方法で製品

${displaystyle ncdot p}$

有限の制限に対して

${displaystyle lambda}$

収束。したがって、数学的にやや単純なポアソン分布の二項確率分布がアプローチします。

ポアソン分布は、二項分布から導出できます。これは、関心の特性と非常に大きなサンプルサイズの非常にわずかな割合で、二項分布の境界分布です。

${displaystyle nrightarrow infty}$

と

${displaystyle prightarrow 0}$

製品の下位条件下で

${displaystyle np = lambda}$

ゼロでも無限でもない値を受け入れます。

${displaystyle lambda}$

次に、制限値形成で考慮されるすべての二項分布と、結果として生じるポアソン分布の期待値です。

ポアソン分布と二項分布の両方は、パンジャー分布の特別なケースです。

一般化された二項分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一般化された二項分布は、大規模なサンプルや、ポアソンアプリケーションを使用した成功の小さな確率でも近似できます。

正規分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ポアソン分布

${displaystyle p_ {lambda}}$

の小さな値のためにあります

${displaystyle lambda}$

強い非対称の数字。大きい場合

${displaystyle lambda}$

なります

${displaystyle p_ {lambda}}$

より対称的で、約から似ています

${displaystyle lambda = 30}$

の正規分布

${displaystyle mu = lambda}$

と

${displaystyle sigma ^{2} = lambda}$

：

${displaystyle p_ {lambda}（k）amprox {frac {1} {sqrt {2pi lambda}}} exp左（ – {frac {（k-lambda）^{2}} {2lambda}}}}}}$

買収の分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle f_ {text {erlang}}（n+1）+f_ {text {poisson}}（n）= 1}$

。

カイ四角分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ポアソン分布の分布関数

${displaystyle f_ {lambda}}$

とカイスクエア分布

${displaystyle m}$

自由度

${displaystyle f_ {m}}$

次の方法で接続されています。

確率、

${displaystyle n}$

または、1つの間隔でより多くのイベントを見つけるために

${displaystyle lambda}$

予想されるイベントは、の値と同じです

${displaystyle chi _ {2n}^{2} leq 2lambda}$

は。そのため、適用されます

${displaystyle 1-f_ {lambda}（n-1）= f_ {2n}（2lambda）}$

。

これが続きます

${displaystyle 1-q（n、lambda）= p（n、lambda）}$

と

${displaystyle p}$

と

${displaystyle q}$

正規化されたガンマ機能として。

Skellam分布との関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一方、違いはです

${displaystyle x_ {1} -x_ {2}}$

2つの確かに独立したポアソン分散ランダム変数

${displaystyle x_ {1}}$

と

${displaystyle x_ {2}}$

パラメーターを使用

${displaystyle lambda _ {1}}$

と

${displaystyle lambda _ {2}}$

二度と配布されていませんが、分布していますが、scellam。 ^[5] 適用されます：

${displaystyle p_ {lambda _ {1}、lambda _ {2}}（x_ {1} -x_ {2} = k）= e^{ – （lambda _ {1}+lambda _ {2}）} }右）^{k/2} i_ {k}（2 {sqrt {lambda _ {1} lambda _ {2}}}}}}$

、

したがって

${displaystyle i_ {k}（z）}$

参照された修正ベッセル関数。

他のいくつかの分布は、「ポアソン」という名前を部分的に担い、ここに記載されているポアソン分布の一般化です。

自由確率理論には、ポアソン分布のための自由な類似体があります
無料のポアソン分布。類推では、反復式フリーフォールディングの限界値として、ポアソン分布の対応する限界値になります

${displaystyle左（左（1- {frac {lambda} {n}}右）delta _ {0}+{frac {lambda} {n}} delta _ {alpha}右）^{boxplus n}}}}$

ために

${displaystyle nto infty}$

定義されています。

二次元ポアソン分布、また二変量ポアソン分布 ^[6] で定義されています

${displaystyle P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=exp left(-lambda _{1}-lambda _{2}-lambda _{3}right){frac {lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{frac {lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}sum _{k=0}^{min(k_{1},k_{2})}{binom {k_{1}}{k}}{binom {k_{2}}{k}}k!left({frac {lambda _{3}}{lambda _{1}lambda _{2}}}right)^{k}}$

エッジ分布は、パラメーターで配布されるポアソンです

${displaystyle lambda _ {1}}$

と

${displaystyle lambda _ {2}}$

そしてそれは適用されます

${displaystyle operatorname {cov}（x_ {1}、x_ {2}）= lambda _ {3}}$

。違いはパラメーターで分布しています

${displaystyle lambda _ {1}}$

と

${displaystyle lambda _ {2}}$

。

これは、エッジ分布の平均値と共分散を知っているか評価している場合、ポアソン分散ランダム変数間に依存関係を導入するのが比較的簡単であることを意味します。その後、二変量ポアソン分布を使用できます

${displaystyle x_ {1}、x_ {2}}$

単に3つの独立したポアソン分散ランダム変数によって作成されます

${displaystyle y_ {1}、y_ {2}、y_ {3}}$

パラメーターで定義されています

${displaystyle lambda _ {1}、lambda _ {2}、lambda _ {3}}$

その後

${displaystyle x_ {1} = y_ {1}+y_ {3}、x_ {2} = y_ {2}+y_ {3}}}$

プット。

多変量ポアソン分布に類似しています ^[7] 定義します。

「まれな」イベント [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

古典的な例は、ラディスラウス・フォン・ボートケウィッシュから来ています。彼は、プロイセン軍の個々の騎兵ユニットの死亡数を年間ポアソン分布によってよく説明できることを調べるときに証明できました。 ^[8]

一般に、ポアソンが分散するように、次の条件は個々のメーターイベント（個々の死亡の例）に適用する必要があります。 ^[9]

1. 個々のイベント：短期間で2つのイベントが発生する可能性はごくわずかです。
2. 比例性：短期間でイベントを観察する可能性は、期間の長さに比例しています。
3. 均一性：短期間でイベントを観察する可能性は、期間の場所とは無関係です。
4. 独立：短期間でイベントを観察する可能性は、他の非重複期間のイベントの可能性とは無関係です。

あるいは、これらの条件は、2つのイベント間の待ち時間が指数関数的であるという事実によっても説明できます。これはメモリであるため、イベントはほぼランダムかつ独立して発生します。

条件が利用可能かどうかは、個々のケースで確認する必要がありますが、典型的な例は次のとおりです。

Palm Chintの刑によると、一般的な更新プロセスでさえ、ポアソンプロセスのために比較的穏やかな条件下で収束します。つまり、ここでも、イベントの数のポアソン分布の結果です。これは、上記の条件がまだかなり弱くなる可能性があることを意味します。

顧客の到着 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

顧客または注文は、提供されるためにキューのシステムに到着します。ケンドール表記のさまざまなモデルは、キュー理論で説明されています。特定の時間間隔で到着した顧客の数は、多くの場合、ポアソン分布でモデル化されます（ m 指数 – 分散された中間回数）。この仮定の下には単純な分析ソリューションがあることが多いため、このモデルの形成は非常に魅力的です。 ^[11]

多くの場合、この仮定はほぼ正当化される可能性があります。ここでは、例を示します。つまり、この仮定を意味します。たとえば、土曜日に10秒ごとにデパートが入力されます。 1分間に追加された人が時間内にカウントされると、1分あたりデパートに入る平均6人が期待されます。間隔の長さの選択は、オブザーバーにあります。観測間隔として1時間を選択した場合、結果は

${displaystyle lambda = 6cdot 60 = 360}$

、1秒の間隔があります

${displaystyle lambda = 1/10 = 0 {、} 1}$

。顧客の数の相対的な変動（

${displaystyle {sqrt {lambda}}/lambda}$

）より大きな間隔で服用し、その結果、より大きくなります

${displaystyle lambda}$

あちらへ。間隔が長くなると、より正確な観察がより長い平均にわたってより正確になりますが、より多くの労力に関連しているため、間隔内で条件（たとえば、買い物をする意思のある観光客とのバスの到着）をキャプチャすることはできません。

ポアソン分布は、次の境界条件の下で利用できる可能性があります。

1. 顧客は個別に到着する必要があります。しかし、実際には、人々のグループはしばしば一緒に到着します。
2. 顧客が到着する確率は、観察期間の長さに比例する可能性があります。
3. 確かに顧客の量が増加するだけでなく、日中は低迷しているラッシュアワーがあります。
4. さまざまな期間の顧客の到着は、必ずしも独立しているわけではありません。たとえば、デパートが過密になっている場合、顧客は阻止される可能性があります。

この例では、ポアソン分布の仮定を正当化することは困難であるため、キューモデルzがあります。 B.グループの指示、有限のキュー、またはその他の到着分布により、この到着プロセスをより現実的にモデル化します。幸いなことに、などの重要な重要な数字B. Little Lawによれば、特定の分布に依存しない、システム内の顧客の平均数、つまりつまり、仮定に違反していても、同じ結果が当てはまります。 ^[12番目]

ボールファンモデル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

この地域に組み合わされているのは、科目にボールやボールを配布し、オプションがいくつあるかを数える際の標準的なタスクです。注文する場合

${displaystyle n}$

ボール

${displaystyle n}$

被験者がランダムにあるので、固体被験者のボールの数の二項分布が得られます

${displaystyle p = 1/n}$

。アプリケーションはzです。 B.各ピースには最小数のレーズンが含まれていることを目的として、ケーキにレーズンの分布があります。

右側の写真は、角粒がランダムに散らばっている正方形のタイルのある床の一部を示しています。

${displaystyle n = 49}$

フィールドにはそれぞれ含まれています

${displaystyle k = 0、dotsc、5}$

米粒と全体があります

${displaystyle n = 66}$

検討中のセクション内の米粒。確率は、二項分布を介して直接決定できるようになりましたが、ポアソンの極端な前提条件も満たされます。

実験と計算されたポアソン分布の比較

${displaystyle P（x = k）}$

、それによって

${displaystyle lambda = n/n = 66/49 = 1 {、} 35}$

米の穀物/正方形は直感的に良い一致を示しています。統計的には、適応の品質を調整テストで確認できます。

${displaystyle k}$	カウントされました	${displaystyle P（x = k）CDOT 49}$
0	15	12.7
初め	15	17.2
2	11	11.6
3	5	5.2
4	初め	1.7
5	2	0.5

特定のフィールドが空のままになる可能性は約26％です。

${displaystyle p（x = 0）= {frac {1 {、} 35 ^{0}} {0！}}、mathrm {e} ^{ – 1 {、} 35}$

スポーツの結果 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多くのスポーツでは、競争は、相手よりも一定期間内にイベントを数えることです。フットボールの試合に関する彼の本で、物理学者のMetin Tolanは、スポーツにおけるポアソン分布の適用性を詳細に調べました。 ^[13]

イベントの確率の（時間的な）一貫性 – ポアソン統計の適用に十分な前提条件（ポアソンの仮定の下で上記を参照）は、通常、スポーツ結果の場合にほぼほぼのみです。しかし、あなたは純粋なカウント値だけです。 B.チームの目標の数は、時間依存性のトレーションでもポアソン分布に関心があります。 ^[14] 多くの場合、より難しい仮定は、2つのチームの目標またはスコアが独立していることを正当化することです。この仮定を十分に正当化できない場合、例えばB.ポアソン分布を使用したデータのコンプライアンスの仮説または調整テストにより、たとえば、2変量ポアソン分布に渡し、共分散を推定することにより依存関係を導入できます。

トランは、ポアソンが配布されるにつれて、サッカーゲームでのチームの目標は適切な近似で想定できると主張します。 ^[15] しかし、彼のアプローチでは、彼はゲームとチームあたりの平均目標の数のみを考慮に入れています。つまり、たとえば、彼は相手チームのプレーの強さを見ていません。彼はまた、ブンデスリーガのポイントの分布の分散の70％以上が偶然に説明できることを証明しています。確率的な観点から、これはサッカーがエキサイティングである理由も証明しています。

2015年のDFBカップでのファイナル、トランZ。 B. VFL Wolfsburgの期限切れのBundesligaシーズン2.12ゴールとボルシアドルトムントの1.38ゴールに基づいています。 Andreas Heuerはさらに一歩進んで、中立的な場所で平均的な対戦相手と対戦するとき、チームのスキルレベルをチームの平均目標の差として定義します。 ^[16] また、過去のブンデスリーガシーズンのデータにより、VFL Wolfsburgは1の中程度の目標差を推定し、ボルシアドルトムントの0.15について推定していました。ゲームの予測を取得するには、今年以降のゲームあたりの平均目標数を考慮する必要があります。これはこれら2つのチームの2.92であり、今年はVFL Wolfsburgの1.885ゴールとBorussia Dortmundの1.035ゴールに感謝します。シーズン予測では、シーズン前の家の強さ、市場価値、またはチームのパフォーマンスなどの他のパラメーターは、その完全なモデルの他のパラメーターを考慮しています。実際には、ファイナルはヴォルフスバーグの3つの目標とドルトムントのゴールで終わりました。

ルーレットの3分の2の法律 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ポアソンの分布は、37のルーレットゲームで行われている数値の数を十分に推定します。

1. ↑ 削除するための財務担当者を多すぎる、技術的なユニフォームドラヴ： ポアソンの分布、サッカーの目標、少数の法則
2. ↑ アレクサンダーケーキ： サッカー（UN）予測可能です – 確率 – 中等レベルIIにおける理論的考慮事項
3. ↑ アデル、ジョドラ： ポアソン分布の中央値 。の： メトリック 、61、2005、S。337–346、 doi：10.1007/s001840400350 。
4. ↑ A.パーパーリ： ポアソンプロセスとショットノイズ 。の： 確率、ランダム変数、および確率的プロセス 。 2. aufl。 McGraw-Hill、ニューヨーク1984、S。554–576。
5. ↑ J. G. Skelam： さまざまな集団に属する2つのポアソン変動の差の頻度分布 。の： Journal of the Royal Statistical Society 、シリーズA、109（3）、1946、S。296、jstor： 2981372 。
6. ↑ Kazutomu Kawamura: 二変量ポアソン分布の構造 。の： コダイ数学セミナーレポート 、第25巻、1973年番号2、S。246–256、 doi：10.2996/kmj/1138846776
7. ↑ Kazutomu Kawamura: 多変量ポアソン分布の構造 。の： コダイ数学セミナーレポート 、第25巻、1973年番号2、S。333–345、 doi：10.2996/kmj/1138036064
8. ↑ Ladislaus von Bortkewitch： 少数の法則。 ライプツィヒ1898（ archive.org ））
9. ↑ ポアソン分布 （ 記念 2015年9月20日から インターネットアーカイブ ）フンボルト大学ベルリン
10. ↑ R. D.クラーク： ポアソン分布の適用 。 の： Journal of the Institute of Actuaries。 第73巻、3番、1946年、S。481、 doi：10.1017/s0020268100035435 。
11. ↑ ドナルド・グロス、カール・M・ハリス： キューイング理論の基礎 。 Wiley＆Sons、ニューヨーク1994。
12. ↑ Rolf Schassberger： キュー 。 Springs Publishes、WHO、1973、ISBN 3-211-810779-9
13. ↑ Metin Tolan： 時々より良い勝利：サッカーの試合の物理学 、Piper、2011
14. ↑ アレッサンドロ・ビロリーニ： 信頼性エンジニアリング 、Springer、2014、INSB。 A7.8.2
15. ↑ ホルガーダムベック： サッカーはギャンブルですか？ の： 科学のスペクトル 、2010年6月、68-70ページ。
16. ↑ アンドレアス・ホーアー： 完璧なヒント。 Wiley-VCH、2012年。